精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为（ ） A. 14个 B. 15个 C. 16个 D. 17个 3. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 6. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 方程没有实数根 B. 两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 反比例函数的图像不会与坐标轴相交 8. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E在上，且，点F是边上的点，连结，将四边形沿直线EF翻折得到四边形．当D，M，N三点共线时，的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根______． 12. 已知：如图，在中，，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为______． 13. 某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点绕点逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_____． 14. 若二次函数的图象经过，两点，则代数式的最小值为______． 15. 如图，在中，点E为的中点，点D在的延长线上，且，连接、，延长交于点F，若，则的长为_______． 三、解答题（一）（本大题共3题，每题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． （1）转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________． （2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率． 18. 某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为400平方米，试求这条步道的宽度． 四、解答题（二）（本大题共3题，每题9分，共27分） 19. 问题提出：（1）如图（1），在中，，将绕点顺时针旋转得到，则__________ 方法应用：（2）某地建造了三个特色农产品种植基地，，，如图（2），在中，，．为了方便农产品的储藏运输，要在内修建一个中转站点及道路，，，则的最小值为__________． 20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题． （1）求证：； （2）若的半径为，，求的长． 21. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、点，与轴交于点，其中点A的坐标为，点的横坐标为． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）直接写出不等式的解集． （3）点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，在平行四边形中，，的延长线交于点F． （1）求的长； （2）如图2，的角平分线交于点P，点Q在上； ①当为等腰三角形时，求的长； ②如图3，当点Q在线段上，连接，将沿翻折得到，点M恰好落在边上，试求线段的长． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． （1）则点A的坐标为_________，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； （2）设点，（其中）都在抛物线上，若，请证明：； （3）已知点M是线段上的动点，点N是线段上方抛物线上的动点，若，且与相似，试求此时点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 命组卷网 2024-2025学年度第一学期期末考试九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转180°后能够与原来的图形重 合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线 两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴：根据这两个概念判断即可. 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意： B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意： C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意： D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意： 故选：D 2.一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的 概率为4，则这个箱子中黄球的个数为() A.14个 B.15个 C.16个 D.17个 【答案】B 【解析】 1 【分析】接利用概率公式得出红球的个数÷小球总个数4，进而得出答案。 【详解】解：设箱子中黄球的个数为x个，根据题意可得： 第1页/共34页 命学科网 命组卷网 51 x+54, 解得：x=15. 经检验得：x=15是原方程的根。 故答案为：15 【点睛】此题主要考查了概率公式，根据概率公式列方程计算解题关键. 4 tan B= 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若a 3,则sinA的值为() C B 3 3 5 A.4 B.5 c.5 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三 anB=AC、4 角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出 BC-3,设AC=4x,BC=3x, 根据勾股定理求出AB,再根据锐角三角函数的定义求出答案即可. 【详解】解：tanB=4C-4 BC 3 小设1C=4红.BC=3x 由勾股定理得：B=V4x2+3=5x ".sin 4=BC=3x3 AB5x5· 第2页/共34页 6学科网命组卷网 故选：B 4如图，在⊙0 中，△40B是正三角形，点C在AB上，若∠CMB=20°，则∠ABC=() B A100 B.15o C200 D250 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、内接四边形，等边三角形的性质，先根据等边三角形的性质得出 ∠AOB=∠BA0=∠AB0=60°，结合圆周角定理，得出 ∠ACB=30° ，又因为圆内接四边形，则 ∠ACB=150°，运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答. 【详解】解：如图：取⊙0一点G,连接CACB .AOB 是正三角形， .∠AOB=∠BAO=∠AB0=60°， AB=AB ÷∠ACB=)x60°=30 2 ACBC 四边形 是圆内接四边形 第3页/共34页 命学科网命组卷网 ∠ACB=180°-∠ACB=150° .∠CAB=20° ∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-150°-20°=10°， 故选：A a,b,c 5.已知 分别是△AB 的边长，则一元二次方程a+r+2axr+a+b=0 的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况.而△=(2℃)24 (a+b)(a+b)=4c2.4(tb)2,根据三角形的三边关系即可判断， 【详解】解：△=(2c)2.4(ctb)(cb)=4c2.4(atb)2=4(c+tb)(c--b). ,a,b,c分别是三角形的三边， ..atb>c. ∴.c+a+b>0,c--b<0, ∴.△<0， 方程没有实数根。 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对(2c)24 (+b)(+b)进行因式分解. 6.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（) 第4页/共34页 6学科网 命组卷网 16 17 A.5 B.6 C.3 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】证明△ABE∽△CDE,求得AE:CE,再根据三角形的面积关系求得结果， 【详解】解：CD∥AB, ,△ABE∽△CDE, AE AB 4 ∴.CECD2=2, .Sou= 2 3 2×4x4=16 2.1. 32 , D 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似， 7.下列命题正确的是() A.方程r-x-1=0 没有实数根 B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C.平分弦的直径垂直于弦 D.反比例函数的图像不会与坐标轴相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式即可判断A;根据相似三角形的判定定理即可判断B;根据垂径定理即可判断 C;根据反比例函数图象的性质即可判断D, 第5页/共34页 学科网 命组卷网 【详解】解：A、由题意得， △=(-12-4×1×(-)=5>0，则方程x2-x-1=0有两个不相等的实数 根，原命题是假命题，不符合题意： B、两边成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形相似，原命题是假命题，不符合题意； C、平分非直径的弦的直径垂直于弦，原命题是假命题，不符合题意： D、反比例函数的图像不会与坐标轴相交，原命题是真命题，符合题意： 故选；D 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，根的判别式，垂径定理，相似三角形的判定，反比例函数的性质 等等，熟练掌握相关知识是解题的关键。 8.己知二次函数y=+bx+c(a为常数，且a>0)的图象上有四点 (-1,)B(3) C(2,).D(-2,乃)，则片，2，乃的大小关系是(） A.片<y<为 B.少<乃<⅓ c.2<为<y D.3<y<y2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征 可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质· 【详解】解：：点A(-y),B(3,y) 抛物线的对称轴为直线x=+3-1 2 :2-1<3-1<1-(-2) :乃<乃<⅓ 故选：B. y=k(k≠0)】 9.如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数x 的图像上，点B的 第6页/共34页 命学科网命组卷网 坐标为(2,4)，则点E的坐标为() D A.(4,4) B.(2,2) c(2,4) D.(4,2) 【答案】D 【解析】 【分1捉新≠0 8 经过（久，4）定解折式为'，设正方形销边长为，则点(2+x,代 入解析式计算即可. 【详解】：少= (k≠0)经过(2,4)， 8 y=- 解析式为 x, 设正方形的边长为x,则点E(2+,), :(2+x)x=8 解得5=2,6-4 (舍去)， 故点E(4,2) 故选D, 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的 关键。 第7页/共34页 命学科网组卷网 10.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,点E在AD上，且AE=3,点F是BC边上的点，连 结EF,将四边形ABFE沿直线EF翻折得到四边形MNFE.当D,M,N三点共线时，BF的值为( 9 19 11 111 A.2或2 B.3或2 C.2或2 D.3或2 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，一是D,M,N三点共线，且点D在线段NM的延长线上，连二是D,M, 三点共线，且点D在线段 上，设FW家CD NM 交 CD于点K,求符DN=1, ,由 DN DK =sin∠NKD=sin∠MDE=ME_3 DE=5,求 得 DK= 3,则 CK=10 3， 由 CF CK =tan∠CKF=tan∠MDE=ME_3 【详解】解：如图1，D,M,N三点共线，且点D在线段NM的延长线上，连接DM,设MN交 BC于点. 第8页/共34页 6学科网命组卷网 D 图1 “四边形 ABCD AB=5 BC=8EAD AE=3 是矩形， ，点“在 上，且 .∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°AD//BCCD=AB=5AD=BC=8 ∴.∠NLF=∠CLD=∠EDM,DE=AD=8-3=5 由翻折得∠EMN=∠A=90°，∠N=∠B=90°，MN=AB=5,ME=AE=3, ∴.∠EMD=90° :.DM=VDE2-ME2=V52-32=4 CD .DL =sin∠CLD=sin∠EDM=ME=3 DE5· DL=CD=5x5=25 5 5 3 3 3’ M=DM+MN-DL=4+5-252 33 NF .NL -=tan /NLF=tan LEDM ME=3 DM4· :.BF-NF-3NL-3x2-1 4 432: 如图2，D,M,N三点共线，且点D在线段NM上，设FN交CD于点K, 第9页/共34页 6学科网6组卷网 M F 图2 MN=AB=5.DM=4, .DN=MN-DM=5-4=1. .∠CKF=∠NKD=90°-∠NDK=∠MDE」 DN .DK =sin∠NKD=sin∠MDE=ME_3 DE 5 3 ÷CK=CD-DK=5-3_-10 33’ CF .CK =tan∠CKF=tan∠MDE=ME_3 DM 4' :cF=3ck=3x10-5 4 432: :BF=BC-CF=8-22, 511 11 综上所述，BF的值为2或2， 故选：C 【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角 相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出DM的长是解题的关键. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1.已知一元二次方程x-3x+m=0的一个根为=1，则另一个根名= 【答案】2 【解析】 第10页/供34页 命学科网命组卷网 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于 b a,代入已知根即可求解. 【详解】解：设方程X-3x+m=0的另一个根为5 由根与系数的关系，得+名=- 3=3 1 因为古=1 所以1+名=3 解得戈2 故答案为：2. 12.已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，A0=3cm,B0=4cm.将△AOB绕顶点O,按顺时 针方向旋转到 △4OB处，此时线段 B与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B,D的长度为 B 3 【答案】2cm 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理. 先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB=5,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 第11页/共34页 命学科网 命组卷网 0D=1AB=2.5 然后根据旋转的性质得到OB=OB=4cm,那么B,D=OB,-OD=1.5, 【详解】：在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm,BO=4cm, 4B=J042+082=5 点D为AB的中点， 0D=1AB=2.5 2 :将△AOB绕顶点O,按顺时针方向旋转 △AOB处， :OB=0B=4 :BD=0B-0D=1.5 3 -cm 故答案为：2 13.某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24Cm的定滑轮带动重物上升，如图，滑轮上一点A 绕点逆时针旋转 05 0, 假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm 【答案】7π 【解析】 ntr 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式180.利用弧长公式算出重物上升的高度即 可. 第12页/供34页 6学科网命组卷网 1=105x12m=7mcm 【详解】解： 180 故答案为：7π. 14若二次函数y=am+2的图象经过P1,3),(m,m川两点，则代数式-4m2-4n+9的最小值为 【答案】1 【解析】 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求得Q=1,”=m'+2 再利用配方法和二次函数的性质 求解即可 【详解】解：：二次函数y=+2的图象经过P(L,3) .3=a+2,则a=1, y=x2+2 :二次函数y=ar+2的图象经过(m,川）， n=m+2,即㎡=n-2,且n22, :r-4m2-4n+9 =n2-4(n-2)-4n+9 =n2-8n+17 =(n-4)}2+1 .1>0,n≥2， 当n=4时，n-4m2-4n+9 最小值，最小值为1. 故答案为：1. 第13页/共34页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，理解题意，熟练掌握利用二次函数的 性质求解最值是解答的关键. 15.如图，在△ABC中，点E为AB的中点，点D在CA的延长线上，且DC=3AC,连接BD、CE, 延长CE交BD于点R,若∠D=∠ABC,DF=7N5,则AB的长为 28 91 【答案】3#3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定与 性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键。 如图，延长CE到G,使CE=BG,连接BG,证明△CE仁△GEB(SAS),则∠ACE=∠BGE. 4C=BG,证明DEC-ABFG,则BFBG,求BF=3 DF DC BD=285 3, 3，证明 28v3 28V5 BD1R一'则BDCD-BC，即3=3A1C=BC,可求 BC=V3AC'由3 AC AB BC AC AB BC AC AB3AC 可求AB 【详解】解：如图，延长CE到G,使CE=EG,连接BG, 第14页/共34页 6学科网命组卷网 B E G :CE=EG,∠CEA=∠GEB,AE=BE, :△CEA2AGEB(SAS) ∠ACE=∠BGE,AC=BG, .∠DCF=∠BGF,∠DFC=∠BFG, .△DFCABFG, DF DC 3 3AC ·BFBG,即BF-AC, 解得 BF=73 3, BD=BF+DF=283 3, :∠D=∠ABC,∠DCB=∠BCA, .△BDC∽AABC. 28V3 “ABBC-C,即3-3ACBC .BD=CD_BC AB BC AC 解得， BC=3AC 第15页/供34页 6学科网命组卷网 285 3 AC 28 解得， AB= 3, 28 故答案为：3。 三、解答题（一）（本大题共3题，每题7分，共21分） 16计算：c0s60-2sin245+3tan230°+sin30 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键.将特殊角的三 角函数值代入求解即可. 【详解】解： cos60°-2sin245°+3tan230°+sin30 11 22x1+3×3* 2 1 1 二-1+1+ 2 2 =1 17.如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外， 其它完全相同)，转盘甲上的数字分别是-6，-1,8，转盘乙上的数字分别是-4,5,7（规定：指针恰好 停留在分界线上，则重新转一次)· 第16页/共34页 6学科网组卷网 -1 8 甲 乙 (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 一；转盘乙指针指向正数的概率是 (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为α，转盘乙指针所指的数字记为b,请用列表法或 树状图法求满足a+b<0的概率. 12 【答案】(1)3；3 1 (2)满足+b<0的概率为3. 【解析】 【分析】(1)直接根据概率公式求解即可； (2)列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可， 【小问1详解】 1 解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是3； 2 转盘乙指针指向正数的概率是3. 12 故答案为：3；3. 【小问2详解】 解：列表如下： 乙 甲 -1 8 × -5 -10 4 5 4 -1 13 第17页/供34页 学科网命组卷网 > 6 15 由表知，共有9种等可能结果，其中满足+b0的有3种结果， 31 ∴满足a+b0的概率为g3· 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出 符合事件A或B的结果数目，求出概率. 18.某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条 宽度相等的健走步道，其步道面积为400平方米，试求这条步道的宽度. 30 20 【答案】这条步道的宽度为5米 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象成一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键.由小 路的宽度可得出小路围起来的部分长为(30-2)米，究为20-2)米，再利用矩形的面积公式即可得到 方程. 【详解】解：设这条步道的宽度为x米， 根据题意，得30-2x20-2x)-30×20-40 解得=5戈=20 (不合题意，舍去) 答：这条步道的宽度为5米， 四、解答题（二）（本大题共3题，每题9分，共27分) 19.问题提出：(1)如图(1)，在△ABC中，BC=2,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△ABC', 则CC'= 第18页/共34页 6学科网 命组卷网 方法应用：(2)某地建造了三个特色农产品种植基地A,B,C,如图(2)，在△ABC中， AB=BC=3km∠ABC=30° △ABC 为了方便农产品的储藏运输，要在内修建一个中转站点及道 路PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为 图(1) 图(2) 【答案】(1)2，(2)3W2km 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关 键。 (1)根据旋转性质得△BCC'为等边三角形，则CC'=BC=2,即可作答. (2)先把△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△BEF,连接PE,证明△BPE是等边三角形，结合勾股定 理得AF=VAB2+BF2=3V2(km),即可作答. 【详解】解：(1)，△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△ABC', .BC=BC,∠CBC'=60°. .△BCC为等边三角形， CC=BC=2 故答案为：2； 第19页/供34页 命学科网命组卷网 (2)把△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△BEF,连接PE,如图所示： PB=BE,∠CBF=∠PBE=6O°∠BPC=∠BEF,PC=EF 由旋转性质得 ∴.△BPE是等边三角形， .PA+PB+PC=PA+PE+EF AF 当4PE,F PA+PB+PC=AF 四点共线时，则 .4B=BC=3km .'BF=BA=3km. .∠ABC=30°， .∠ABF=30°+60°=90°， 则△AFB是等腰直角三角形， .AF=VAB2+BF2 =32(km). 则PA+PB+PC 的最小值为 3v2km 故答案为： 3V2km 20.在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推 动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设 第20页/供34页 6学科网 命组卷网 计了一个“双莲杆机构，设计图如图1，两个固定长度的莲杆4P,BP的连接点P在O0上，当点P 在⊙ 上转动时，带动点A,B分别在射线 OM ON V上滑动.OM1ON.当P与o0 与相切时，点 B ⊙0 恰好落在 上，如图2. P M 0 B N 图1 图2 请仅就图2的情形解答下列问题. (1)求证：∠PAO=2∠PBO: 0 （②)若⊙0的半径为5,4P= 3,求BP的长. 【答案】 P,取'轴正半转与O0交点于点0，如下图： ⊙0、 (1)证明：连接 B N 图2 .OP=OB,∴.∠OPN=∠PBO :LPO0为△PON 的外角， 第21页/供34页 命学科网命组卷网 ∴.∠POQ=∠OPN+∠PBO=2∠PBO .∠PO9+∠POA=∠POA+∠PAO=90° ∴.∠PAO=∠POQ ∴.∠PAO=2∠PBO (2)3v10 【解析】 【分析】(1)利用等腰三角形的性质及三角形的外角，找到角与角之间的等量关系，再通过等量代换即 可证明： (2)添加辅助线后，证明三角形相似，得到对应角相等，所以角的正切值也相等，求出直角三角形的直 角边长，再把BP放到直角三角形中，利用勾股定理求解. 【详解】解：(1)略 (2)过点Q作PO的垂线，交PO与点C,如下图： P M 0 B N 图2 由题意： 在RIAAPO中， tan∠PAo=OP、53 AP-20-4 3 ∠Q0C=∠OAP,∠APO=∠OCQ 由(1)知： 第22页/供34页 命学科网命组卷网 RIAAPO∽RIAOCO m<00-器-o0=5, ∴.C0=4,CQ=3 ∴.PC=P0-C0=5-4=1 PO=PC2+CO2=1+9=10 由圆的性质，直径所对的角为直角： Rt△QPB 在 中，由勾股定理得： BP=VBg2-Pg2=V102-10=310 即BP=3V10 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、切线的性质、 勾股定理、特殊角度的正切值，解答的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角、 边与边的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解. y= 21.如图，直线y=c+b与反比例函数x的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C,其中点A的坐 标为2,4)， 点B的横坐标为-4 B (1)试确定反比例函数的关系式： 第23页/供34页 6学科网 命组卷网 (2)直接写出不等式 +b≥ x的解集。 (3)点D是y轴上一点，点E是坐标平面内一点，以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形，请直接 写出点E的坐标. 【答案】()=-8 (2)-4≤x≤-2或x>0 (3)点E的坐标为-2,0欧-6.6) 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法解答即可： (2)求得点B坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上的部分即为符合题意部分，对照图象 直接写出即可： (3)利用分类讨论的方法分当以AB为一边时和当以AB为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据 菱形的性质和对称性直接写出即可. 【小问1详解】 解：将点A的坐标（-2,4)代入反比例函数》=x中得： k=-2×4=-8 :反比例函数的关系式为y=8 【小问2详解】 解：，点B的横坐标为一4， 8-2 ∴.y= -4 .B(-4,2) 第24页/供34页 6学科网 命组卷网 由图象可知，不等式 +b≥ 的解集为-4≤x≤-2或x>0; 【小问3详解】 ① 解： 当以MB为一边时，如图所示： B E O 把A(-2,4).B(-4,2)分别代入y=c+b得： -2k+b=4 [k=1 -4k+b=2,解得：b=6, .y=x+6 把y=0代入得：x=6, ·直线1B与y轴交点坐标为：(0,6)】 设点D(0,m) 则4D2=(-2}+(m-42 AB2=[-2-(4)]+(4-2)2=8, AB=AD」 AD2=AB2 即(-2}+(m-4)2=8 第25页/供34页 6学科网 命组卷网 解得：m=2或m=6(舍去)， 点D(0,2) .BD∥x轴， 菱形的对角线垂直平分， .AE⊥BD, AE∥y轴， :E(-2,0) ② 当以AB 一条对角线时，如图， D 设点D(0,n) 则4D2=(-2+(n-4,BD2=(4}+(n-2」 AD=BD. AD2=BD2 即(-2y°+(n-4}=(-4}+(n-2. 解得：n=0, D(0,0) 菱形的对角线AB与DE互相平分， 第26页/供34页 学科网丽组卷网 ÷根据中点坐标公式可得，AB与DE交点F的坐标为：（一3,3） ∴点B的坐标为： （-6,6) 综上，以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形，点E的坐标为(-2,0)或(6,6) 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结 合法解答是解题的关键。 五、解答题（三）（本大题共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 2.如图1，在平行四边形4BCD中，AB=6,AD=45,∠B=60,AE1AB,AE,BC 的延长线交 于点F y P了 C 图1 图2 图3 (1)求CF的长： (2)如图2，∠BAE的角平分线交BC于点P,点Q在AF上： APQ AQ ①当 为等腰三角形时，求的长； ②如图3，当点Q在线段 F上，连接PE,将 △PE0沿PE翻折得到△PEM,点M恰好落在1D边上， A0 试求线段 的长 【答案】(1)CF=12-45 (2)①40=35-3或6-32或6N2-6②40=9 【解析】 第27页/供34页 6学科网 命组卷网 ABF. 【分析】(1)解直角三角形 求得BF ,进而求得结果： (2)@作PF1MB手R分为三种情形：当40=P0 时，可推出△AP 是等腰直角三角形，解三角 形APB求得PF,进而求得结果，进而求得AO=AP和AO=AP情形： △BAP≌△EAP从而 、∠AEP=∠B=60°， ②可推 进而推出 ∠AEM=∠PEM-∠AEP=60P从而求 得EM,进一步得出结果。 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形分类，解直角三角形，折叠得性质，全等三角形的判定和性质 等知识，掌握相关知识是解决问题的关键 【小问1详解】 解：：四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=4N3,AB∥CD, AE⊥AB, .∠BAF=90°， BF=AB 6 =12, cosB c0s60° ∴.CF=BF-BC=12-4V3; 【小问2详解】 解：①如图1，作PG⊥AB于G, G C 图1 当0=Pp 时， 第28页/供34页 命学科网命组卷网 ∠PAQ=∠APQ ·∠BMF=909,A 平分<BAR .∠BAP=∠PAF=45°， .∠AP9=45° :∠40P=90 PO=PG 在Rt△PBG中，BF Pc=tanB=tan60°=V5, 设BG=a,PG=V3a, PG =tan∠BAP=tan45°=l, 在Rt△PGA中，AG ∴.AG=PG=a, 由AG+BG=AB得， 3a+a=6, a=3v2-3, ∴.AQ=PQ=PF=3W2-3, 如图2， B 图2 当A=AP 时 第29页/供34页 6学科网命组卷网 由上知： AQ=AP=2PG=6-32, 如图3， A B 图3 当AP=P时， 4Q=2AP=6V2-6, 综上所述：A0=3W2-3或6-3V2或6N2-6 ②如图，将 PEQ、nPE 翻折得到△PEM A M D :四边形ABCD是平行四边形， .∠D=∠B=60°，AB∥CD, AE⊥AB, .AE⊥DE, ME=AD-sinD=4W5×3 =6, .AE=AB=6, .∠BAP=∠EAP.AP=AP 第30页/供34页 命学科网命组卷网 :△BMAP≌aEAP(SAS) .∠AEP=∠B=60°， PEO沿PE折得到△PEM, ,将 ∠PEM=∠PEQ=180°-∠AEP=120° .∠AEM=∠PEM-∠AEP=120°-60°=60 :∠4ED=909,∠D=60° .∠EAD=30°， :.∠EAD+∠AEM=90° .∠AME=90° ∴.EQ=EM=5AE=3, 2 :40=AB=B0=6+3=9 23.如图，已知抛物线 x+2 2 与x轴交于点A、B,与y轴交于点C y (1)则点A的坐标为 一，点B的坐标为 一，点C的坐标为 x+3x+2 (2)设点P(,),(x,乃)（其中x>,)都在抛物线y=2 21 上，若x+x2=1,请证 第31页/供34页 6学科网列组卷网 明：乃> (3)已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM=90°，且 ACMN,△OBC 与 相似，试求此时点的坐标 【答案】(1)(-1,0)，(4,0)，(0,2)： (2) +龙2=1 ,由题意得 h-2=- 2 +2+2-(+35+2 +x 2 2 1 .3 = 2+2 123 252-2 1 3 2年+xx-)+G-) = =七-x2 >龙 -为>0 >乃 325 (3)点N的坐标为(2,8)或(3,2) 【解析】 【分析】(1)分别令x=0和y=0 和 ,即可求出点A、B、C的坐标： ②)由题高。结合与+6引，利用作茶法即可末出片-片=一5>0 即可得到结论成立； (3)过点N作NG⊥y轴于点G,过点M作MH⊥GN于点H,先求出直线BC的函数表达式为 第32页/供34页 学科网命组卷网 1 y=- +2 ,然后分成两种情况进行分析：①CN:F1:2或②CV:W2:1,分别求出答案即可. 【小问1详解】 3 解： 1x+x+2 2 2 与x轴交于点A、B,与y轴交于点C 令ts0 y=2 则 ∴.点C的坐标为(0,2)： 2+3x+2=0 3 令y=0,则2 2 解得：x=-1或x=4； ∴.点A为(-1,0)，点B为(4,0)； 故答案为：(-1,0)，(4,0)，(0,2)： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点N作NG⊥y轴于点G,过点M作MH⊥GWN于点H. 第26题图 由点B、C的坐标分别为(4,0)，(0,2)， 1 y=- x+2 易得直线BC的函数表达式为2 1 3 1 3 设点N的坐标为以2+”+2) ),则GN=n,GC-=2 +2 第33页/供34页 命学科网命组卷网 当∠CM=90°时，易得△CNG∽△MH. ①△CN中CN:MN=1:2, 12 3 n2+n、 则易得NH=2(2”2")=-n2+3n,HMF2n. -m+3n+2-2n ∴.点M的坐标为(-n2+3n+n,2 2 ) 商布直线k,的0+a+2-2n-引+如+小2 3 解得：乃=0（舍去），%=2. 325 此时可得点N坐标为(2,8). ②若△CMN中CN:N=2:1, 1 ,31 3 n2+n 2n2+ n 1 则易得MH=2(2”2”)广4”+4”，E2n. 4ntintn _1n2 12 3 n+3n+2- .3 -n 所以点M的坐标为(4 4 ,2 2 2）. 1 3 3 n2+2n士2一2n=24中4) )+2 解得：%=0（舍去），n=3 此时可得点N坐标为(3,2). 325 综上所述，点N的坐标为(2,8)或(3,2). 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用作差法比较大小，解题的关 键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用分类讨论、数形结合的思想进行解题。 第34页/共34页