函数与导数中的新定义问题学案-2025届高三数学二轮专题复习

学案12 函数与导数中的新定义问题 【复习目标】 1、考点归纳 （1）理解题目中给出的新定义，并将其应用于具体的问题情境中； （2）验证新定义的函数是否满足某些基本性质，如奇偶性、周期性、单调性等； （3）根据新定义的函数绘制图像，并分析图像的特征. 2、易错易混点归纳 （1）未能准确理解新定义的含义和运算规则 （2）在实际问题中错误地应用新定义 （3）未能正确验证新定义的函数是否满足某些性质 （4）未能正确绘制新定义函数的图像，或者未能正确分析图像的特征 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1.确保完全理解新定义的含义和运算规则； 2.在实际问题中逐步应用新定义，确保每一步都符合定义； 3.严格按照定义验证函数的各种性质，如奇偶性、周期性、单调性等；使用定义进行严格的数学推导； 4.根据新定义绘制函数图像，并分析图像的特征； 5.将新定义的函数与其他数学知识结合起来解决问题； 6.注意细节，确保每一步都符合定义和已知的数学规则。 【典例探究】 考点一　函数与导数中的新定义问题 学法指导：（1）理解新定义“含谷函数”，能将新定义函数等价转化为熟知函数.即在定义域D的某子闭区间[a，b]上满足先减后增的连续函数为含谷函数，由此可转化为结合函数单调性判断； （2）理解“含谷区间”与“谷点”之间的关系，即含谷区间内的极小值点，由此可根据函数的连续性等价转化为导函数值在给定含谷区间向上的两端值异号（左端点值小于0，右端点值大于0），从而求得参数的范围； （3）理解L（p，q）的含义，探索满足条件的最大含谷区间，再转化为求该区间长度的最小值. 【例1】　设y＝f（x）是定义在区间D上的连续函数，若存在区间[a，b]⊆D，x0∈（a，b），使得y＝f（x）在[a，x0）上单调递减，在（x0，b]上单调递增，则称y＝f（x）为“含谷函数”，x0为“谷点”，[a，b]称为y＝f（x）的一个“含谷区间”. （1）判断下列函数是否为含谷函数，若是，请指出谷点；若不是，请说明理由； ①y＝2｜x｜，②y＝x＋cos x. （2）已知实数m＞0，y＝x2－2x－mln（x－1）是含谷函数，且[2，4]是它的一个含谷区间，求m的取值范围； （3）设p，q∈R，h（x）＝－x4＋px3＋qx2＋（4－3p－2q）x，函数y＝h（x）是含谷函数，[a，b]是它的一个含谷区间，记b－a的最大值为L（p，q）.若h（1）≤h（2），且h（1）≤0，求L（p，q）的最小值. 【解析】（1）①对于y＝2｜x｜＝当x∈（－∞，0）时，y＝2｜x｜单调递减，当x∈（0，＋∞）时，y＝2｜x｜单调递增，所以y＝2｜x｜是含谷函数，且谷点为0. ②对于y＝x＋cos x，y'＝1－sin x≥0恒成立，y＝x＋cos x单调递增，不是含谷函数. （2）由题意可知函数y＝x2－2x－mln（x－1）在区间[2，4]上先减后增，且存在谷点. 令g（x）＝x2－2x－mln（x－1），则g'（x）＝2x－2－， 令t（x）＝g'（x）＝2x－2－，则t'（x）＝2＋＞0， 所以g'（x）在区间[2，4]上单调递增，所以解得2＜m＜18， 故m的取值范围是（2，18）. （3）因为h（x）＝－x4＋px3＋qx2＋（4－3p－2q）x，所以h'（x）＝－4x3＋3px2＋2qx＋（4－3p－2q）＝4（1－x）［x2＋（1－）x＋（1－－）］，若x2＋（1－）x＋（1－－）≥0恒成立，则函数y＝h（x）在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，不是含谷函数，不满足题意. 因此关于x的方程x2＋（1－）x＋（1－－）＝0有两个相异实根，即Δ＞0， 设两根分别为α，β且α＜β，则α＋β＝－1＋， αβ＝1－－.因为h（1）≤0＝h（0），所以函数y＝h（x）在区间（－∞，1]上不单调递增， 但是当x小于1，α，β中的最小值时，h'（x）＞0，y＝h（x）单调递增，所以y＝h（x）在区间（－∞，1]上的单调性至少改变一次，即α＜1.同理，因为h（1）≤h（2），所以β＞1. 因此y＝h（x）在区间（－∞，α）和（1，β）上单调递增，在区间（α，1）和（β，＋∞）上单调递减，从而函数y＝h（x）的含谷区间[a，b]必满足[a，b]⊆[α，β].所以L（p，q）＝β－α＝＝， 而h（1）＝－1＋p＋q＋4－3p－2q＝3－2p－q，h（2）＝－16＋8p＋4q＋8－6p－4q＝－8＋2p， 由h（1）≤h（2）得3－2p－q≤－8＋2p，由h（1）≤0得3－2p－q≤0，所以q≥11－4p且q≥3－2p，易知p≤4时，11－4p≥3－2p，p＞4时，11－4p＜3－2p，所以q≥当p≤4时，L（p，q）≥≥，当p＞4时，L（p，q）≥＞，因此L（p，q）的最小值为，此时p＝4，q＝－5 考点二　以高数中的定理为背景的新定义问题 学法指导：以高数中定理为背景的新定义创新类题目，一般是借用该高数中某定理表述的基本数学思想、基本数学表达式构建能够适应中学知识解决的问题.本题依据微分学中无限逼近思想为情境，以拉格朗日中值定理为数学模型证明两类不等关系成立.求解此问题的关键：（1）利用函数f（x）的单调性、零点所在区间及待证函数不等式所在区间之间的包含关系，结合拉格朗日中值定理数学表达式采用适当放缩证明；（2）利用无限逼近思想及函数图象上过一点的切线与x轴的交点横坐标构造数列x0，x1，x2，…，xn，xn＋1…，再利用拉格朗日中值定理构造出误差函数证明数列不等式成立. 【例2】拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不断，在开区间（a，b）内的导数为f'（x），那么在区间（a，b）内存在c，使得f（b）－f（a）＝f'（c）（b－a）成立.设f（x）＝ex＋x－4，其中e为自然对数的底数，e≈2.718 28.易知f（x）在实数集R上有唯一零点r，且r∈（1，）. （1）证明：当x∈（r，r＋）时，0＜f（x）＜1； （2）直接求解f（x）＝ex＋x－4的零点r是比较困难的，运用以下方法，我们可以得到f（x）零点的近似解.如图，在（1，）中选定一个x0作为r的初始近似值，使得0＜f（x0）＜，然后在点（x0，f（x0））处作曲线y＝f（x）的切线，切线与x轴的交点的横坐标为x1，称x1是r的一次近似值；在点（x1，f（x1））处作曲线y＝f（x）的切线，切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列x0，x1，x2，…，xn，….当xn＞r时，证明：xn＞xn＋1＞r. 【解析】证明：（1）由f（x）在R上单调递增，得对任意x∈（r，r＋），有f（x）＞f（r）＝0， 又由f（r）＝0，得f（x）＝f（x）－f（r），根据拉格朗日中值定理，存在c∈（r，x），f（x）＝f（x）－f（r）＝f'（c）（x－r）＜f'（c）＝（ec＋1），因为r∈（1，），所以c＜r＋＜＋＜2， （ec＋1）＜（e2＋1）＜1，所以0＜f（x）＜1. （2）①先证xn＞xn＋1，易知在点（xn，f（xn））处，曲线y＝f（x）的切线方程为y－f（xn）＝f'（xn）·（x－xn）， 令y＝0，得x＝xn－，即xn＋1＝xn－， 又xn＞r，f（x）在R上单调递增，则f（xn）＞f（r）＝0，而f'（x）＝ex＋1＞0，则＞0，所以xn＋1＝xn－＜xn. 再证xn＋1＞r，由于f（x）在R上单调递增，只需证f（xn＋1）＞f（r）＝0， 令h（x）＝f（x）－f（xn）－f'（xn）（x－xn），x∈[xn＋1，xn]，则h'（x）＝f'（x）－f'（xn）＝ex－≤0，x∈[xn＋1，xn]， 于是h（x）在[xn＋1，xn]上单调递减，而h（xn）＝f（xn）－f（xn）－f'（xn）（xn－xn）＝0， 因此h（xn＋1）＞0，又f（xn）＋f'（xn）（xn＋1－xn）＝0，故h（xn＋1）＝f（xn＋1），即f（xn＋1）＞0，所以xn＋1＞r.综上：xn＞xn＋1＞r. 【训练检测】 1、（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 . 【解析】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 2、若函数f（x）在[a，b]上有定义，且对于任意不同的x1，x2∈[a，b]，都有 ｜f（x1）－f（x2）｜＜k｜x1－x2｜，则称f（x）为[a，b]上的“k类函数”. （1）若f（x）＝＋x，判断f（x）是否为[1，2]上的“3类函数”； （2）若f（x）＝c（x－1）ex－－xln x为[1，e]上的“2类函数”，求实数c的取值范围. 【解析】（1）对于任意不同的x1，x2∈[1，2]，不妨设x1＜x2，则有1≤x1＜x2≤2，2＜x1＋x2＜4， 所以2＜＜3， ｜f（x1）－f（x2）｜＝｜（＋x1）－（＋x2）｜＝｜（x1－x2）｜＜3｜x1－x2｜， 所以f（x）＝＋x是[1，2]上的“3类函数”. （2）由题意知，对于任意不同的x1，x2∈[1，e]，都有｜f（x1）－f（x2）｜＜2｜x1－x2｜， 不妨设x1＜x2，则－2（x2－x1）＜f（x1）－f（x2）＜2（x2－x1）， 故f（x1）＋2x1＜f（x2）＋2x2且f（x1）－2x1＞f（x2）－2x2， 故y＝f（x）＋2x在[1，e]上单调递增，y＝f（x）－2x在[1，e]上单调递减， 故对任意的x∈[1，e]，都有－2≤f'（x）≤2，其中f'（x）＝cxex－x－ln x－1. 由f'（x）≤2可得c≤，令g（x）＝，1≤x≤e，则c≤g（x）min， g'（x）＝，令u（x）＝－2－ln x－x，1≤x≤e，可得u（x）单调递减，所以u（x）≤u（1）＝－3＜0，所以g'（x）＜0，所以g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min＝g（e）＝.由f'（x）≥－2可得c≥，令h（x）＝，1≤x≤e，则c≥h（x）max， h'（x）＝，令m（x）＝2－ln x－x，1≤x≤e，易知m（x）单调递减， 又m（1）＝1＞0，m（e）＝1－e＜0，所以∃x0∈（1，e），使得m（x0）＝0，即2－ln x0－x0＝0，所以ln x0＝2－x0，x0＝.当x∈[1，x0）时，m（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，e]时，m（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（x0）＝＝.综上所述，≤c≤.故实数c的取值范围为［，］. 3、（2024·贵阳适应性考试）英国数学家泰勒发现了如下公式：ex＝1＋x＋＋＋…＋＋…，其中n！＝1×2×3×4×…×n，e为自然对数的底数，e＝2.718 28….以上公式称为泰勒展开式.设f（x）＝，g（x）＝，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. （1）证明：ex≥1＋x； （2）设x∈（0，＋∞），证明：＜g（x）. 【解析】（1）设h（x）＝ex－x－1，则h'（x）＝ex－1.当x＞0时，h'（x）＞0；当x＜0时，h'（x）＜0.所以h（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增. 因此，h（x）≥h（0）＝0，即ex≥1＋x. （2）因为ex＝1＋x＋＋＋＋＋…＋＋….　① 所以e－x＝1－x＋－＋－＋…＋（－1）n＋….　② 由①②得f（x）＝＝x＋＋＋…＋＋…. g（x）＝＝1＋＋＋…＋＋….所以＝1＋＋＋…＋＋… ＜1＋＋＋…＋＋…＝g（x），即＜g（x）. 【预习要求】 1、 认真阅读学案、熟悉本节课的“复习目标”、“易错易混点”； 2、 能合本说出解决函数新定义问题的过程； 3、能画出本张学案的思维导图。 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$