专题04 二次根式80道计算题专项训练（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算． （1）利用绝对值、算术平方根、立方根计算后进行加减法计算即可； （2）先把二次根式化简为最简二次根式，再进行加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 4．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式加减的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，零指数幂，负整数指数幂公式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2））解： ． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，实数的混合运算，二次根式的加减运算； （1）先化简绝对值，二次根式，计算乘方，负整数指数幂，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算及立方根，熟练掌握二次根式的运算及立方根是解题的关键； （1）根据二次根式的加减乘运算可进行求解； （2）先利用二次根式及立方根的性质化简，然后再进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减计算即可； （2）先计算绝对值、零指数幂、二次根式、乘方，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（23-24八年级下·陕西延安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则解答即可，本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：原式                    ． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，乘法公式的运用，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则先计算，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）运用乘法公式对二次根式进行混合运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2024·陕西西安·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，化简绝对值，二次根式的乘法，负整数幂，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）利用二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算二次根式的除法，再计算乘法即可. 【详解】（1） ； （2） 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）化简计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行乘除运算即可． 【详解】解： ． 16．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先整理得，再把除法化为乘法，得，再化简运算，即可作答． 【详解】解：原式． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 18．（24-25九年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．特别注意二次根式相乘除时，分别把根号外的相乘除，根号内的相乘除．最后结果必须是最简二次根式． 直接利用二次根式的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】原式 19．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用二次根式的除法法则计算即可； （2）先计算乘法，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算和利用平方根解方程．掌握实数的混合运算法则和利用平方根解方程的方法是解题关键． （1）先简二根式再合并同类二次根即可； （2）先简二根式再合并同类二次根，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值、二次根式的化简等知识．先根据得到，再把原式进行化简得到，把代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时， 原式 22．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)25 【分析】本题考查二次根式的性质，求一个数的平方个和立方根，熟练掌握知识点，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据算术平方根的定义，计算即可； （3）根据立方根的定义，计算即可； （4）根据算术平方根的定义，进行计算即可； （5）根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2） （3） （4） （5） 23．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的性质，结合数轴进行分析是解题的关键．根据数轴判断出a，b的正负，然后利用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可； 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）实数，在数轴上的位置如图，化简． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴可得出，的正负情况，然后确定的正负，再将二次根式化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得：，， ∴， ∴ ． 25．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)的值为或7 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 26．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： (1)______；若，______； (2)若a，b，c为三角形三边长，化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的性质及化简，根据二次根式的性质即可求出答案． （1）根据，结合已知条件求出结果即可； （2）根据三角形的三边关系可得，，，据此化简原式即可． 【详解】（1）解：， ； 当时，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵a，b，c为三角形三边长， ∴，，， ，，， 原式 ． 27．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①；；；______； 探究：对于任意非负有理数，______； ②；；；______； 探究：对于任意负有理数，______； 综上，对于任意有理数，______； (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)①，②，， (2) 【分析】（）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； 分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果； 此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． 【详解】（1）解：①，对于任意非负有理数，； 故答案为：，； ②，对于任意负有理数，，对于任意有理数，； 故答案为：，，； （2）观察数轴可知： ，，， 原式 ． 28．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简：． 【答案】原式； 【分析】本题考查根据数轴化简绝对值及二次根式，先根据数轴得到字母的取值范围，根据及化简即可得到答案； 【详解】解：由数轴得， ，， ∴原式 ． 29．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式， 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简； 【拓展提升】（3）若，求x的取值范围． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边关系，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）先将化简为，然后分类讨论：当时， 当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； （3）∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 30．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 【答案】(1)2， (2)①，；② 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键． （1）根据所给的二次根式的性质即可求解； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：2，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， ∴， ． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ ． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2） 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算： （1）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案； （2）根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂等知识点， （1）先计算二次根式的乘法，绝对值，负整数指数幂，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，除法，化简二次根式，然后再进行计算即可解答； 熟练掌握二次根式的混合运算法则并能准确熟练地进行计算是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：． 35．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算、二次根式的混合运算． （1）根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则计算即可； （2）先算除法和乘法并化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．（24-25八年级上·北京房山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式和实数的混合运算、零指数幂、立方根，熟练掌握法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、立方根以及二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 37．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可．首先根据二次根式的乘法法则可得，根据平方差公式可得，可得原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 38．（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，掌握运算法则，并正确进行计算是解题的关键； （1）分别计算绝对值与零指数幂，再合并同类二次根式即可； （2）分别用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序以及化简法则． （1）先计算二次根式乘法，化简绝对值，合并计算即可； （2）先算乘除法，利用完全平方公式展开，再化简，最后合并． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级下·山东济南·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察： ； 反之，； ∴； ∴. 仿上例，求： （1）； （2）若，则、与、的关系是什么？并说明理由. 【答案】（1）；（2），.理由见解析. 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料两边同时平方即可求解. 【详解】（1） ； （2），； ∵，∴， ∴， ∴，. 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 42．（24-25七年级下·重庆荣昌·阶段练习）阅读理解题：阅读下列材料： 将化简，使根号内不含根号，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且mn＝，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3＋2±2＝＋±2×＝，所以＝＝±. 请仿照上例解下列问题： (1)化简；(2)化简． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据材料中方法和完全平方公式以及二次根式的性质解答； （2）根据材料中方法和完全平方公式以及二次根式的性质解答． 【详解】解：（1）； （2）. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键． 43．（24-25八年级下·广东中山·期中）阅读下面材料，回答问题： （1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：＝＝＝﹣ 小李的化简如下：＝＝＝﹣ 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． （2）请你利用上面所学的方法化简：①；②. 【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误，理由见解析；（2）+1， 【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案； （2）①直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案；②直接利用完全平方公式将原式变形开平方即可得出答案． 【详解】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误； 因为； （2）①； ②原式＝． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键． 44．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）先阅读然后解答问题：化简 解：原式= 根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：；（2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把4写成3+1，根据完全平方公式配方即可求解； （2）把写成，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解； 【详解】（1）原式. （2）原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大． 45．（24-25八年级下·浙江·课后作业）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋ 解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________ ②根据上述思路，试将下列各式化简： (1)；    (2). 【答案】①，，3+；②(1)5-；(2) . 【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形，计算即可得到结果； ②仿照以上方法将各式化简即可． 【详解】①===3+， 故答案为，，3+； ②(1) = = = = =5-； (2) = = = = =. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 46．（24-25八年级下·全国·课后作业）有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简. 例如：5+2=3+2+2 = = 请仿照上例化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据完全平方公式把5-2化为，然后利用二次根式的性质计算； （2）根据完全平方公式把4-2化为，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】(1)5-2=3+3-2=+-2=，所以=． (2)4-2=3+1-2=+(1)2-2 =，所以=． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了完全平方公式和阅读理解能力． 47．（24-25九年级上·全国·单元测试）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使记，并且，则将，变成开方，从而使得化简． 例如：化简． 因为 所以 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】(1) ；（2）． 【分析】根据题目所提供的方法，先将被开方式化为完全平方的形式，然后根据二次根式的性质化简即可. 【详解】原式． 原式． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解答本题的关键是根据完全平方公式将被开放式化为完全平方的形式. 48．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据即可得出结论; （2）根据 即可得出结论; 【详解】解：(1) ； (2) . 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,根据题意把被开方数化为完全平方式的形式是解答此题的关键. 49．（24-25八年级·湖北随州·期中）阅读下面材料，回答问题： (1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：； 小李的化简如下：； 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． (2)请你利用上面所学的方法化简． 【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．（2） 【分析】分析：(1)、根据的性质来进行判定得出答案；(2)、将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】详解：解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误． 因为； （2）原式=． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于中等题型．解决本题的关键就是将整数转化为两个实数的平方和，从而得出完全平方式． 50．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）你见过像，…这样的根式吗，这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如：====-1，请用上述方法化简： 【答案】-． 【分析】因为5＝2＋3＝()2＋()2，且＝2××，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝－． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性质化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 【经典计算题六 分母有理化】 51．（2025八年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质，运算法则，以及掌握平方差公式，和完全平方公式进行计算是解题关键． （1）先分母有理化，再进行减法计算； （2）先利用完全平方公式展开，再合并，再利用二次公式的性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道， 因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这个过程就是分母有理化，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简______；______． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； （3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；； （2）原式 ． 53．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 54．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）【阅读理解】 在二次根式中，常有相辅相成的“对子”，他们的乘积为有理数． 如：，，它们的乘积中不含根号，我们就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个因式是另一个因式的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解答： ，． 像这样通过分子、分母同乘一个不为零的式子把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)将分母有理化的结果为______； (2)已知：，，求的值； (3)根据以上经验可得：， ， ， ， 按照上述规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的加减运算，熟练掌握运算公式及运算法则是解题的关键； （1）分子分母同乘以即可得到答案； （2）代入后先分母有理化，再进行加减法即可； （3）先分母有理化，再进行加减法即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：∵，， ； （3）解： ． 55．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 56．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请参照上面的方法化简： (2)直接写出化简结果：_______，_______ (3)计算： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理数的两种方法． （1）仿照已知分母有理化方法求解可得答案； （2）分母有理化即可； （3）先分母有理化，再提取公因数，继而两两相消，进一步计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 57．（24-25八年级上·广东佛山·期中）直接写出答案： ①_________②_________ ③__________ ④__________ ⑤_________⑥__________⑦__________⑧_________ ⑨__________⑩_________ 【答案】①3；②；③；④4；⑤，⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，分母有理化．根据二次根式的性质和化简，分母有理化计算即可求解． 【详解】解：①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩． 58．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若，，比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再代中计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： （2）， （3）， ， ， ， ． 59．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… (1)根据规律直接写出第式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)168 【分析】本题考查的是分母有理化及二次根式的运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据题意得出第n个式子即可； （2）根据（1）中的规律求出n的值即可． 【详解】（1）解：第式；； （2）解：， ， ， ， ， ， 解得． 60．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）化简求值． (1)若为的小数部分，求的值． (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算，完全平方公式的变形求值： （1）先把有理化，再估算出有理化的结果即可得到答案； （2）先分母有理化求出x、y的值，进而求出和的值，再根据完全平方公式的变形代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)4 (2)x的值为 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴的值为4． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 62．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照新定义运算规则求解即可得到答案，看懂新定义实数运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，则， ， ． 63．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 64．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 65．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）仿照已知化简即可； （）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ， ． 66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 68．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 69．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 70．（24-25八年级下·北京海淀·期中）定义，任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“扩充数”． (1)若，直接写出，的“扩充数”； (2)如果，，为，的“扩充数”，求（用含的式子表示）； (3)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)利用“扩充数”的定义可直接求得； (2)利用“扩充数”的定义求出x的值，再判断； (3)先化简，再求值即可． 【详解】（1）解：由“扩充数”的定义可得， ； （2）解：由“扩充数”的定义可得， ， ， ， ； （3）解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整数的混合运算和分式的化简求值，关键是能根据定义表示出“扩充数”，然后利用运算法则进行计算． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：，， ∵， ∴， 即． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题例运算即可求解； （2）根据题例即可得出一般规律； （3）原式各项分母有理化后，合并即可得出答案． 【详解】解：（1）依题意可得： ① ②； （2）根据题意，观察式子的规律可得： ， 故答案为：； （3） ． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用题目中的规律进行判断即可； （2）利用分母有理化进行化简即可； （3）利用（2）中的化简方法得到原式，然后合并即可． 【详解】解：（1）根据题目中的规律可知：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，能结合题目，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往事半功倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算：． 2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2) 4．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 6．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 7．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2)． 8．（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1) (2) 10．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（23-24八年级下·陕西延安·阶段练习）计算：． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算 (1) (2) 13．（2024·陕西西安·一模）计算：． 14．（23-24八年级下·天津西青·阶段练习）计算： (1)； (2) 15．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）化简计算． 16．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）计算：． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 18．（24-25九年级上·四川乐山·期中）计算：． 19．（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）计算 (1) (2) 20．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典计算题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中 22．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 23．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 24．（23-24八年级下·广东广州·期中）实数，在数轴上的位置如图，化简． 25．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：______． (2)解方程：． 26．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题： (1)______；若，______； (2)若a，b，c为三角形三边长，化简：． 27．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①；；；______； 探究：对于任意非负有理数，______； ②；；；______； 探究：对于任意负有理数，______； 综上，对于任意有理数，______； (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：． 28．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，试化简：． 29．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式， 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简； 【拓展提升】（3）若，求x的取值范围． 30．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 33．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 34．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2) 35．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 36．（24-25八年级上·北京房山·期末）计算： (1)； (2)． 37．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 38．（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)． 39．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1) (2) 40．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)． 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级下·山东济南·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟悉掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察： ； 反之，； ∴； ∴. 仿上例，求： （1）； （2）若，则、与、的关系是什么？并说明理由. 42．（24-25七年级下·重庆荣昌·阶段练习）阅读理解题：阅读下列材料： 将化简，使根号内不含根号，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且mn＝，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3＋2±2＝＋±2×＝，所以＝＝±. 请仿照上例解下列问题： (1)化简；(2)化简． 43．（24-25八年级下·广东中山·期中）阅读下面材料，回答问题： （1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：＝＝＝﹣ 小李的化简如下：＝＝＝﹣ 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． （2）请你利用上面所学的方法化简：①；②. 44．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）先阅读然后解答问题：化简 解：原式= 根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：；（2）化简：. 45．（24-25八年级下·浙江·课后作业）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋ 解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________ ②根据上述思路，试将下列各式化简： (1)；    (2). 46．（24-25八年级下·全国·课后作业）有这样一类题目：将化简，如果能找到两个数m、n，使且，则可将变成，即变成开方，从而使得化简. 例如：5+2=3+2+2 = = 请仿照上例化简下列各式： (1) (2) 47．（24-25九年级上·全国·单元测试）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使记，并且，则将，变成开方，从而使得化简． 例如：化简． 因为 所以 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 48．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 49．（24-25八年级·湖北随州·期中）阅读下面材料，回答问题： (1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：； 小李的化简如下：； 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． (2)请你利用上面所学的方法化简． 50．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）你见过像，…这样的根式吗，这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如：====-1，请用上述方法化简： 【经典计算题六 分母有理化】 51．（2025八年级下·全国·专题练习）化简： (1)； (2)． 52．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道， 因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这个过程就是分母有理化，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简______；______． (2)计算：． 53．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 54．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）【阅读理解】 在二次根式中，常有相辅相成的“对子”，他们的乘积为有理数． 如：，，它们的乘积中不含根号，我们就说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个因式是另一个因式的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解答： ，． 像这样通过分子、分母同乘一个不为零的式子把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)将分母有理化的结果为______； (2)已知：，，求的值； (3)根据以上经验可得：， ， ， ， 按照上述规律，求的值． 55．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 56．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请参照上面的方法化简： (2)直接写出化简结果：_______，_______ (3)计算： 57．（24-25八年级上·广东佛山·期中）直接写出答案： ①_________②_________ ③__________ ④__________ ⑤_________⑥__________⑦__________⑧_________ ⑨__________⑩_________ 58．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若，，比较和的大小． 59．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… (1)根据规律直接写出第式； (2)若，求的值． 60．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）化简求值． (1)若为的小数部分，求的值． (2)已知，，求． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 62．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值． 63．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 64．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 65．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 68．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 69．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 70．（24-25八年级下·北京海淀·期中）定义，任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“扩充数”． (1)若，直接写出，的“扩充数”； (2)如果，，为，的“扩充数”，求（用含的式子表示）； (3)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 学科网（北京）股份有限公司 $$