浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试题(B 卷)

2024-2025学年浙江省温州市高二第一学期期末检测数学试题(B 卷)❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线，则l的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点在坐标平面Oxy内的射影的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为(    ) A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5.已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则(    ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是    A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7.已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是  A. B. C. D. 8.已知数列的前n项和为，满足，，对于，恒成立，则的最小值为(    ) A. B. 0 C. 1 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知直线与，则下列说法正确的是(    ) A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C. 若时，则 D. 若时，则与交于点 10.在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，则下列说法正确的是    A. M，N，B，D四点共面 B. C. 平面 D. 直线到平面CMN的距离是 11.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，P为直线上的一动点，O为坐标原点，则下列说法正确的是(    ) A. 若为等边三角形，则 B. 若，则存在两个不同的点P C. 若A，O，P共线，则BP与x轴平行 D. 若A，O，P共线，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，若，共线，则          . 13.已知等比数列的前n项和为，，，则          . 14.已知P是双曲线上的任意一点，，分别为点P到双曲线两条渐近线的距离，若，则双曲线的离心率为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知数列的前n项和为， 求数列的通项公式； 求数列的前n项和 16.本小题15分 已知直线，圆 当时，判断直线l与圆C的位置关系; 记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 17.本小题15分 如图，在平行六面体中，， 求的长; 求证：直线平面 18.本小题17分 已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线 求曲线C的方程； 过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点. ⅰ若，求直线l的方程; ⅱ若，求的面积. 19.本小题17分 已知数列为公差不为0的等差数列，数列为等比数列，记数列，，，，，，，，为数列 若，，且，，，为等比数列，求数列的通项公式; 若，，求证：存在m，使得，，为等差数列; 若存在m，满足，，，是等比数列，求n的最大值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 由直线方程求出斜率，由斜率与倾斜角之间的关系得答案. 【解答】 解：直线化为斜截式，得， 直线的斜率为，设倾斜角为， 则， 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了空间直角坐标系，属于基础题， 点在平面Oxy内的射影是坐标不变，z坐标为0的点. 【解答】 解：点在坐标平面Oxy内的射影坐标为， 本题选 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，充分必要条件的判断，属于基础题. 由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【解答】 解：因为正项数列是等比数列， 所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系及判定，属于基础题. 求出两圆的圆心距，由圆心距与两圆半径的关系可判断两圆的位置关系. 【解答】 解：圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 由， 所以圆与的位置关系是内含. 故选 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求解或判断数列中的项，属于基础题. 根据题意，由数列的通项公式可得数列的前9项，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，分析可得答案 【解答】 解：根据题意，数列的通项公式为， 则，，，，，，，，， 又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项， 则 故选 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量的基本定理、三个向量共面的充要条件，即一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合. 根据共面向量定理逐项判定即可. 【解答】 对A：，因此A不满足题意； 对B：，选项B不满足题意； 对C：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此选项C正确； 对D：显然有，于是选项D不满足题意. 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交与相切的性质，属于中档题． 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答】 解：直线l过定点，直线C是椭圆的上半部分. 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时， 直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 计算可得，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 因此， k的取值范围为 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查数列与不等式，考差错位相减法求和，属于中档题. 由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解. 【解答】 解：由题，，， 又符合上式，所以 则，①， ，②， 由①-②，得， 所以， 若对于，恒成立，即对恒成立， 所以， 故选 9.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查两条直线平行与垂直度判定，两条直线的交点坐标，属于中档题. 结合选项逐项判断即可. 【解答】 解：A选项，当时，，， 即，则，故A正确； B选项，当时，，， 即，则与不重合，故B错误； C选项，当时，，， 因为，所以，故C正确； D选项，当时，，，即， 由，得， 所以与交于点，故D正确. 故选 10.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查空间向量的共线定理，线线平行、线线垂直的向量表示，线面距离的向量求法，属于中档题. 建立平面直角坐标系，利用空间向量的共线定理，线线垂直的向量表示，线面平行的向量求法，线面距离的向量求法，逐一判断各选项，即可求解. 【解答】 解：以D为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，因为，，， ，，， 所以，所以， 又不共线，所以， 从而M，N，B，D四点共面，故A正确； 对于B，因为，，， 所以由，得，故B正确； 对于C，因为，， 由，知MN与不垂直， 而在平面内， 所以MN与平面不垂直，故C错误： 对于D，因为，， 设是平面CMN的法向量， 则由，得：， 可取， 直线到平面CMN的距离， 即点到平面CMN的距离为d， 因为， 则 ，故D错误. 故选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于较难题. 由抛物线的性质，求得A点横坐标，即可得，进而判断A；设直线AB：，联立直线AB与抛物线方程，求以AB为直径的圆的表达式，令，即可求解P点个数，进而判断B；若A，O，P共线，可求P点坐标，根据根与系数关系可得B点纵坐标，从而判断C；，利用基本不等式即可求解，进而判断 【解答】 解：由题，抛物线的焦点F为， 不妨令，，， 对A选项，若为等边三角形，， 则， 根据抛物线的性质可知，此时AP与y轴垂直， 故点A的横坐标为3，所以，故A正确； 对B选项，由题可知，直线AB的斜率不为0， 令直线AB：， 联立直线AB与抛物线方程有， 所以，， ， 所以以AB为直径的圆的方程为：， 令，则， 整理可得，故只有一个点P可使，故B错误； 对C选项，若A，O，P共线， 则直线AP：，令，则， 由B选项可知，， 所以点B的纵坐标为，所以BP与x轴平行，故C正确； 对D选项，由C选项， ， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选： 12.【答案】3  【解析】【分析】 本题考查共线与共面向量定理及应用，属于基础题． 利用向量共线的条件，能求出x的值． 【解答】 解：，，向量与共线， ， 解得， 则 故答案为： 13.【答案】585  【解析】【分析】 本题考查等比数列的求和，属于中档题． 易得公比，根据等比数列求和公式可得，将的值代入，计算可得答案． 【解答】 解：设等比数列的公比为q， 因为，，所以， 则，， 所以，解得， 所以 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的性质及几何意义，点到直线的距离公式，属于中档题． 设，根据点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，可得a与c的关系，即可求出离心率． 【解答】 解：设，则， 即 ， 双曲线两条渐近线的方程为， 则点P到两条渐近线的距离乘积为：  ， 即，因为，所以，， 故 故答案是： 15.【答案】解：当时，； 当时，， 对仍成立， 数列的通项公式为； 由知   【解析】本题考查数列的前n项和与的关系，裂项相消法求和，属于中档题． 当时，可求得；当时，，对仍成立，可得数列的通项公式； 裂项可得，可求得数列的前n项和 16.【答案】解：圆， 圆心，半径， 又直线 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； 圆心到直线的距离， 又， 所以，解得  【解析】本题考查直线与圆的位置关系及判定，属于中档题. 利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； 已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 17.【答案】解：在平行六面体中， ， 又，， ， ， 即的长为； 证明： ， ， 同理， ， 又，DB、平面， 直线平面  【解析】本题考查求空间向量的模、利用空间向量判定线面的垂直关系，属于中档题. 以作为基底，由展开计算即可； 由空间向量计算，则，同理，则，由线面垂直的判定即可得证. 18.【答案】解：由已知得：， 两边平分并化简得：， 即，即为曲线C的方程； 设直线l的方程为， 将其代入，得， 故，即或， 所以，， ， ， ， 解得，所以； 由 ， 所以， 所以 ， 所以， 或， 又， 或， 所以或  【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中三角形的面积，直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 根据题意列等式，即可求解； ⅰ设直线l的方程为，与抛物线联立，即可求解k的取值范围和根与系数关系式，由，代入根与系数关系，即可求解k，进而得l方程； ⅱ，所以，将根与系数关系式代入即可求k，又，代入即可求解. 19.【答案】解：由已知得，， 是等差数列，， ， ，，，为等比数列， ，，， 是等比数列，或； 证明：当时，，，， ，，构成等差数列； 设等差数列的公差为， 当时，则，，中至少有3项来自数列， 不妨记为，，，则，，为等比数列， ， ， 舍去， 且，，，最多只能有两项来自数列， 当时，，，来自数列， 取，或，， 构造等差数列， 此时，，，，为有5项的等比数列. 所以n的最大值为  【解析】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，属于较难题. 利用等差数列和等比数列的性质求解即可； 求出特例，将时，，，构成等差数列，即可证明; 当时，不妨记为，，，则，，为等比数列，，可以看出不符合题意，且，，，最多只能有两个来自数列，再验证是否满足即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$