精品解析：天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段检测数学试题

南开大学附中24-25 学年度高二第一学期第二次阶段检测 数学学科 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线方程求出的值，从而可求出其焦点坐标. 【详解】由于抛物线的方程为， 所以，，则 所以抛物线的焦点坐标是， 故选：A. 2. 双曲线（）的左、右两个焦点分别是与，焦距为；是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据双曲线的定义计算可得. 【详解】解：依题意，所以，即，因为，且，所以. 故选：B 3. 已知递增等比数列，，，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可. 【详解】因为递增等比数列中， 所以， 又， 解得， 所以，解得， 所以， 故选：D 4. 已知等差数列的公差为2，其前项和为，若是与的等比中项，则等于（ ） A. 108 B. 64 C. 49 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出方程求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意知，等差数列的公差为2， 因为是与的等比中项，可得，即，解得， 所以. 故选：C. 5. 若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 6. 等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得； 【详解】解：依题意、，所以，即，所以； 故选：C 7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，根据空间中点到平面的距离公式即可求解. 【详解】由题意易知直线面， 所以到面的距离即为直线到平面的距离. 建立如图所示坐标系，则： ，，，，, 所以 设面的法向量，则： ，即 取，则，所以 所以到面的距离. 故选：D 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 故选:A. 9. 已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系得出直线l方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及数量积公式得出p的值. 【详解】，，即 联立直线和抛物线方程得 设，则 解得 故选：B 10. 已知直线:被圆 C 截得的弦长为 则点与圆上点的距离最大值为 （ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线被圆截得的弦长公式求出，进而求出点与圆上点的距离最大值. 【详解】依题意，圆的半径，圆心到直线的距离为， 直线l被圆C截得的弦长为，而，解得， 则点的坐标为，该点到圆心的距离为， 所以点到圆上点的距离最大值为. 故选：A 二、填空题 11. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:求出向量的坐标，进而可得模长及向量的夹角，由此可计算以AB，AC为边的平行四边形的面积． 解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）， ∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），||=，||= ∴cos∠BAC==， ∴∠BAC=60° ∴S=×sin60°= 故答案为 考点：向量在几何中的应用． 12. 已知数列，其前项的和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的定义及求和公式运算即可得解. 【详解】解：由题意， ∴，. ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴前项和，. ∴. 故答案为：. 13. 双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离. 【详解】双曲线的离心率为2，由得，则， 右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为. 故答案为： 14. 已知、为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，直线经过点且垂直平分线段，则该椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用垂直平分线的性质，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】如图所示，直线为线段的垂直平分线，可得，即， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 15. 已知曲线的方程为，有下列结论： ①当时，曲线为圆； ②“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件； ③当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； ④存在实数使曲线为双曲线，其离心率为； 其中正确的结论是________________．（写出所有正确的结论的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用圆的方程可判断①的正误；利用曲线为焦点在轴上的椭圆求出参数的取值范围，结合集合包含关系可判断②的正误；利用双曲线的方程以及渐近线方程可判断③的正误；利用等轴双曲线的方程可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，曲线的方程为，即，①对； 对于②，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得， ， 故“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要而不充分条件，②错； 对于③，当时，曲线的方程为，此时，曲线为双曲线， 且，，双曲线的渐近线方程为，③对； 对于④，若曲线为双曲线，则，解得或， 若双曲线的离心率为，则该双曲线为等轴双曲线. 当时，双曲线的标准方程为，显然； 当时，双曲线的标准方程为， 显然. 因此，不存在实数使曲线为双曲线，其离心率为，④错. 故答案为：①③. 三、解答题 16. （1）在等比数列 中， 已知 ，求和; （2）在等差数列 中， 且 求数列的通项公式； 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式计算即可； （2）根据等差数列通项公式基本量运算求出，再计算通项公式即可. 【详解】（1）在等比数列 中，； （2）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式． 17. 已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等. （1）求曲线的方程； （2）若曲线上有两个定点，分别在其对称轴的上、下两侧，且，求原点到直线的距离. 【答案】（1）y2=4x；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题得曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，故曲线的方程为； （2）由抛物线的焦半径公式得，，进而得的方程为，再根据点到直线的距离求解即可得答案. 【详解】（1）∵曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等， ∴ 曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且， ∴ 曲线的方程为. （2）由抛物线的定义结合可得，到准线的距离为， 即的横坐标为，代入抛物线方程可得，即， 同理，由可得， 故直线的斜率， 故的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，原点到直线的距离为. 【点睛】本题考查抛物线的定义，焦半径公式，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是根据抛物线的定义掌握焦半径公式，进而根据其求解的坐标. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1） 连接，则， 因为，所以四边形为平行四边形； 所以， 因为，，且为的中点， 所以，所以， 所以，即， 又因为，所以平面. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，证出和，即可利用线面垂直判定定理得证； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法直接求解面面角的余弦值，即可得到结果； （3）设，利用向量法直接表示出线面角的正弦值，即可得到参数，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取， 设平面的法向量为， 则，即， 取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，则， 而，所以， 由（II）知平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 ， 化简得，解得：或， 故线段的长度为或． 19. 已知数列的首项为3，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）由数列的首项为，且满足， 可得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，可得， 所以数列的前项和. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过时，的周长为8. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过点，椭圆的左顶点为A，当面积为时，求直线l的斜率k. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和椭圆定义求得，进而得到椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据，结合韦达定理可构造方程求得结果. 【小问1详解】 由题意得：，即，则， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意知：直线斜率不为，可设， 由消去x得：， 则， 设，则，， 可得， 又因为，则， 所以，解得：， 所以直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附中24-25 学年度高二第一学期第二次阶段检测 数学学科 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线（）的左、右两个焦点分别是与，焦距为；是双曲线左支上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知递增等比数列，，，，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 已知等差数列的公差为2，其前项和为，若是与的等比中项，则等于（ ） A. 108 B. 64 C. 49 D. 48 5. 若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或 7. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 9. 已知直线l和抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 已知直线:被圆 C 截得的弦长为 则点与圆上点的距离最大值为 （ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题 11. 已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是____． 12. 已知数列，其前项的和为，则__________. 13. 双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为______． 14. 已知、为椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，直线经过点且垂直平分线段，则该椭圆的离心率为______. 15. 已知曲线的方程为，有下列结论： ①当时，曲线为圆； ②“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件； ③当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为； ④存在实数使曲线为双曲线，其离心率为； 其中正确的结论是________________．（写出所有正确的结论的序号） 三、解答题 16. （1）在等比数列 中， 已知 ，求和; （2）在等差数列 中， 且 求数列的通项公式； 17. 已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等. （1）求曲线的方程； （2）若曲线上有两个定点，分别在其对称轴的上、下两侧，且，求原点到直线的距离. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长． 19. 已知数列的首项为3，且满足. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，动直线l与椭圆交于P，Q两点：当直线l过时，的周长为8. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l过点，椭圆的左顶点为A，当面积为时，求直线l的斜率k. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $