专题1.8 整式的乘除（8大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.8 整式的乘除（8大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】幂的运算性质 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加.即： ； （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘.即：； （3）积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘. （4）同底数幂相除：底数不变，指数相减. 【要点说明】以上公式的都可以逆用. 常见的错误：，，，，. 【知识点2】单项式乘以单项式 单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 【知识点3】单项式乘以多项式 单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 【知识点4】多项式乘以多项式 多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 【知识点5】平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：由公式特点：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 【知识点6】完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误： 【知识点7】单项式除以单项式 单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 【知识点8】多项式除以单项式 多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 考点与题型目录 【考点一】幂的运算 【题型1】幂的运算...........................................................2 【题型2】幂的逆运算.........................................................4 【题型3】幂的运算化简求值...................................................5 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算.....................................................7 【题型5】整式乘法化简求值...................................................8 【题型6】整式乘法中的几何问题...............................................10 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算...............................................12 【题型8】乘法公式运算化简求值...............................................14 【题型9】乘法公式中的几何问题...............................................16 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考..........................................................19 【题型11】拓展延伸..........................................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】幂的运算 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，整式的加减，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算公式是解题的关键． （1）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方，结合整体法进行计算，再进行整式的加减； （2）先合并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方，再进行整式的加减． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘除法，积的乘方的运算法则，合并同类项，相关公式有：，，．熟练掌握是解决问题的关键． 由同底数幂乘除法，积的乘方的运算法则，合并同类项，进行计算，即可得到答案． 解：A. ∵， ∴A选项不正确： B. ∵， ∴B选项正确： C. ∵， ∴C选项不正确： D. ∵， ∴D选项不正确． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的混合运算，根据幂的运算法则得到，进而得到，即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型2】幂的逆运算 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 解：（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘逆用，先把，然后根据积的乘方，同底数幂相乘逆用即可求解，掌握积的乘方，同底数幂相乘法则是解题的关键． 解： ， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，逆用同底数幂相乘法则，幂的乘方法则计算即可． 解：∵ ∴ ， 故答案为：． 【题型3】幂的运算化简求值 【例3】（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： （1）若，求的值； （2）已知为正整数，且，求的值； 【答案】（1）；（2）32 【分析】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． （1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，但其计算中容易出现符号错误，根据题意列出算式，求解即可． 解： ． 故选B． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据得，将变形为即可求解． 解：， ， ， 故答案为：16． 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算 【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算法则是解题关键． （1）利用多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式，然后去括号，合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）本题考查了实数的运算，零指数幂，积的乘方逆运算，绝对值化简，先根据积的乘方逆运算及零指数幂化简，去绝对值，再合并即可得到答案； （2）本题考查整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到答案； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型5】整式乘法化简求值 【例5】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以多项式的计算，再合并同类项，进行化简，再代值计算即可． 解：原式 ； 当，时，原式． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 解：（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 【题型6】整式乘法中的几何问题 【例6】（24-25七年级上·陕西西安·期末）三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的面积，列代数式，准确识图，正确的根据图形的面积公式列出代数式是解决问题的关键．依题意得：，，根据即可得出结果． 解：如图所示： 依题意得：， ，， ， ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期末）我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到的展开式中一次项的系数． 解：根据题意得：， ∴ ， ∴的展开式中一次项的系数是． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． （1）求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） （2）当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 【答案】（1）种植小麦的耕地面积为平方米；（2）种植小麦的耕地面积平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知退耕还林的面积为平方米，然后把米，米代入求解即可． 解：（1）解：根据题意得： 平方米 （2）解：当，时， 平方米 答：退耕还林的面积平方米． 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算 【例7】（24-25八年级上·天津·期末）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式混合运算，涉及完全平方公式、多项式的乘法，熟记整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可得到答案； （2）先由完全平方公式计算、再进行整式的加减即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·天津红桥·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】乘法公式运算化简求值 【例8】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值，其中x，y满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及完全平方公式． 利用平方差公式以及完全平方公式以及整式的混合运算进行化简，再求出x，y的值，代入求解即可． 解： ． ∵， ∴， 解得：， 将代入得原式． 【变式1】（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）23；（2）21 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）根据完全平方公式得，将代入即可得解； （2）根据完全平方公式得，将代入即可得解． 解：（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 解：当，时 原式 ． 【题型9】乘法公式中的几何问题 【例9】（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图大正方形的面积． 方法：______；方法：______： （2）观察图，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值： ②已知，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，多项式乘多项式，完全平方公式，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）方法：根据正方形的面积边长的平方进行计算，即可解答； 方法：根据正方形的面积两个正方形的面积两个长方形的面积进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答； 设，则，，然后利用（2）的结论进行计算，即可解答． 解：（1）解：用两种不同的方法表示图大正方形的面积， 方法：；方法：； 故答案为：；； （2）解：观察图，代数式，，之间的等量关系：， 故答案为：， 故答案为：， （3）解：，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（20-21八年级上·重庆万州·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可． 解：由题意可知， 矩形的面积就是边长是的正方形与边长是的正方形的面积的差， S矩形= = =． 故选：A． 【点拨】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 解：原式 ， 当时，原式． 【例2】（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． （1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），，当时，；（2），理由见分析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 解：（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（20-21七年级下·江苏无锡·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①29；            ②48：             ③13：            ④28． 探究问题： （2）若可配方成（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数满足，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）当时，S是完美数，理由见详解；（4）的最小值为． 【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论； （4）利用配方法和非负数的性质求得的最小值． 解：（1）根据题意， ∵，，48和28不能拆解为两数的平方和， ∴“完美数”有29和13； 故答案为：①③； （2）∵， 又∵， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）当时，S是完美数； 理由如下： ； ∵是整数， ∴和也是整数， ∴当时，S是完美数； （4）根据题意， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点拨】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，配方法的应用，完全平方公式，解题的关键是仔细阅读材料理解分组分解的方法，难度不大． 【例2】（20-21七年级上·江苏盐城·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a-b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=（a+b）（a－b）； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 【答案】（1）（a-b）2，（a+b）2-4ab；（2）（a+b）2-4ab=（a-b）2；（3）80；（4）x3-x=x（x+1）（x-1） 【分析】（1）利用直接和间接的方法表示出阴影部分面积； （2）由阴影部分面积相等可得结果； （3）直接根据（2）的结论代入求值即可； （4）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 解：（1）方法1：直接根据正方形的面积公式得，（a-b）2， 方法2：大正方形面积减去四种四个长方形的面积，即（a+b）2-4ab； （2）由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2； （3）由（a+b）2-4ab=（a-b）2， 可得：102-4×5=（a-b）2， ∴（a-b）2=80； （4）∵原几何体的体积=x3-1×1•x=x3-x，新几何体的体积=x（x+1）（x-1）， ∴恒等式为x3-x=x（x+1）（x-1）． 【点拨】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 整式的乘除（8大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】幂的运算性质 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加.即： ； （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘.即：； （3）积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘. （4）同底数幂相除：底数不变，指数相减. 【要点说明】以上公式的都可以逆用. 常见的错误：，，，，. 【知识点2】单项式乘以单项式 单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 【知识点3】单项式乘以多项式 单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。 【知识点4】多项式乘以多项式 多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。 【知识点5】平方差公式 两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：由公式特点：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。 【知识点6】完全平方公式 两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。 常见错误： 【知识点7】单项式除以单项式 单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。 【知识点8】多项式除以单项式 多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。 考点与题型目录 【考点一】幂的运算 【题型1】幂的运算...........................................................2 【题型2】幂的逆运算.........................................................3 【题型3】幂的运算化简求值...................................................3 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算.....................................................3 【题型5】整式乘法化简求值...................................................4 【题型6】整式乘法中的几何问题...............................................4 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算...............................................5 【题型8】乘法公式运算化简求值...............................................5 【题型9】乘法公式中的几何问题...............................................5 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考..........................................................7 【题型11】拓展延伸..........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】幂的运算 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·天津西青·期末）已知，则的值为 ． 【题型2】幂的逆运算 【例2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江·期末）计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么的值为 ． 【题型3】幂的运算化简求值 【例3】（24-25八年级上·全国·阶段练习）解答下列问题： （1）若，求的值； （2）已知为正整数，且，求的值； 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为 ． 【考点二】整式的乘法 【题型4】整式乘法的运算 【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： （1）． （2）． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期中）计算： （1）； （2）． 【题型5】整式乘法化简求值 【例5】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：，其中，． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【题型6】整式乘法中的几何问题 【例6】（24-25七年级上·陕西西安·期末）三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期末）我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．的展开式中的一次项系数是 ． 【变式2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，晴晴家有一块长为米，宽为米的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为米，宽为米的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． （1）求种植小麦的耕地面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） （2）当米，米时，求种植小麦的耕地面积． 【考点三】乘法公式 【题型7】利用乘法公式进行运算 【例7】（24-25八年级上·天津·期末）计算 （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·天津红桥·期末）计算： （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【题型8】乘法公式运算化简求值 【例8】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）先化简，再求值 ，其中x，y满足． 【变式1】（2023·四川达州·模拟预测）已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中） 已知，，求代数式的值． 【题型9】乘法公式中的几何问题 【例9】（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图大正方形的面积． 方法：______；方法：______： （2）观察图，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值： ②已知，求的值． 【变式1】（20-21八年级上·重庆万州·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　　） A． B． C． D． 【点拨】本题考查了整式的运算，根据题意列出代数式，同时正确使用完全平方公式是解决本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【例2】（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． （1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值； （2）比较与的大小，并说明理由． 【题型11】拓展延伸 【例1】（20-21七年级下·江苏无锡·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①29；            ②48：             ③13：            ④28． 探究问题： （2）若可配方成（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展应用： （4）已知实数满足，求的最小值． 【例2】（20-21七年级上·江苏盐城·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2－b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a-b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2－b2=（a+b）（a－b）； 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a－b）2、ab的等量关系式是 ； （3）若a+b＝10，ab＝5，则（a－b）2＝ ； 【知识迁移】 （4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$