2.5.2 利用二次函数求方程的近似根 课件--2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 2.5 第2课时 利用二次函数求 方程的近似根 北师大版九年级下册数学课件 目录 目录 CONTENTS CONTENTS 1-新知导入 2-探究新知 3-巩固练习 4-课堂小结 新知导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 问题：上节课我们学习了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 和二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢? 回顾与思考 例1：求一元二次方程 的近似根（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用图象法求一元二次方程的近似根 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间. 先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x=-0.4 或 x=-0.5 都符合要求.但当 x=-0.4 时更为接近 0. 故 x1≈-0.4. 同理可得另一近似值为 x2≈2.4. (1) 用描点法作二次函数 y = ax2+bx+c 的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分，借助计算器确定其近似值); (3) 确定方程 ax2+bx+c=0 的近似根. 方法归纳 利用图象法求一元二次方程的近似根 探究新知 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为 x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故 x1≈－2.5，x2≈0.5.故选 B. B 针对训练 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 例2 求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 分析：令 y = x²-2x-1-3=x²-2x-4，则 x²-2x-1=3 的根就是抛物线 y=x²-2x-4 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标. 2 x y O 解：y=x²-2x-4 的图象如图所示. 解：由图象可知方程的一根在 3 到 4 之间，另一根在 -1 到 -2 之间. (1) 先求 3 到 4 之间的根.利用计算器进行探索： x … 3.2 3.3 … y … -0.16 0.29 … 因此，x = 3.2 是方程的一个近似根. (2) 可类似地求出另一个根为 x = -1.2. 例2变式：你还能利用 y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程 的近似根吗（精确到0.1）？ 分析：在 y=x²-2x-1的图象中作直线 y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根. y=3 一元二次方程 ax2+bx+c = m 的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线 y=m（m 是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根. 方法归纳 问题1 函数 y = ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c=0 的根是 ___________; 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_____________; 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是___________. 3 -1 O x y x1=-1， x2=3 x < -1或 x > 3 -1< x <3 合作探究 *利用函数的图象求一元二次不等式的解集 拓广探索： 函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c = 2 的根是 ______________; 不等式 ax2+bx+c > 2 的解集是___________; 不等式 ax2+bx+c < 2 的解集是_________. 3 -1 O x 2 (4,2) (-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2 或 x >4 -2<x<4 y 问题 2 如果不等式 ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是______.方程 ax2+bx+c=0 的根是______. 1 (2,0) x = 2 问题3 如果方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有______个交点； 不等式 ax2+bx+c < 0 的解集是多少？ 0 解：(1) 当 a>0 时, ax2+bx+c < 0 无解； (2) 当 a＜0 时, ax2+bx+c < 0 的解集是一切实数. 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: (1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y = -x2+x+2 x1=-1 , x2=2 -1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 y=x2-4x+4 x=2 x≠2 的一切实数 x 无解 y=-x2+x-2 x 无解 x 无解 x 为全体实数 巩固练习 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 (x1＜x2) 有一个交点x0 没有交点 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1 y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解 y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 要点归纳 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值: 2. 小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到 0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D 3. 用图象法求一元二次方程 的近似根（精确到 0.1）. 解：画出 x2+x-1=0 的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在 -2 和 -1 之间，另一个在 0 到 1 之间.通过计算器估算，可得到抛物线与 x轴交点的横坐标大约为 -1.6 和 0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 4.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x 取什么值时，y > 0 ？ （3）x 取什么值时，y < 0 ？ x y O 2 4 8 解：（1）x1=2，x2=4； （2）x < 2 或 x > 4； （3）2 < x < 4. 课堂小结 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置，判断方程根的近似值 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 第二章 二次函数 2.5 第2课时 利用二次函数求 方程的近似根 北师大版九年级下册数学课件 $$