8.2 立方根 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 8.2 立方根 人教版七年级下册 1. 理解立方根的定义并且会求一个数的立方根； 一 2.会表示一个数的立方根和理解立方根的性质； 二 三 3.会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题. 学习目标 1 情景引入 目录 2 新知讲解 3 典例讲解 5 4 针对训练 6 变式训练 7 8 当堂测试 小结梳理 拓展探究 9 布置作业 目录 情景引入 问题1：要做大小不同的正方体模型(如图),正方体棱长如下所示，你能求出它们的体积吗？. 正方体棱长 正方体体积 追问1：已知正方体棱长求正方体体积这是做的什么运算呢？ 表1： 立方运算 情景引入 问题2：反之，要做大小不同的正方体模型(如图),正方体体积如下所示，你能求出它们的棱长吗？. 正方体棱长 正方体体积 追问2：类比平方根的定义，你可以对上表中四对数之间的关系给出新的数学概念吗？ 表2： 新知讲解 一般地，一个数的立方等于，即这个数就叫做的立方根，或者叫做的三次方根． 追问3.类比开方的运算的定义，你可以对表2中的运算给出新的数学概念吗？ 求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 立方 开立方 逆运算 新知讲解 1.根据立方意义填空 (1)因为所以的立方根是1 (2)因为,所以0.064的立方是(　 ) ； (3)因为，所以的立方根是(　 ) ； (4)因为，所以的立方根是(　 ). (5)因为 ，所以的立方根是(　 ) ； 新知讲解 ①正数,负数,0都有且只有一个立方根. ②正数的立方根是正数. 负数的立方根是负数. 0的立方根是0. ③被开方数互为倒数,立方根也互为倒数. 新知讲解 2：判断下列说法是否正确, 并说明理由. (1)的立方根是 ( ) (2)25的平方根是5 （ ） (3)－64没有立方根 （ ） (4)－4的平方根是±2 （ ） (5)的立方根是2 ( ) (6) 0的平方根和立方根都是0 （ ） √ x x x x x 新知讲解 平方等于本身的数： 立方等于本身的数： 平方根等于本身的数： 算术平方根等于本身的数： 立方根等于本身的数： 新知讲解 立方根的表示方法 3 三次根号 根指数 被开方数(为任意实数) 读作：三次根号 表示：的立方根 问：若有意义，求的取值范围 任意实数 典例讲解 例１　求下列各数的立方根 (1) (2) (3) (4) 解(1)∵的立方根是，即 (2)∵,∴的立方根是即 (3)∵,∴的立方根是， 即 (4)∵,∴的立方根是,即 典例讲解 例2说出下列各式的意义，并求它们的值 (1) (2) (3) (4) 解(1)729的立方根； (2)的立方根的相反数； (3)的立方根的相反数； (4)的立方的立方根； 求带分数的立方根应先化为假分数 典例讲解 例3.计算(1) (2) (3)． (4) 解(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 典例讲解 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 任意实数 非负数 针对训练 1.若=2，=4，求的值. 解：∵=2，=4， ∴, ∴ ∴或 ∴==4或==0. 针对训练 2.已知是的算术平方根，的立方根，求的值 解:∵ 由题意可得 ∴ ∵ , ∴ ∴ 针对训练 3.求未知数的值 (1) (2) 解(1)∵ ∴ 解得： (2)原方程变形为： ∵ ∴ 解得： 针对训练 3.求未知数的值 (3) (4) 解(1)∵ ∴ 解得： (2)原方程变形为： ∵ ∴ 解得： 变式训练 1.【问题发现】(1)计算下列各式 ①____________; __________. ②__________; __________. ③__________; __________; (2)观察上面式子及其计算结果，你能得到什么结论？ 变式训练 1.【知识应用】计算下列各式 ① ② ③ 解① ② ③ ①如果被开方数互为相反数，那么它们的立方根也互为相反数即： ②被开方数大，其立方根大，被开方数小，其立方根小. 变式训练 1.【知识迁移】(1)已知+,且的平方根是它本身，求xy的立方根 解:∵ 和互为相反数 ∴，解得 ∵的平方根是它本身 ∴，解得 ∴ 易错易混辨析 若则 若则 变式训练 1.【知识迁移】(2) 比较下列各组数的大小. (1)与 (2)与 (3)与 解(1)法一：立方法 ∵ ∴ 法二：估值法(夹逼法) ∵ ∴ ∴ 变式训练 1.【知识迁移】(2) 比较下列各组数的大小. (1)与 法三：计算器 ∵ ∴ 按键顺序： 计算器上显示的是的近似值 变式训练 1.【知识迁移】(2)比较下列各组数的大小. (1)与 (2)与 (3)与 解(2)∵, ∴ (3)∵ ∵ ∴ 拓展探究 1.已知的立方根是,的算术平方根是,是的整数部分,求的平方根. 解:∵的立方根是,的算术平方根是 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 拓展探究 2.(1)计算下列各式的值,你能发现什么规律? 规律：被开方数扩大(缩小)1000倍时,它的立方根扩大(缩小)10倍. (2)利用(1)中的结论，如果，那么_______ 当堂检测 1.的立方根用符号表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 2.有理数-8的立方根是（ ） A.-2 B.2 C.±2 D.±4 3.下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A.与 B. 与 C.与 D. 与 C A A 当堂检测 4.计算 (1)__________;(2)____________; (3)___________;(4)___________; (5)的立方根是__________ (6)的平方根是_____________ (7)若则的值为______ (8)若,则的取值范围_______ (9)和之间的整数是 . 当堂检测 5.计算(1) (2) (3) 解(1)原式 (2)原式 (3)原式 当堂检测 6.求未知数的值 (1) (2) 解(1)原方程变形为： ∵ ∴ 解得： (2)原方程变形为： ∵ ∴解得： 当堂检测 7.已知的平方根是±3，的立方根是2，求的算术平方根 解:∵的平方根是±3 ∴即 ∵的立方根是2 ∴ ∴ ∴ 当堂检测 8.已知和互为相反数，求的值. 解：根据题意，得 ∴ ∴ ∴ 知识点1　立方根的概念及开立方运算 1.8的立方根是（　C　） A. B. 4 C. 2 D. ±2 [变式] 一个数的立方根是－ ，则这个数是 　－ 　. C － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2. 已知（－ ）3＝－ ，则下列说法正确的是（　B　） A. － 是－ 的立方根 B. － 是－ 的立方根 C. ± 是－ 的立方根 D. ± 是－ 的立方根 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. 若一个正方体的体积是64，则它的棱长是（　A　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. 立方根等于其本身的数是 　0或1或－1　. [变式] 若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数是 　0 或1　. 0或1或－1　 0 或1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. 求下列各数的立方根： （1）125； （2）－ ； 解：（1）∵53＝125，∴125的立方根是5. （2）∵ ＝－ ，∴－ 的立方根是－ . （3）0.001； （4）－1 . 解：（3）∵0.13＝0.001，∴0.001的立方根是0.1. （4）∵－1 ＝－ ， ＝－ ， ∴－1 的立方根是－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 知识点2　立方根的性质 6. 计算 的结果是（　D　） A. ±3 B. 3 C. ±3 D. －3 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. 若－ ＝ ，则m的值是（　D　） A. － B. ± C. D. － D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8. 求下列各式的值： （1） ； （2） ； 解：（1） ＝－ ＝－0.6. （2） ＝－ ＝－4. （3） ； （4） . 解：（3） ＝－ ＝－ . （4） ＝ ＝－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 知识点3　用计算器求立方根与估算 9. 估计100的立方根在（　A　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. 利用计算器计算： ≈ 　1.738　（精确到0.001）， ≈ 　0.173 8　（精确到0.000 1）.观察所得结果，总结存在 的规律，运用得到的规律可直接得 ≈ 　17.38　（精确到 0.01）. 1.738　 0.173 8　 17.38　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 易错点1　混淆算术平方根、平方根、立方根的概念 11. 下列说法中，正确的是 　①②③　（填序号）. ①－64的立方根是－4；②49的算术平方根是7；③ 的立方根是 ；④ 的平方根是 . ①②③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 易错点2　没有明确层级而出错 12. 的立方根是 　2　； 的平方根是 　±2　. 2　 ±2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. 已知x没有平方根，且｜x｜＝64，则x的立方根为（　D　） A. 8 B. －8 C. ±4 D. －4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 已知 与－ 相等，则b的值为 　6　. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15. 一个正数a的两个平方根是2b－1和b＋4，则a＋b的立方根 是 　2　. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 求下列各式中x的值： （1）27x3＋125＝0； 解：∵27x3＋125＝0，∴x3＝－ ， ∴x＝ ＝－ ＝－ . （2）2（1－3x）3＝16； 解：∵2（1－3x）3＝16，∴（1－3x）3＝8， ∴1－3x＝2，∴x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （3）2（x－1）3＝－ . 解：∵2（x－1）3＝－ ，∴（x－1）3＝－ ， ∴x－1＝－2.5，∴x＝－1.5. 16. 求下列各式中x的值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 已知2a＋1的平方根是±3，3a＋2b－4的立方根是－2，求4a－5b ＋8的立方根. 解：∵2a＋1的平方根是±3，3a＋2b－4的立方根是－2， ∴2a＋1＝9，3a＋2b－4＝－8， 解得a＝4，b＝－8， ∴4a－5b＋8＝4×4－5×（－8）＋8＝64， ∴4a－5b＋8的立方根是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. （教材P59数学活动变式）数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的 助手阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根.华罗庚脱口而 出：39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出结果的吗？请你按下面 的方法试一试： ①∵ ＝10， ＝100， 1 000＜59 319＜1 000 000， ∴10＜ ＜100， ∴能确定59 319的立方根是两位数. ②∵59 319的个位数是9，93＝729， ∴能确定59 319的立方根的个位数是9. ③若划去59 319后面的三位319得到数59，而 ＜ ＜ ，则3 ＜ ＜4，可得30＜ ＜40，由此能确定59 319的立方根的十 位数是3，因此59 319的立方根是39. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （1）现在换一个数17 576，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 　两　位数； ②它的立方根的个位数是 　6　； ③它的立方根的十位数是 　2　； ④17 576的立方根是 　26　. 两　 6　 2　 26　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）请计算474 552的立方根，并书写详细的过程. 解：（2）∵ ＝10， ＝100， 1 000＜474 552＜1 000 000， ∴10＜ ＜100， ∴能确定474 552的立方根是两位数. ∵474 552的个位数是2，83＝512， ∴能确定474 552的立方根的个位数是8. 若划去474 552后面的三位552得到数474， 而 ＜ ＜ ，则7＜ ＜8，可得 70＜ ＜80， 由此能确定474 552的立方根的十位数是7， 因此474 552的立方根是78. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 小结梳理 立方根 定义 估值 一般地，一个数的立方等于，即这个数就叫做的立方根，或者叫做的三次方根． 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 布置作业 作业：必做题P49第1，2，3题， 选做题P51第8，9题. $$