17.2.1 勾股定理的逆定理 教学设计 2024--2025学年人教版八年级数学下册

课题名称 17.2.1 勾股定理的逆定理 教学设计 学科 数学 授课班级 授课时数 １ 执教者 授课日期 教材分析 本节以古埃及人画直角的方法为背景，猜想归纳，给出互逆命题的概念，并指出原命题成立其逆命题不一定成立。进而证明勾股定理逆定理，引出互逆定理、勾股数的概念。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是否是直角三角形的方法。本节内容是在前面勾股定理的基础上进行学习，也为后面学习勾股定理逆定理应用奠定坚实的基础。 学情分析 勾股定理的逆定理所给出的判定三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断。学生对利用计算证明几何结论比较陌生，实际上计算在几何中也是很重要的。从数学方法这个意义上讲，学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。勾股定理的逆定理的证明对学生来说是一个难点，证明方法学生不太容易想到，在教学中应该注意启发、引导。 教学目标 1.理解勾股定理的逆定理，经历“实验——猜想——论证”的探究过程，体会构造法证明数学命题的基本思想方法。 2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系（重点）。 教学 重难点 重点：理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 难点：理解勾股定理的逆定理，经历“实验——猜想——论证”的探究过程，体会构造法证明数学命题的基本思想方法。（重难点） 课前准备 利用复习引入、幻灯片，提供丰富的学习内容。 教学方法 自主学习法、问答法、启发讲授法、讲解法、 教学过程 一、复习引入 问题1：你还记得勾股定理吗？ 答： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. 问题2：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c。 （1）已知a＝3，b ＝4， 求c 2、 自主学习P31~32 思考：1.勾股定理的逆定理是什么？ 2.原命题、逆命题、逆定理的概念及关系是什么？ 3.什么是勾股数？ （学生自学） 三、释疑 探究一：1.据说 古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角变式直角。 这个问题意味着，如果围城的三角形的三边长分别为 3，4，5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形是 直角三角形。你认为正确吗？ 2.动手画一画 分别以下面两组数画三角形(单位是厘米)： a=2.5， b=6， c=6.5； a=4， b=7.5， c=8.5。 问题：(1) 以上数据有什么关系呢？ （2）请画出图形,并判断它是什么三角形？ 答：这两组数都满足a2+b2=c2 ， 它们都是直角三角形。 归纳总结 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 作用：用于证明一个三角形是直角三角形 典型例题 例1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形: (1)a＝15,b＝8,c＝17; (2)a＝13,b＝14,c＝15. 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看较短两条边的平方和是否等于最长边的平方。 解:(1)∵152＋82＝225＋64＝289,172＝289, ∴152＋82＝172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形. (2)∵132＋142＝169＋196＝365,152＝225, ∴132＋142≠152,根据勾股定理的逆定理,这个三角形不是直角三角形. 练一练 1.判断由线段a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?并判断哪个角是直角 (1)a＝7, b＝24, c＝25;(　 是 　) ________=90° (2)a＝, b＝4, c＝5;(　 是 　) ________=90° (3)a＝, b＝1, c＝;(　 是 　) ________=90° (4)a＝0, b＝50, c＝60.(　 不是 　) ________=90° 新知探究 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 互逆命题 勾股定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 问题：它们是命题吗？题设和结论分别是什么？ 归纳总结： 原命题与逆命题：如果两个命题的题设和结论刚好相反，我们就把像这样的命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做逆命题. 我们已经学习了一些互逆的命题，如: ①勾股定理,勾股定理的逆定理； ②两直线平行,内错角相等; 内错角相等,两直线平行. 练一练 2. 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 答：(1)内错角相等，两条直线平行. 成立 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立 (3)对应角相等的三角形全等 不成立 (4)在角平分线上的点到角两边的距离相等. 成立 感悟: 原命题成立时, 它的逆命题可能成立, 也可能不成立。 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题叫做逆定理。 概念学习 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数：3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 课堂练习 1.下列命题的逆命题成立的是( D ) A.对顶角相等 B.全等三角形的面积相等 C.同角的余角相等 D.两直线平行,内错角相等 2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( A ) A.3,4,5　 B.2,3,4 C.4,6,7　 D.5,11,12 3.下列各选项中,不是勾股数的是( C ) A.3,4,5 B.5,12,13 C.1,,5 D.6,8,10 4.在△ABC中,AB＝2,BC＝4,AC＝2,则△ABC的面积是____4______.  四、巩固练习 1.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,AC＝4,BC＝3,DB＝. (1)求AD的长; (2)△ABC是直角三角形吗?为什么? 解:(1)∵CD⊥AB,∴∠CDB＝∠CDA＝90°. 在Rt△BCD中,BC＝3,DB＝, 根据勾股定理,得CD＝. 在Rt△ACD中,AC＝4,CD＝, 根据勾股定理,得AD＝. (2)△ABC是直角三角形.理由如下: ∵AB＝AD＋DB＝＝5, ∴AC2＋BC2＝42＋32＝52＝AB2. ∴△ABC是直角三角形. 五、评议 今天这节课主要学习了什么？ 六、布置作业 　同步 板书设计 教学反思 5 学科网（北京）股份有限公司 $$