2025年九年级中考数学二轮专题复习 巧解平行线中的拐点问题 课件

专题：巧解平行线中的拐点问题 平行线的判定和性质的运用 二轮中考数学 目 录 说课 教学过程 第一部分 第二部分 CONTENTS 1. 教材分析 平行线间拐点问题，一直是七年级下册教学的重难点，考试时经常出现在试卷的最后几题。 课本只是以一道简单的选择题出现，没有系统的分析总结。 我以课本母题为依托，将题目进行变式改编，通过“一题一课”、“一图一课”的方式找出此类题的解法通则。 一 二 三 选课说明 1. 教材分析 本节课是学习完平行线的判定与性质之后的一节专题复习课，也是一节思维拓展课。 地位作用 平行线的性质和判定是初中的重要知识点，在教材中且有承上启下的作用。在中考中会以各种形式出现，其中拐点问题又是重中之重。 平行线的判定与性质是初中阶段学习几何逻辑推理的开始，也是今后学习三角形、四边形、圆等几何知识的基础。 内容分析 教材分析 1、识别同位角、内错角、同旁内角。 2、理解平行线的概念。 3、掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 4、掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 5、探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行。 6、掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。了解定理的证明。 7、探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。 8、能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。 9、了解平行于同一条直线的两条直线平行。 10、能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线。 新课标（2022版） 的具体要求 《课程标准》第64-65页 探索并掌握平行线间拐点问题的方法。 各种类型的拐点问题如何添加辅助线。 重点 难点 核心素养 的培养 本节课要着重落实几何直观和推理能力素养的培养。具体表现为在“平行线间拐点问题”的探究过程中，让学生经历发现、提出、分析和解决问题的能力（即四能）。 01 02 03 通过观察、操作、猜想、推理、交流等活动，进一步培养学生的数学核心素养。 04 掌握平行线“拐点问题”的常规解法。能熟练运用平行线的性质和判定解决问题。 经历探究解决平行线间拐点问题的过程，掌握对该类问题作辅助线的方法及处理技巧。 经历探索拐角之间的数量关系的过程，培养数形结合的数学思想。 2.目标分析 3.学情分析 学生已经掌握平行线的性质与判定以及平行公理的推论等知识，具有一定的逻辑推理能力，但是对复杂问题(例如动点问题）的解决仍感到困惑。很多学生遇到这种“拐点”题型就无从下手，有畏难心理。需要进一步启发他们思考，理清解题思路。 本班学生基础较好，具有进行深度学习的可能。 已有经验及不足 1.起初想不到如何添加辅助线。 2.不能从图形中提炼出数学模型。 3.几何语言表达不规范。 可能出现的困难 4.教法学法 启发——探究式 教法 1 实际操作 自主探究 合作学习 学法 2 希沃白板 数学画板 教具 3 三角板 量角器 学具 4 课堂通过设置问题情景，将启发、诱导、合作贯穿教学始终，唤起学生的求知欲望，促使他们动手、动脑、动嘴，积极参与教学全过程。 5 教学过程 教学过程 2021年4月13日，我国首条直供雄安新区的天然气主干管道开工。 A B C 设计意图：借助一则新闻引入实际生活的中“拐点问题”，让学生体会数学来源于生活。 如图,一条管道修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C，这时的管道恰好和第一次拐弯之前的道路平行，你能求出∠C 的度数吗？ 引入 如图，如果AB//CD//EF,那么 ∠BAC+∠ACE+∠CEF=( ). A.180° B.270° C.360° D.540° A E C D B F C 明确已知条件：AB//CD//EF ∠ACE=∠1+∠2 由平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。可得： ∠BAC+∠1=180°， ∠CEF+∠2=180° 即∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠1+∠2+∠CEF=360° 1 2 教材母题 七年级下册数学课本23页第7题第（2）小题 一、原题再现 唤醒 设计意图：从课本原题入手，使学生认识到考试中很多题型都来源于课本，从而引出下面的学习。这道题中的结论比较简单，学生们分析猜想，口述思路，初步体会此类题的解题思路。 例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量关系，并说明理由。 A E C B F D 1 2 设计意图：1.让学生学会如何通过添加辅助线来解答。 2.让学生明白，有时为了解题的需要，需要在原题的基础上添加辅助线。 如何解答，有教材原题铺垫，学生不难想到。 解：过点C作CD//AB ∴∠A+∠1＝180° ∵AB//CD ∴EF//CD（平行公理推论） ∴∠2+∠E＝180° ∴∠A＋∠1＋∠2＋∠E＝360° ∵∠ACE=∠1+∠2 即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 二、原题变式 激活 例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量关系，并说明理由。 A E C B F 二、原题变式 D 1 2 A E C B F A E C B F D A E C B F D 设计意图：让学生体会一题多解的奇妙之处，对比寻求最优方法，找到通用通法，引导学生多维度思考问题，促进深度学习。 “一题多解”是培养学生思维灵活性的好方法。通过对同一问题的不同角度分析，可以拓展学生思维的宽度，培养学生思维的发散性、深刻性和创新性，促进学生数学核心素养的形成。 总结：过拐点做已知直线的平行线 铅笔型 激活 学生易错点：1.添加辅助线叙述错误，如：过点C作AB、EF 的平行线CD。 2、推理过程不严谨：如过点C作CD//AB， 所以∠A+∠1=180° 又因为CD//EF, 所以∠2+∠E=180°。 A E C B F D 1 2 二、原题变式 例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量关系，并说明理由。 激活 设计意图：让学生知道容易错的地方。 三、学以致用 设计意图：对所学知识趁热打铁，加以应用，主要是让学生学会建模。 四、实验探究 如图，AB∥EF，点C为平面内一动点，若向不同的方向移动点C，探究∠ACE、∠A、∠E之间的数量关系，并说明理由。 C A B E F 启智 设计意图：1.让学生通过分组讨论，运用三角板、量角器进行探究，感受图形的变化美。 2.教师通过几何画板，启发学生的思维。 D 解：∠ACE=∠A+∠E 理由：过点C作CD∥AB ∵AB//CD ∴∠A=∠1 又∵AB//EF ∴ CD//EF ∴ ∠2=∠E ∴∠1+∠2=∠A+∠E ∴∠ACE=∠A+∠E 1 2 结论：∠ACE=∠A+∠E 四、实验探究 探究1 如图，已知直线AB∥EF，点C在AB,EF之间，探究∠ACE，∠A，∠E之间的数量关系，并说明理由。 M型 设计意图：1.让学生再次感受如何添加辅助线。 2.锻炼语言表达能力。 启智 探究2：如图，已知直线AB∥EF，点C在AB,EF外部，探究∠ACE， ∠A， ∠E之间的数量关系，从中任取一种情况加以证明。 ∠ACE=∠A-∠E ∠ACE=∠E-∠A ∠ACE=∠A-∠E ∠ACE=∠E-∠A 四、实验探究 设计意思：引导学生自主探究拐点问题，有助于学生分类讨论思想的建立，提高分析能力。借助几何画板，让学生直观感受，增强数学的趣味性。充分调动学生的积极性。 启智 鹰嘴型 A B C 设计意图：解决课前导入提出的问题，让学生明确所数学知识来源于生活，又应用于生活。课堂首尾呼应。 生活中的数学 1.这节课我学到了什么？ （知识、方法、数学思想） 2.我是如何学到的？ 3.我可以解决哪些实际问题？ 五、课堂小结 设计意图：不仅让学生从知识上小结，更从方法与数学思想上小结，并使其思考学习的过程与方法，以及这些知识与技能有什么用途。 生慧 1.如图，a//b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，如果∠3=130°,∠2=70°那么∠1=( )。 A.60°B 70°C.160°D.170° a b M P N 2 3 1 C 六、分层作业（A组，必做） (第1题图) 笃行 2.如图，AB//DE，若∠A= 40° ,∠ACD= 100°,则∠D的度数是（ ） A .40 ° B.60 ° C.80 ° D.100° B D E (第2题图) 3. 如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果∠2=20°，那么∠1= ( ) A .15°B.20° C.25° D .30° 1 2 C 建模思想 分解转化“M”型 笃行 4.如图，直线AB、EF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=（ ） A.110° B.115° C.120° D.125° A B C D E F C 设计意图：上面几道练习题对应课堂上的几种情况，是对课堂内容的巩固，难度不大，是针对全体学生而言的。 笃行 1.请你和同伴继续探究、交流，把你们的发现以“数学中的拐点”为题，写一篇数学小作文。 2.探究当“铅笔型和M型”中出现两个拐点时拐角与折角之间的数量关系，尝试解决。 设计意图：分层布置作业，A组题让全体学生对今天的学习有练习，有巩固；B组题让学有余力的学生有探究，有提高。同时把数学的研究深入到课后，体现深度学习的理念。 六、分层作业（B组，选做） 6.板书设计 设计意图：通过思维导图式的板书，使学生对所学知识形成体系。 悟道 01 教学 设计 02 教学 效果 03 时间安排 在教学中，我坚持“双主体”教学，在教师的引导下，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现。注重培养学生良好的数学素养和学习习惯，课堂氛围活跃。 从时间分配上来看，由于前面一题多解上用时有点多，导致后面两种模型的研究有些匆忙。 本节课是在学习完第五章之后进行的专题复习课，具有复习课和习题课的性质，也是一节思维拓展课。重点在于熟练运用本章定理，添加辅助线，训练学生逻辑思维，在授课过程中，后面的推理过程没有让学生书写下来，这是一个缺陷。 7.教学反思 Fresh and simple teacher's lecture 通过一个基本图形，延伸到三种基本图形，启发学生如何从题目中提炼出基本模型。渗透特殊到一般、类比、转化等数学思想。引导学生善于观察分析题目的内在联系，做到做一题、懂一类、会一片的目的。 设计思路 7.教学反思 Fresh and simple teacher's lecture A E C B F A D C B P 情景导入 E 如图1 探究1 M N H 【拓展】平行线间有多个拐点 如图1 C A B D 如图2 M N H 【拓展】 如图1 C A B D 【拓展】 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 如图2 E E 方法：辅助线（有几个拐点就作几条平行线） 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 巧记：左和=右和 M N H 模型1：M模型 A B C D P F 方法：过拐点作平行线，利用平行线的性质即可求解。 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 巧记：左和=右和 【学以致用】 E 如图2 探究2 2 M N 1 3 4 图5 180 360 540 720 E 方法：辅助线，有几个拐点就作几条平行线 巧记: E M N n为拐点的个数 A B C D E F 模型2：铅笔模型 E 方法1 如图3 探究3 方法2 E 如图3 如图4 E 探究4 方法：辅助线（过拐点作平行线） 巧记：大角=鹰嘴+小角（先找最大角，最大的角即等于余下的两个角之和） E E E E A B P C D 模型3：鹰嘴模型 ________ 鹰嘴模型 E 【学以致用】 模型1：M模型 模型 方法：作辅助线（有几个拐点就作几平行线） 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 巧记：左和=右和 A B E F D G C A B C D P B A P C D 归纳总结 模型 方法：作辅助线（有几个拐点就作几条辅助线） 巧记：所有拐点形成的角之和= 模型2：铅笔模型 A B P C D A B C D E F A B P C D 归纳总结 模型 方法：作辅助线（过拐点作平行线） 巧记：大角=鹰嘴+小角（先找最大角，最大的角即等于余下的两个角之和） 模型3：鹰嘴模型 A B P C D D A B C P A D P C B A D P B C 归纳总结 谢谢大家！ Lavf57.62.100 $$