专题6.5 正弦定理（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

专题6.5正弦定理 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二上·全国·单元测试）在中，角所对的边分别为.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理进行求解. 【详解】由正弦定理得：，即，解得：. 故选：A 2．（2025高二·全国·课后作业）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】直接由正弦定理计算可得； 【详解】解：因为，，， 由正弦定理，即，解得， 因为，所以或， 又，所以，所以. 故选：A 3．（24-25高三·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】利用正弦定理将角化边得 ,再用余弦定理可得,进一步可得C为钝角. 【详解】因为, 由正弦定理(其中R为三角形ABC外接圆的半径), 得,,, 所以有,即, 所以, 因为角C为三角形的内角,所以角C为钝角. 故选C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理角化边以及余弦定理,属于基础题. 一般地,在三角形中,已知条件出现边角混合时,可以考虑使用正余弦定理角化边或边化角达到统一,从而有利于解决问题. 4．（24-25高一·浙江·期中）在△中，内角的对边分别是，且，则等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果. 【详解】在三角形中， 由正弦定理可得：. 故选：A. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角所对的边分别为，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据正弦定理和题设条件，化简得到，结合三角形的内角和的性质，求得，进而得到的值. 【详解】在中，因为， 根据正弦定理可得，化简可得， 又，所以，即， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化和三角形内角和的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．（24-25高二上·甘肃定西·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，AD为角A的平分线（D在BC上），且，则k的取值范围为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【答案】B 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、正弦定理等知识化简，求得.利用三角形的面积列方程，化简求得，由此求得的取值范围. 【详解】，， ，， 由正弦定理得. 在三角形中，， 即， ， ，, 因为，所以， 所以. 故选：B 7．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）若△ABC的内角A，B，C满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理进行角化边运算，可得，代入余弦定理结合不等式可求出的范围，判断取最大值时的值，求出，作比求出. 【详解】解：由正弦定理可知：等价于 则，因为，所以 ，则，且当时，角B最大，此时，所以. 故选：B 8．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出的范围即可计算作答. 【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：， 即有，而，则，又， 由正弦定理、余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 是锐角三角形且，有，，解得， 因此， 由得：，， 所以． 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一·江苏·课后作业）(多选题)锐角△中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．sinA>sinB B．cosA<cosB C．sinA>cosB D．sinB>cosA 【答案】ABCD 【分析】由正弦定理得出，判断A，由余弦函数性质判断B，由正弦函数性质及诱导公式判断CD． 【详解】因为， 所以A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故A成立. 函数y=cosx在区间[0，π]上是减函数， ∵A>B，∴cosA<cosB，故B成立. 在锐角三角形中，∵A+B>，∴A>B， 函数y=sinx在区间上是增函数， 则有sinA>sin，即sinA>cosB，C成立， 同理sinB>cosA，故D成立. 故选：ABCD． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理和二倍角公式进行求解. 【详解】∵ ∴由正弦定理得， ∵ ∴，即 ∴或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AC. 11．（24-25高一下·山东烟台·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可. 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三·湖北荆门·阶段练习）在中，，则最短边的边长等于 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件确定最小角，再利用正弦定理计算作答. 【详解】在中，，则，因此，角B是最小角，边b是最短边， 由正弦定理得：，又，即， 所以最短边的边长等于. 故答案为： 13．（24-25高一·全国·课前预习）在中，，则角是 【答案】/ 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦展开式化简计算可得答案. 【详解】由，根据正弦定理得 ，又， 所以， 化简得，即. 故答案为：. 14．（24-25高三上·吉林·阶段练习）设的内角所对的边分别为，若，则角= . 【答案】 【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案. 【详解】，则，，故. 根据余弦定理：，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·上海·课后作业）根据所给条件，判断的形状： （1）； （2）． 【答案】（1）等腰三角形或直角三角形；（2）等边三角形. 【分析】（1）利用正弦定理边化角把条件转化为即可判断三角形的形状； （2）利用正弦定理边化角把条件转化为即可判断三角形的形状. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得， 即，因为为三角形的内角， 所以或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形； （2）因为， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 所以为等边三角形. 16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量且. （1）求A的大小； （2）若，求b的值. 【答案】（1）；（2）2. 【解析】（1）利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得的值，进而求得的大小. （2）利用余弦定理列方程，解方程求得的值. 【详解】（1）根据题意中，向量且. 则 又由变形有bsinC＝csinB则有1+2cosA＝0 变形可得cosA＝ 又由0＜A＜π 则A＝； （2）根据题意，cosA＝ 则变形可得：b2+2b﹣8＝0 解可得：b＝2或﹣4（舍）； 故b＝2. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查向量垂直的坐标表示，属于中档题. 17．（2024·北京·高考真题）在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理得. （2）因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 18．（24-25高三上·安徽池州·期末）在中，角，，所对的边分别是，，，且，. （1）求的值； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）4. 【解析】（1）利用正弦定理化边为角得到，再计算即可. （2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出的两个关系式，整体代换求即可. 【详解】（1）由， 结合正弦定理得， 因为，代入整理即得， 故，. 解得. （2）由，得. 由，由题设得：， 由余弦定理知，即， 即，所以. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，已知. （1）若，，求的外接圆的面积； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圆半径，进而计算外接圆面积； （2）利用两角和差，二倍角公式整理化简已知等式，得到或，然后分类研究三角形的形状，并根据已知条件求得三角形的面积. 【详解】（1）, 外接圆半径 外接圆面积为; （2）由，, 得， ，或， 当时，, ,,S△ABC； 当时，由正弦定理得, 又,所以△ABC为等边三角形， 由于,所以，所以， 所以S△ABC=； 所以的面积为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.5正弦定理 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二上·全国·单元测试）在中，角所对的边分别为.若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·课后作业）在中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高三·山东·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 4．（24-25高一·浙江·期中）在△中，内角的对边分别是，且，则等于（    ） A． B． C．3 D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角所对的边分别为，若，则 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·甘肃定西·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，AD为角A的平分线（D在BC上），且，则k的取值范围为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 7．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）若△ABC的内角A，B，C满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高一·江苏·课后作业）(多选题)锐角△中，三个内角分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．sinA>sinB B．cosA<cosB C．sinA>cosB D．sinB>cosA 10．（24-25高一下·全国·课后作业）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 11．（24-25高一下·山东烟台·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的倍 D．若，则外接圆半径为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（24-25高三·湖北荆门·阶段练习）在中，，则最短边的边长等于 ． 13．（24-25高一·全国·课前预习）在中，，则角是 14．（24-25高三上·吉林·阶段练习）设的内角所对的边分别为，若，则角= . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一下·上海·课后作业）根据所给条件，判断的形状： （1）； （2）． 16．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量且. （1）求A的大小； （2）若，求b的值. 17．（2024·北京·高考真题）在中，． (1)求的值； (2)若，求的面积． 18．（24-25高三上·安徽池州·期末）在中，角，，所对的边分别是，，，且，. （1）求的值； （2）若的面积为，求的值. 19．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，已知. （1）若，，求的外接圆的面积； （2）若，，求的面积. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$