专题8.5 整式乘法（7大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题8.5 整式乘法（7大知识点4大考点10类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式乘以单项式 单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 【知识点2】单项式乘以多项式 单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 【知识点3】多项式乘以多项式 多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 【知识点4】平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：由公式特点：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 【知识点5】完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误： 【知识点6】单项式除以单项式 单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 【知识点7】多项式除以单项式 多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 考点与题型目录 【考点一】整式的乘法 【题型1】整式乘法的运算.....................................................2 【题型2】整式乘法化简求值...................................................2 【题型3】整式乘法中的几何问题...............................................3 【考点二】乘法公式 【题型4】利用乘法公式进行运算...............................................3 【题型5】乘法公式运算化简求值...............................................4 【题型6】乘法公式中的几何问题...............................................4 【考点三】整式乘法运算综合 【题型7】整式乘法中的规律探究...............................................5 【题型8】整式乘法中的最值探究...............................................6 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型9】直通中考...........................................................7 【题型10】拓展延伸..........................................................7 【考点一】整式的乘法 【题型1】整式乘法的运算 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： （1） （2） 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2） 【变式2】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）若的计算结果中不含和的项，求的值． 【题型2】整式乘法化简求值 【例1】（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 【变式1】（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）的展开式中不含和项． （1）求的值？ （2）当取第（1）小题的值时，求的值． 【题型3】整式乘法中的几何问题 【例1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． （1）请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） （2）当时，求出该绿地的总面积． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 【变式2】（23-24八年级下·广东江门·开学考试）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【考点二】乘法公式 【题型4】利用乘法公式进行运算 【例1】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）计算： （1） （2） 【变式1】（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）计算 （1） （2） 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型5】乘法公式运算化简求值 【例1】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，且，求的值． 【变式2】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）已知：的结果中不含关于字母的一次项，求的值． 【题型6】乘法公式中的几何问题 【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． （3）观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 【变式2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的正方形，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【考点三】整式乘法运算综合 【题型7】整式乘法中的规律探究 【例1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我们学习了平方差公式，平方差公式是我们初中数学的重要公式，它在后面学习的分式、方程中有很重要的应用．请观察下列几个等式 （1）根据上述规律，请直接写出结果： ； （2）根据上述规律计算： ① ； ②． 【变式2】（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【题型8】整式乘法中的最值探究 【例1】（21-22七年级下·江苏南京·期中）在代数式（a﹣3）2+4中，无论a取何值，（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式：（a﹣3）2+4大于等于4，即（a﹣3）2+4有最小值为4．仿照上述思路，代数式﹣a2+12a﹣8的最大值为 ． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型9】直通中考 【例1】（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 【例2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.5 整式乘法（7大知识点4大考点10类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】单项式乘以单项式 单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 【知识点2】单项式乘以多项式 单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 【知识点3】多项式乘以多项式 多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 【知识点4】平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：由公式特点：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 【知识点5】完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误： 【知识点6】单项式除以单项式 单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 【知识点7】多项式除以单项式 多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 考点与题型目录 【考点一】整式的乘法 【题型1】整式乘法的运算.....................................................2 【题型2】整式乘法化简求值...................................................4 【题型3】整式乘法中的几何问题...............................................5 【考点二】乘法公式 【题型4】利用乘法公式进行运算...............................................8 【题型5】乘法公式运算化简求值...............................................10 【题型6】乘法公式中的几何问题...............................................11 【考点三】整式乘法运算综合 【题型7】整式乘法中的规律探究...............................................13 【题型8】整式乘法中的最值探究...............................................16 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型9】直通中考...........................................................18 【题型10】拓展延伸..........................................................19 【考点一】整式的乘法 【题型1】整式乘法的运算 【例1】（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用法则，准确计算．（1）根据多项式乘以单项式的法则即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解． 解：（1） （2） 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 解：（1）解： ； （2） 【变式2】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）若的计算结果中不含和的项，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据题意得出，，求出的值，再代入计算即可． 解： ． 的计算结果中不含和的项， ，， 解得，． ． 【题型2】整式乘法化简求值 【例1】（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解． 解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式1】（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则，解题的关键是熟悉多项式的运算法则．根据完全平方公式，平方差公式及多项式的除法则运算化简，再利用幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则求出整体代入即可求解． 解：原式 ， ，即， ， 当时，原式． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）的展开式中不含和项． （1）求的值？ （2）当取第（1）小题的值时，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式． （1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含和项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值； （2）先利用多项式乘以多项式的法则将展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可． 解：（1）解： ， 根据展开式中不含和项得：， 解得：． 即，； （2）解： ， 当，时，原式． 【题型3】整式乘法中的几何问题 【例1】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某小区规划在长30米，宽20米的长方形场地上，修建1横2纵三条宽均为米的通道，其余部分为绿地． （1）请求出该绿地的总面积；（用含的式子表示） （2）当时，求出该绿地的总面积． 【答案】（1）平方米；（2）352平方米 【分析】本题主要考查此题考查了多项式乘多项式的应用，代数式求值等知识． （1）将水平与垂直的小路平移到右边及下边，表示出剩下部分的长与宽，利用长方形的面积公式列出关系式． （2）将代入（1）式计算即可． 解：（1）解：依据题意得该绿地的总面积为： （平方米）， 该绿地的总面积为平方米 （2）解：当时， 该绿地的总面积为：（平方米） 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值，由题意可得，，再结合扩建后的长方形土地的面积是：，展开后，再整体代入即可． 解：根据题意，得 ，， 该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是： 故答案为：36． 【变式2】（23-24八年级下·广东江门·开学考试）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式． 由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答． 解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等， 图中，阴影部分面积， 图中，阴影部分面积， ， 故选：B． 【考点二】乘法公式 【题型4】利用乘法公式进行运算 【例1】（24-25八年级上·重庆长寿·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算单项式乘以多项式和完全平方公式，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和平方差公式，然后合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算的法则和顺序，解决此题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式进行运算． （1）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式计算即可； （2）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）解： ， ， ； （2）解： ． 【变式2】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行展开，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式和完全平方公式进行展开，最后合并同类项，即可作答． 解：（1）解： ． （2）解： 【题型5】乘法公式运算化简求值 【例1】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】此题主要考查了整式的混合运算．先去括号，再合并同类项，最后把代入求值即可． 解： ， 因为，则， 所以，原式． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，且，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键．根据，且求出，再利用完全平方公式求的值即可． 解：， ， 又， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）已知：的结果中不含关于字母的一次项，求的值． 【答案】16 【分析】此题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握多项式乘以多项式的法则，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，不含型问题，是解题的关键． 首先利用多项式的乘法法则化简已知式，由结果中不含关于字母x的一次项，令一次项系为0，求得a的值，然后把所求的式子化简，然后代入求值即可． 解： ， ∵结果中不含关于字母x的一次项， ∴， ∴． 【题型6】乘法公式中的几何问题 【例1】（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． （3）观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 解：（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ； 【答案】 【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式， 解：由图形面积得： ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的正方形，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握图3的长方形的面积的两种计算方法是解题关键．图3的长方形的面积的计算方法一：图3的长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式计算即可；方法二：利用图1中的大正方形的面积减去小正方形的面积计算，由此即可出答案． 解：由图可知，图3的长方形的长为，宽为， 则图3的长方形的面积为， 由图1可知，图3的长方形的面积为图1中的大正方形的面积减去小正方形的面积，即为， 所以通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为， 故选：A． 【考点三】整式乘法运算综合 【题型7】整式乘法中的规律探究 【例1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，数字规律，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．根据题中的规律将展开，即可求解． 解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我们学习了平方差公式，平方差公式是我们初中数学的重要公式，它在后面学习的分式、方程中有很重要的应用．请观察下列几个等式 （1）根据上述规律，请直接写出结果： ； （2）根据上述规律计算： ① ； ②． 【答案】（1）；（2）① ；② 【分析】本题考查了平方差公式，探索规律，掌握是解题的关键． 根据3个例子可得规律， （1）根据题目的规律，请直接写出结果： （1）多次利用平方差公式计算即可； （2）先在算式前面添加，再多次利用平方差公式计算即可即可得出答案． 解：（1）解：由题意可得出：， 故答案为：； （2）解：① ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（    ）    A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三个数． 解：依据规律可得到：的展开式的系数是杨辉三角第8行的数， 第3行第三个数为1， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， … 第8行第三个数为：． 故选：B． 【题型8】整式乘法中的最值探究 【例1】（21-22七年级下·江苏南京·期中）在代数式（a﹣3）2+4中，无论a取何值，（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式：（a﹣3）2+4大于等于4，即（a﹣3）2+4有最小值为4．仿照上述思路，代数式﹣a2+12a﹣8的最大值为 ． 【答案】28 【分析】将该代数式进行变形，写成一个完全平方与一个常数的和的形式，即可求解． 解：原式= = = =， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为28， 故答案为：28． 【点拨】本题考查了代数式的变形和完全平方公式的应用，解题关键是牢记完全平方公式的特点． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据题意得到，进而推出，再根据偶次方的非负性得到，则当时，代数式有最小值10，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值10， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）1.阅读理解： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值． 若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；…… 可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：例如： ∵ ∴ ∴当时，代数式的最小值是，此时的值为． （2）求代数式的最小值，并写出相应的x的值． （3）代数式的最大值为 ． 【答案】（1）6，11；（2）当时，代数式的最小值是5；（3）． 【分析】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答． （1）把和分别代入代数式中，再进行计算即可得出答案； （2）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案； （3）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 解：（1）解：把代入中，得：； 若，则这个代数式的值为； 故答案为：6，11； （2）， ， ∴， ∴当时，代数式的最小值是5，相应的x的值是； （3）根据题意得： ， ， ∴， ∴当时，代数式的最大值是，相应的x的值是． 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型9】直通中考 【例1】（2022·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 【答案】A 【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 解：∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点拨】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 【例2】（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可． 解：， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 解：（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点拨】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$