预习专题19 基本立体图形7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题19 基本立体图形7题型分类 一、多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 二、棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 三、棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD— A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 四、圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为 圆柱O′O 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 五、圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为 圆锥SO 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 六、圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 七、球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为 球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 八、简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. （一） 棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 题型1：棱柱的结构特征 1．（2024高一下·重庆万州·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．正方体一定是正四棱柱 B．平行六面体的六个面均为平行四边形 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 【答案】D 【分析】根据正四棱柱、正棱柱、直棱柱、平行六面体的概念和结构特征对选项逐一判断， 即可得答案. 【详解】对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确； 对于B，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确． 对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确； 对于D，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故D错误； 故选：D. 2．（2024高一下·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】D 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误； 对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确. 故选：D. 3．（2024高一·全国·课后作业）下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】①②③④均可举出反例. 【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形， 显然不是棱柱，故①错误； ②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误； ③如图3，四边形为矩形， 即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A （二） 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型2：棱锥、棱台的结构特征 4．（2024高二下·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 5．（2024高二下·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合相应几何体的结构特征逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直平行六面体的底面是非矩形的平行四边形，该直平行六面体不是长方体，①错误； 对于②，有两个相邻的侧面都是矩形，则这两个矩形的公共边垂直于底面， 因此有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱，②正确； 对于③，由棱锥的定义知，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，③错误； 对于④，底面是正方形的斜棱柱不是正棱柱，④错误， 所以正确的命题个数是1. 故选：D 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 7．（2024高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 【答案】D 【分析】根据棱锥的分类及性质，即可求出结果. 【详解】因为十棱锥共有个顶点，条棱， 故选：D. 8．（2024高二上·黑龙江大庆·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 【答案】D 【分析】由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确. 【详解】选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误； 选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误； 选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确． 故选：D 9．（2024高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正棱台的性质确定侧面为等腰梯形，结合已知条件求斜高即可. 【详解】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形，    所以棱台的斜高为. 故选：C 10．（2024高一下·山西太原·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台 B．三棱柱的侧面为三角形 C．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形 【答案】D 【分析】利用棱台的结构特征判断AC；利用棱柱的结构特征判断B；利用棱锥的结构特征判断D作答. 【详解】棱台的侧面梯形的腰（即棱台的侧棱）的延长线都相交于一点，C错误； 而选项A中侧面梯形的腰不一定交于一点，A错误； 棱柱的各侧面都是平行四边形，B错误； 棱锥的侧面都是三角形，底面可以是三角形，如三棱锥，D正确. 故选：D 11．（2024高一下·安徽·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案. 【详解】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误； 对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 12．（2024高一·江苏·课后作业）棱台不具备的特点是（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点 【答案】C 【分析】根据棱台的定义结构特征求解. 【详解】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点， 但是侧棱长不一定相等， 故选：C （三） 旋转体的结构特征 常见旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球. (1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 题型3：旋转体的结构特征 13．（2024高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【答案】B 【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D． 【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确； 对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误； 对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确； 对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确． 故选：B． 14．（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是(    ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据球体概念和性质即可求解. 【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确. 故选：C. 15．（2024高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 【答案】B 【分析】由几何体的结构特征逐项判断即可. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确； 用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误. 故选：B. 16．（2024高二上·上海虹口·期中）下列命题中错误的是 ． ①过圆柱的旋转轴的截面是矩形； ②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等； ③圆台所有平行于底面的截面都是圆面； ④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形． 【答案】② 【分析】根据圆柱、圆台、圆锥的结构特征，即可得出答案. 【详解】对于①，根据圆柱的特征，可知①正确； 对于②，圆锥的轴截面为等腰三角形，该三角形顶角的取值范围为，显然面积不相等，故②错误； 对于③，根据圆台的特征，可知③正确； 对于④，圆锥所有的轴截面都是等腰三角形，且腰长等于母线长，底长等于圆锥底面圆直径，故④正确. 故答案为：②. （四） 简单组合体的结构特征 (1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力. (2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的. 题型4：简单组合体的结构特征 17．（2024高一·全国·课后作业）如图所示的简单组合体的组成是（    ） A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱 【答案】B 【分析】直接观察,即可出答案. 【详解】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成. 故选：B. 18．（2024高一·全国·课后作业）如图所示的组合体，其结构特征是（    ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 【答案】D 【解析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断. 【详解】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的， 故选：D 19．（2024高一下·山东泰安·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 【答案】C 【分析】根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解. 【详解】螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确. 故选：C 20．（2024高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 21．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 22．（2024高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【答案】A 【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【详解】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面， 设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得，， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 解得：，所以该多面体的棱长为， 故选：A. 23．（2024高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. （五） 几何体的有关计算 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. 题型5：几何体的有关计算 24．（2024高一下·湖北黄冈·阶段练习）已知侧棱长为的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为，则棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由底面周长可求出，进而可求出，再由勾股定理即可求出三棱锥的高，从而得解. 【详解】依题意，取中点，连接，过点作平面交底面于点，如图， 因为三棱锥为正三棱锥， 所以在平面上的射影为的中心，即O在CD上， 因为，底面周长为， 则，，， 所以三棱锥的高. 故选：A. 25．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 26．（2024高一下·天津武清·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高． 【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴， 又，解得， 因此，此圆锥的高． 故选：C． 27．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（　　） A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1） 【答案】D 【分析】 根据相似比求得正确答案. 【详解】 设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截， 若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，， 则此正棱锥的高被分成的两段之比：. 故选：D 题型6：展开图及最短路径问题 28．（2024高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图如图所示，且，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在侧面展开图中， 的长度为蚂蚁在圆锥表面爬行的最短路程. 【详解】在侧面展开图中，蚂蚁从出发，在圆锥表面爬行一周又回到的最短路程就是的长度， 因，，由余弦定理，得 ， 故选：B. 29．（2024高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得. 【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，即，得，于是是的中点，， 因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内， 所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，. 故选：B 30．（2024高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形，结合矩形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ， 在圆柱中，因为，可得， 即矩形中，，，则最短路径的长度为． 故选：A.    31．（2024高二上·四川南充·阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑将直棱柱的侧面按不同方式展开，使得点在一个平面内，再利用勾股定理求得EF的长度，比较大小，即得答案. 【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形． ①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，      由勾股定理得； ②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，    此时. ③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，    在直角三角形中，由勾股定理得． ④若把面和面展开在同一个面内，    过作与行的直线，过作与平行的直线， 所作两直线交于点，则在直角三角形中， 由勾股定理得． 由于， 可得从到两点的最短路径的长度为, 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时考虑到将棱柱侧面展开时有几种展开方式，使得在一个平面内，从而将立体问题转化平面问题解决. 32．（2024高三·全国·对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．    【答案】/ 【分析】利用直三棱柱的侧面展开图求解即可. 【详解】由题意可知过三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即的周长， 因为直三棱柱，所以各侧面均为矩形， 所以， 直三棱柱的侧面部分展开图如图所示，    则在矩形中， 所以过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为， 故答案为： 33．（2024高二上·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    【答案】 【分析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，可知的最小值为，利用余弦定理运算求解. 【详解】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接， 则的最小值为，    在中，可知， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 故答案为：. 34．（2024高一上·云南大理·开学考试）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【分析】利用三棱柱平面展开图可3种情况，画出图形利用平面上两点间距离最短，可计算比较得解. 【详解】      如图1，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接， 是中点，和是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得：. 如图2，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接， 过点作于点，交于点，则四边形是矩形，， 在中，， ，， ，， 在中，由勾股定理可得，. 如图3，连接,交于点，则，， 在中，，，. ， 小虫爬行的最短路程为. 故答案为：. 35．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为 ． 【答案】 【分析】把正三棱柱沿侧棱剪开再展开，求解直角三角形即可得到答案． 【详解】正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形， 矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程． 因此蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：． 题型7：空间几何体的截面问题 36．（2024高一·全国·课后作业）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(    ) A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心 C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形 【答案】A 【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案． 【详解】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心． 故选：A． 37．（2024·河南新乡·三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可． 【详解】如图，取BC的中点，连接EF，AF，, 、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面， 因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为. 故选：A. 38．（2024高三上·安徽阜阳·期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可. 【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为， 故面积为. 故选:D． 39．（2024高三·全国·专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、， 在正方体中，，，分别是，，的中点， ，，， 六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形． 故选：D 40．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 . 【答案】 菱形 【分析】利用直线与直线的平行关系确定截面；再利用菱形的面积公式求截面面积. 【详解】    如图，取的中点为，连接, 因为且, 所以四边形为菱形， 所以过点、、的截面图形为菱形； 连接,则, 所以截面图形的面积为， 故答案为: 菱形；. 41．（2024高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 42．（2024高一·全国·单元测试）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题意分析截面的各种情况确定截面图形可能的情形即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④； 当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②． 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查截面的特征，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力. 43．（2024高一下·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】求出圆锥底面圆的半径，计算得圆锥的轴截面三角形顶角为钝角，轴截面面积的最大是为直角三角形时最大可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的轴截面三角形顶角为，则， 又因为，所以，， 所以过圆锥顶点作轴截面，轴截面面积最大时即顶角为， 所以最大值为. 故选：B.      一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】根据旋转体的定义判断. 【详解】根据旋转体的定义可得圆柱和球体为旋转体. 故选：D. 2．（2024高三上·广西·学业考试）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据圆柱的形成即可得到答案. 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【分析】根据圆锥的特征逐项判断可得答案. 【详解】对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，符合题意； 对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，不符合题意； 对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，符合题意； 对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，符合题意． 故选：B. 4．（2024高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 【答案】C 【分析】由棱锥的结构特点即可判断。 【详解】因为棱锥有12个面， 所以该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22． 故选:C. 5．（2024高二上·北京东城·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【答案】B 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥， 剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可. 【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 7．（2024高二下·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合相应几何体的结构特征逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直平行六面体的底面是非矩形的平行四边形，该直平行六面体不是长方体，①错误； 对于②，有两个相邻的侧面都是矩形，则这两个矩形的公共边垂直于底面， 因此有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱，②正确； 对于③，由棱锥的定义知，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，③错误； 对于④，底面是正方形的斜棱柱不是正棱柱，④错误， 所以正确的命题个数是1. 故选：D 8．（2024高三·全国·专题练习）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 9．（24-25高二上·北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 10．（24-25高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由棱锥的定义，即可得到结果. 【详解】十三棱锥的顶点的个数为. 故选：B 11．（2024高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【分析】由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D. 【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 13．（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 【答案】D 【分析】根据几何体的特征可得出结论. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球和棱柱构成的组合体. 故选：D 14．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 二、多选题 15．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的定义及性质直接判断. 【详解】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； D正确，如图所示，当圆锥的母线圆锥的高夹角小于时，，即， 所以圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）； 故选：BCD． 16．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以动手制作模型，按线折叠后再判定，或在头脑中模拟折叠过程，即可得出结论． 【详解】把四面体的底面固定不动，沿三条侧棱剪开，展在平面上，即得A选项的图形; 把四面体的底面和相邻的一个侧面的棱不剪，其余的棱剪开，展开在一个平面上， 即得B选项的图形;； 无论怎么展开，展开图不会是C,D选项的图形;，因为它们的四个面都共点． 故选：AB． 17．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）（多选题）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【分析】根据圆台的定义可判定A，根据棱柱的定义判定B，根据正棱锥的定义可判定C，根据棱台的定义可判定D. 【详解】对于A，如图所示，若以腰旋转则形成的几何体不是圆台， 是圆锥与圆柱形成的组合体，故A项不正确； 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故B不正确； 对于C，如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫正棱锥，故C不正确； 对于D，由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故D正确. 故选：ABC 18．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 19．（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【分析】如图，根据“刍甍”的定义，结合选项，依次判断即可. 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 20．（24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为. 故答案为： 21．（2024高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据可知点轨迹是以为直径的球与四边形（包括边界）的交线，求出在四边形内的圆的半径即可得出结果. 【详解】以为直径作球，球半径， 与球上任意一点(除去点)均能构成直角， 故点轨迹为球与四边形（包括边界）的交线.       易知在平面上的投影为菱形的外心，且都全等, 故四边形为正方形，四棱锥为正四棱锥，在平面上的投影为正方形的中心， 记球心在平面上的投影为，， 故平面截球的小圆半径， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边BCDE内（包含边界）的一段弧， 易知到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为. 故答案为： 22．（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，得到圆柱形工件的侧面积为，再结合基本不等式求解侧面积的最大值. 【详解】设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，， 则圆柱形工件的侧面积为， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以， 故答案为：. 23．（2024高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为 【答案】 【分析】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解. 【详解】解：如图所示： 直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 故答案为： 24．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键. 25．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将绕翻折到与共面，连接，则的长度即为的最小值，利用勾股定理计算可得. 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 26．（2024高二·上海·课堂例题）已知长方体的三条棱长分别为3cm、2cm、1cm，求表面有一只蜘蛛从A爬行到的最短距离． 【答案】 【分析】将长方体按照三个位置展开，由两点间线段最短，结合勾股定理即可求得三种情况下的距离，比较大小即可得最短距离. 【详解】根据题意，将长方体按照三种不同方式展开，如下图所示： 结合长方体的三种展开图，求得的长分别是， 所以最小值是. 27．（24-25高一下·全国·课前预习）观察下列物体，如何描述它们的形状？ 【答案】答案见解析 【详解】前四个几何体都是由平面围成的，后四个不全是平面围成的，有些面是曲面. 28．（2024高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 29．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    30．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，观察下列实物图. (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成上述几何体的曲面？ 【答案】(1)答案见解析 (2)可以 (3)答案见解析 【详解】（1）这三个实物图抽象出的几何体是旋转体，是由平面图形绕某一直线旋转而成的. （2）可以. （3）第一个几何体可以由半圆绕其直径所在的直线旋转而成； 第二个几何体可以由直角梯形绕其直角边所在的直线旋转而成； 第三个几何体可以由直角三角形绕其直角边所在的直线旋转而成. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题19 基本立体图形7题型分类 一、多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 二、棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 三、棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD— A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 四、圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为 圆柱O′O 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 五、圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为 圆锥SO 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 六、圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 七、球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为 球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 八、简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. （一） 棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 题型1：棱柱的结构特征 1．（2024高一下·重庆万州·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．正方体一定是正四棱柱 B．平行六面体的六个面均为平行四边形 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 2．（2024高一下·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 3．（2024高一·全国·课后作业）下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （二） 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型2：棱锥、棱台的结构特征 4．（2024高二下·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 5．（2024高二下·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 7．（2024高一下·吉林·期中）十棱锥共有（    ） A．10个顶点 B．20个顶点 C．10条棱 D．20条棱 8．（2024高二上·黑龙江大庆·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 9．（2024高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一下·山西太原·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台 B．三棱柱的侧面为三角形 C．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形 11．（2024高一下·安徽·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 12．（2024高一·江苏·课后作业）棱台不具备的特点是（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点 （三） 旋转体的结构特征 常见旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球. (1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 题型3：旋转体的结构特征 13．（2024高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 14．（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是(    ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 15．（2024高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆 16．（2024高二上·上海虹口·期中）下列命题中错误的是 ． ①过圆柱的旋转轴的截面是矩形； ②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等； ③圆台所有平行于底面的截面都是圆面； ④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形． （四） 简单组合体的结构特征 (1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力. (2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的. 题型4：简单组合体的结构特征 17．（2024高一·全国·课后作业）如图所示的简单组合体的组成是（    ） A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱 18．（2024高一·全国·课后作业）如图所示的组合体，其结构特征是（    ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 19．（2024高一下·山东泰安·期中）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（    ） A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥 C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台 20．（2024高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 21．（2024高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 22．（2024高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 23．（2024高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 （五） 几何体的有关计算 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. 题型5：几何体的有关计算 24．（2024高一下·湖北黄冈·阶段练习）已知侧棱长为的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为，则棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 26．（2024高一下·天津武清·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D． 27．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（　　） A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1） 题型6：展开图及最短路径问题 28．（2024高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知圆锥的母线长为，圆锥的侧面展开图如图所示，且，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程长为(    ) A． B． C． D． 29．（2024高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 30．（2024高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 31．（2024高二上·四川南充·阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 32．（2024高三·全国·对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．    33．（2024高二上·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    34．（2024高一上·云南大理·开学考试）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    35．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为 ． 题型7：空间几何体的截面问题 36．（2024高一·全国·课后作业）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(    ) A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心 C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形 37．（2024·河南新乡·三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 38．（2024高三上·安徽阜阳·期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 39．（2024高三·全国·专题练习）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 40．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 . 41．（2024高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 42．（2024高一·全国·单元测试）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 43．（2024高一下·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 2．（2024高三上·广西·学业考试）如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 4．（2024高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 5．（2024高二上·北京东城·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·河北石家庄·期末）下列四个命题：①直平行六面体就是长方体；②有两个相邻的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱；③有一个面是多边形、其余各面是三角形的几何体是棱锥；④底面是正方形的棱柱是正棱柱.其中正确的命题个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024高三·全国·专题练习）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 9．（24-25高二上·北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 10．（24-25高二上·辽宁·期中）十三棱锥的顶点的个数为（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．正四棱柱都是长方体 D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   13．（2024高二下·黑龙江·学业考试）如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 14．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 二、多选题 15．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 B．以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥 C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形 D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径 16．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在下面的四个平面图形中，是侧棱都相等的四面体的展开图的为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）（多选题）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 18．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 19．（2024·全国·模拟预测）我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 三、填空题 20．（24-25高三上·河北承德·期中）将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为 . 21．（2024高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为 . 22．（2024·上海杨浦·一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的最大值为 . 23．（2024高三·全国·专题练习）正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为 24．（24-25高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 25．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 四、解答题 26．（2024高二·上海·课堂例题）已知长方体的三条棱长分别为3cm、2cm、1cm，求表面有一只蜘蛛从A爬行到的最短距离． 27．（24-25高一下·全国·课前预习）观察下列物体，如何描述它们的形状？ 28．（2024高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 29．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    30．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，观察下列实物图. (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成上述几何体的曲面？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$