精品解析：广东省茂名市高州市第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

高州四中2024—2025学年度第一学期12月月考 高二数学 试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程变为斜截式，得到斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线l的方程可变为，斜率，设倾斜角为，则 又因为，所以倾斜角． 故选： 2. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】计算圆心距，和比较大小，即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径， ,所以圆心距，所以两圆相外切. 故选：C 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当直线与垂直时，，即， 解得或， 所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质计算即可求得结果. 【详解】由等差数列性质计算可得，即， 所以可得. 故选：A 5. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】由两点间距离公式知： 的几何意义是点到与的距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 故选：B. 6. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值. 【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3， 故选：B. 7. 已知数列，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：，，，，，，，，，．．．，那么第116个括号内的各数之和是（ ） A. 3460 B. 3466 C. 3496 D. 3508 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，找出数列规律，结合等差数列通项公式计算即可. 【详解】解：根据题意可知，括号四个一循环，第116个括号正好是第29组的最后一个， 一个循环中项数的个数为（项），第29组的最后一项为第290项． 根据数列4，7，10，13，16，…，可知数列的通项公式为 则第116个括号里的四个数分别为：862、865、868、871， 第116个括号内的各数之和是：． 故选：B． 8. 已知直线与交于两点，线段的中垂线交于点为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆的一般方程得出圆心和半径，再求出直线的定点，最后求出轨迹方程为圆结合圆的半径计算即可. 【详解】即， 则圆心为，半径，直线， 令，解得， 即直线l恒过定点， 又，所以点在圆内，线段AB的中垂线过圆心C， 令定点为E，则，则点D的轨迹是:以线段EC为直径的圆， 此圆的圆心为，，则 的最大值为. 故选：A． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的方程为 B. 过点O且与直线l平行的直线方程为 C. 若点到直线l的距离为，则 D. 点O关于直线l对称的点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由截距式可求； 对B，由点斜式可求； 对C，由点线距离公式可求； 对D，两对称点连线与直线l垂直，且两对称点中点过直线l. 【详解】对A，直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，直线l的方程为，即，A对； 对B，直线l斜率为1，故过点O且与直线l平行的直线方程为，即，B对； 对C，点到直线l的距离为，故或0，C错； 对D，点O关于直线l对称的点满足，解得，故该点为，D对. 故选：ABD 10. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 共有72项 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得数列的通项公式，进而求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的项数判断选项D. 【详解】将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按 从小到大的顺序排成一列，构成首项为1末项为995公差为14的等差数列 则数列的通项公式为 则数列共有72项.故选项D判断正确； .故选项A判断错误； .故选项B判断正确； .故选项C判断正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的一个动点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可结合三角形三边关系求解A，结合二次函数的性质即可求解B，根据等面积法即可求解C，由余弦定理即可求解D. 【详解】对椭圆，易知； 对A：根据椭圆定义可知： 当点不在长轴的两个端点时，在中，由三角形三边关系可知： 当点在椭圆长轴的左端点时， 当点在椭圆长轴的右端点时，综上所述：故A正确； 对B：设又，则 故又在单调递增，在单调递减， 且当与时，取得最小值，此时，故 又当时，取得最大值，此时， 故即故B正确； 对C：设内切圆半径为，由， 即若能构成三角形，则显然当取得最大值1时， 取得最大值为，故C错误； 对D：若能构成三角形，由余弦定理可得： 由选项B中所求可知，的最大值为4，此时取得最小值为； 若不能构成三角形，则； 综上所述，的最小值为，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，则______，数列的通项公式______． 【答案】 ①. 19 ②. 或 【解析】 【分析】累加法计算即可. 【详解】由题意得， 所以， 上式累加得 ，所以.则. 故答案为：19；或. 13. 如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答. 【详解】在平行六面体中，令，显然不共面，两两夹角为， 因为为的中点，则， 而，， 所以. 故答案为： 14. 已知双曲线M：的左焦点为F，右顶点为A，，若是直角三角形，则双曲线M的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用题给条件列出关于的关系式，解之即可求得双曲线M的离心率 【详解】由是直角三角形，得， 则，则，则 则，解之得或（舍） 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知F是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，且M到F的距离是M到y轴距离的3倍. （1）求M的坐标； （2）求直线MF被抛物线C所截线段的长度. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，利用已知条件列方程，化简求得点的坐标. （2）求得直线的方程，并与抛物线方程联立，求得直线与抛物线的交点坐标，进而求得直线MF被抛物线C所截线段的长度. 【小问1详解】 抛物线的焦点，设， 则，解得， 所以点的坐标为或. 【小问2详解】 由（1）得点的坐标为或. 当的坐标是时，直线的方程为， 由，消去并化简得， 解得，， 所以直线与抛物线的交点坐标为和， 所以直线MF被抛物线C所截线段的长度为. 当的坐标是时，同理可求得直线MF被抛物线C所截线段的长度为. 综上所述，直线MF被抛物线C所截线段的长度为. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程为，并将与坐标代入并结合圆心在直线上，即可求解. （2）分情况讨论直线斜率是否存在，再结合直线与圆相交弦长公式建立相关等式，即可求解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，得到圆心坐标为，半径为， 将与坐标代入圆方程得：， ， 消去，整理得：， 将圆心坐标代入得：， 联立①②解得：，， ， 则圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设过点的直线， 圆半径为5，弦长为8， 圆心到直线的距离， 由，解得， 直线方程为，即． 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 直线与圆的交点坐标为，， 直线被圆所截得的弦长为8； 故直线的方程为或． 17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前项和，若______． （1）求； （2）令，求数列的前项和． （3）令，求数列的前项和 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，通项公式和求和公式计算即可； （2）裂项相消法计算即可； （3）分类讨论，得到通项公式，结合分组求和和等差数列求和计算即可. 【小问1详解】 若选择条件①，在等差数列中， ，解得 若选择条件②，在等差数列中， 解得 若选择条件③，在等差数列中，， 当时，， 符合，． 【小问2详解】 由（1）得 所以 【小问3详解】 由（1）可得，所以 当时， 当时， 综上， 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 19. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且 ①证明：直线过定点； ②设的面积为，求的最大值． 【答案】（1）； （2） ①设直线的方程为， 由消去得， ，即， ，， , 解得，此时， 所以直线的方程为，即直线过定点. ② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的方程. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率关系推理得证；②求出的函数关系，借助对勾函数求出最大值. 【小问1详解】 令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，，则，， 令，函数在上单调递增， 当，即时，取得最小值， 所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州四中2024—2025学年度第一学期12月月考 高二数学 试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 3. 已知直线与，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 5. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知数列，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：，，，，，，，，，．．．，那么第116个括号内的各数之和是（ ） A. 3460 B. 3466 C. 3496 D. 3508 8. 已知直线与交于两点，线段的中垂线交于点为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l的方程为 B. 过点O且与直线l平行的直线方程为 C. 若点到直线l的距离为，则 D. 点O关于直线l对称的点为 10. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 共有72项 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的一个动点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值是 D. 的最小值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，则______，数列的通项公式______． 13. 如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则______. 14. 已知双曲线M：的左焦点为F，右顶点为A，，若是直角三角形，则双曲线M的离心率为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知F是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，且M到F的距离是M到y轴距离的3倍. （1）求M的坐标； （2）求直线MF被抛物线C所截线段的长度. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知为等差数列的前项和，若______． （1）求； （2）令，求数列的前项和． （3）令，求数列的前项和 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且 ①证明：直线过定点； ②设的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $