专题6.5 平面向量中的四心问题（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.5 平面向量的四心问题 【考点1：重心问题】 1 【考点2：垂心问题】 2 【考点3：内心问题】 3 【考点4：外心问题】 5 【考点1：重心问题】 【知识点：三角形的重心】 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心. 1．（24-25高一下·全国·单元测试）是内一点，若满足，则是三角形的（　　） A．内心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（24-25高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 3．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（24-25高一下·吉林·阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 6．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 7．（24-25高一下·河北邯郸·期中）已知为的重心，且，则 . 8．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 【考点2：垂心问题】 【知识点：三角形的垂心】 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 1．（24-25高一·全国·课后作业）设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 2．（24-25高一上·广东惠州·期末）在中，若，则是的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高三·河北衡水·阶段练习）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（24-25高一下·浙江·阶段练习）在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的外接圆的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2025·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：内心问题】 【知识点：三角形的内心】 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心. 1．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．（2025高三·全国·专题练习）若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．则上述说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（多选）（24-25高二下·安徽宣城·期末）中，下列说法正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若为重心，则 C．若点满足，则 D．若，则点的轨迹一定通过的内心 【考点4：外心问题】 【知识点：三角形的外心】 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 1．（2024·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．（2025高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 7．（多选）（2024·陕西西安·一模）下列关于平面向量的说法中错误的是（   ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C．设，，为非零向量，则 D．若点G为的外心，则 8．（2025·全国·模拟预测）已知为的外心，，则（    ） A．与不共线 B．与垂直 C． D． 9．（24-25高一下·河南安阳·阶段练习）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（   ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.5 平面向量的四心问题 【考点1：重心问题】 1 【考点2：垂心问题】 6 【考点3：内心问题】 11 【考点4：外心问题】 16 【考点1：重心问题】 【知识点：三角形的重心】 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心. 1．（24-25高一下·全国·单元测试）是内一点，若满足，则是三角形的（　　） A．内心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】设为边上的中点，根据向量加法的平行四边形法则可得，由此即可得出结论. 【详解】设为边上的中点， 由，得， 所以， 又点为公共端点，所以三点共线， 即点在边上的中线上，且， 所以是三角形的重心. 故选：C. 2．（24-25高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案. 【详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 3．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据重心的向量表示即可求得点为重心；利用点为重心，即可得，可得结论. 【详解】依题意， 则是重心，即充分性成立； 若是重心时，， 可得 所以，必要性成立， 故选：C. 4．（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由变形得，设的中点为，推出，点P在线段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 设的中点为，则，则，    所以，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过的外心. 故选：A 5．（24-25高一下·吉林·阶段练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则△ACO与△CBP面积比为（    ） A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2 【答案】D 【分析】利用重心的性质和已知线性关系可得，故P为OA中点，进而可得面积比. 【详解】由O是△ABC的重心，得，而， 则，故， 所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点， 所以，， 所以△ACO与△CBP面积比为1:2. 故选：D 6．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可得到答案. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 于是有， 又，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 7．（24-25高一下·河北邯郸·期中）已知为的重心，且，则 . 【答案】 【分析】根据三角形中线向量公式和重心性质直接求解即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，则三角形中线向量公式得， 又因为为的重心，故，因此，故. 故答案为: 8．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 【答案】重心 【分析】根据向量平行得到，将变形得到，取的中点，则，从而得到答案. 【详解】与向量共线，故，即， 则变形为， 即， 所以， 取的中点，则， 所以动点M的轨迹必经过的重心. 故答案为：重心 【考点2：垂心问题】 【知识点：三角形的垂心】 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 1．（24-25高一·全国·课后作业）设是所在平面内的一点，且，试判断是的垂心. 【答案】答案见解析. 【分析】根据题意得到，即，同理可得垂直关系，得到答案. 【详解】·＝·，故，即，故； 同理可得：，，故O是的垂心. 2．（24-25高一上·广东惠州·期末）在中，若，则是的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由 得到 从而 所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点． 【详解】解：∵∴； ∴； ∴OB⊥AC， 同理由 ，得到OA⊥BC ∴点O是△ABC的三条高的交点． 故选D． 【点睛】本题考查三角形五心、向量的数量积及向量的运算，考查转化与数形结合思想． 3．（24-25高三·河北衡水·阶段练习）已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得从而得到结论． 【详解】 两边同乘以向量,得 即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过△ABC的垂心， 故选D. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 4．（24-25高一下·浙江·阶段练习）在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】合理作图，建立平面直角坐标系，利用垂心的性质得到之间的关系，进而求出，再利用二倍角公式求出，最后求出即可. 【详解】 如图，在等腰中，找底边的中点， 作，，交点即为垂心， 以为原点建立平面直角坐标系， 设，，故，，， 故，，， 故， 设，故，则， 故， 又，故，而，则，解得， 故，故，解得，可得， 易得，，可得，可得，解得， 由三线合一性质得平分，故，而， 由二倍角公式得，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是建立平面直角坐标系，然后表利用垂心的性质结合二倍角公式求出，最后得到即可． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的外接圆的圆心是M，若，则P是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】由题意画出相关示意图，、分别是、的中点，连，，，根据向量在几何图形中的应用有，即得与共线即可知P与的关系. 【详解】 如图，、分别是、的中点，连，，，则有，而， ∴，即有，有与共线， ∵的外接圆的圆心是M，有，则，同理有，， ∴P是的垂心. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的几何应用，根据几何线段的向量表示，结合向量线性运算求证点与三角形的关系. 6．（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 7．（2025·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案. 【详解】依题意，，同理． 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，解得， ，又， 所以． 故选：C． 【考点3：内心问题】 【知识点：三角形的内心】 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心. 1．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论. 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， 由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】延长交于，延长交于，延长交于，利用共线，得出，得是的平分线，同理都是的内角平分线，从而可得为的内心. 【详解】延长交于，延长交于，延长交于， ， 又因为，所以， 而共线，则存在实数，使得， 所以. 因为不共线，所以，， 所以，所以是的平分线，同理都是的内角平分线， 所以为的内心. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．则上述说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据中线的性质即可判断①，根据向量的运算得到，即可判断②， 根据三点共线的性质即可判断③，根据垂心的性质及数量积公式即可判断④. 【详解】，即， 即，即点是边的中点，故①正确； ，即，即， 即点在边的延长线上，故②错误； ，且， 故，且， 设，则，且， 故三点共线，且， 即是面积的一半，故③正确. 设的中点为， ， 即，故过的垂心，故④错误； 故选：C 5．（多选）（24-25高二下·安徽宣城·期末）中，下列说法正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若为重心，则 C．若点满足，则 D．若，则点的轨迹一定通过的内心 【答案】ABD 【分析】根据可确定角为钝角，则一定为钝角三角形，可判定A； 根据向量的加法运算可确定B；根据向量的数量积以及向量模的运算可判断C; 根据单位向量、共线向量的概念可判断D． 【详解】选项A：若，则，因此角为钝角，但一定为钝角三角形，故A正确； 选项B：若为的重心，设边的中点为， 则，故B正确； 选项C：如图所示，设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有．又， 则 ，故C错误； 选项D：因为分别表示方向上的单位向量， 所以的方向与的角平分线一致． 若，则的方向与的角平分线一致， 所以点的轨迹一定通过的内心，故D正确； 故选：ABD． 【考点4：外心问题】 【知识点：三角形的外心】 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心 到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 1．（2024·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】D 【分析】将等式化简整理得，作出中线，进一步将其化成，可得动点的轨迹为的垂直平分线，即得D项. 【详解】由可得，， 即, (*) 如图，取的中点为，连，则， 因，故得，, 代入(*)得，,即, 故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． 3．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得为斜边的中点，过点作，垂足为，在上的投影向量为，再由、共线可得答案. 【详解】因为，所以，所以是直角三角形． 又为的外心，所以为斜边的中点，所以． 如图，过点作，垂足为， 故在上的投影向量为， 又， ， 故，因此在上的投影向量为. 故选：D． 5．（2025高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 6．（2025高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确. 故选：A. 7．（多选）（2024·陕西西安·一模）下列关于平面向量的说法中错误的是（   ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则的夹角为锐角 C．设，，为非零向量，则 D．若点G为的外心，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错. 故选：BCD 8．（2025·全国·模拟预测）已知为的外心，，则（    ） A．与不共线 B．与垂直 C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量的线性运算可得，可判断A；由为的外心，可得与垂直；进而可得与垂直，可判断B；利用已知可求得，进而可求得可判断C；由已知可得，两边平方可求得. 【详解】选项A：由得，则与共线，故A错误． 选项B：因为为的外心，所以，所以与垂直， (在中，取的中点，连接，则，所以，    所以)，因为与共线，所以与垂直，故B正确． 选项C：设，则，由得， 所以，故C正确． 选项D：设的外接圆半径为1，由得， 所以，两边同时平方得， 即，所以，故D错误． 故选：BC. 9．（24-25高一下·河南安阳·阶段练习）设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（   ） A．若点O是的重心，则 B．若点O是的垂心，则 C．若，则点O是的外心 D．若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$