重难点11 平面向量中的最值与范围问题【八大题型】-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

重难点11 平面向量中的最值与范围问题【八大题型】 【新高考专用】 平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等. 【知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略】 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. 【知识点2 极化恒等式】 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【知识点3 等和(高)线定理】 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 【题型1 定义法求最值（范围）问题】 【例1】（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式1-1】（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式1-2】（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【题型2 坐标法求最值（范围）问题】 【例2】（2024·宁夏·一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【变式2-1】（2024·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 【例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【变式3-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 与数量积有关的最值（范围）问题】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·浙江·一模）如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 与模有关的最值（范围）问题】 【例5】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式5-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知中，，，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 平面向量中参数的最值（范围）问题】 【例6】（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【变式6-1】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（23-24高一下·上海·期中）如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（    ） A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【变式6-3】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 极化恒等式】 【例7】（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 .   【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【题型8 等和(高)线定理】 【例8】（2024·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式8-1】（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，，是两个不共线的向量（为锐角），为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，点在上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·江西新余·模拟预测）如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高三上·河南·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 一、单选题 1．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 10．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ） A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 11．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 三、填空题 12．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 . 13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ． 14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 16．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 17．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上. (1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值； (2)若为等边三角形，求面积的范围. 18．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在中，，满足.    (1)若，求的余弦值； (2)点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值. 19．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点11 平面向量中的最值与范围问题【八大题型】 【新高考专用】 平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等. 【知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略】 1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路： (1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断； (2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法： (1)定义法 ①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系； ②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论. (2)坐标法 ①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标； ②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算； ③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）. 【知识点2 极化恒等式】 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 【知识点3 等和(高)线定理】 1．等和(高)线定理 (1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立. (2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1； ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)； ④当等和线过O点时，k=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 【题型1 定义法求最值（范围）问题】 【例1】（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【解题思路】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【解答过程】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 【变式1-1】（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【解题思路】由题意可得为直径，且，当共线且方向相同时模长最长，即可得出答案. 【解答过程】因为，所以为直径且过原点，的中点为原点， 所以由平行四边形法则可得：， 所以， 所以当共线且方向相同时模长最长，即当运动到时， 取得最大值为. 故选：C. 【变式1-2】（2024·福建·模拟预测）在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【解题思路】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】在中，点是边上一点，，则，，. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式1-3】（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【解题思路】先判断外接圆圆心是的中点，将化简为，再将分解整理得，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得的最大值. 【解答过程】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 【题型2 坐标法求最值（范围）问题】 【例2】（2024·宁夏·一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【解题思路】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案. 【解答过程】设， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C. 【变式2-1】（2024·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值. 【解答过程】以为原点､的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则有，. 设，则. 由题意可知 所以. 因为，所以， 故的最大值为. 故选：C. 【变式2-2】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【解答过程】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 【变式2-3】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【解答过程】以为原点， 为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C. 【题型3 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 【例3】（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【解题思路】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D. 【变式3-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意以为基底表示出，再根据三点共线，利用共线定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值为. 【解答过程】如下图所示： 因为，易知， 又，所以， 易知三点共线，利用共线定理可得， 又，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式3-2】（2024·重庆·模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围. 【解答过程】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当点在上时，设， 则，即，故， 当点在上时，设， 则，即，解得， 故， 当点在上时，设， 则，即，故 综上，的取值范围是. 故选：B. 【变式3-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值. 【解答过程】 在线段上， ，， 为线段的一个三等分点，， ， ， 由平面向量基本定理得，， ， 当时，取得最小值. 故选：C. 【题型4 与数量积有关的最值（范围）问题】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方法一：建立合适的坐标系，设，根据余弦函数的范围即可得到数量积范围；方法二：根据数量积与投影向量之间的关系进行转化即可. 【解答过程】方法一：不妨设圆心，，，， 所以， 因为， 所以. 方法二：如图，过圆心作，且与圆交于点M，N，连接，， 过M，N分别作，，垂足分别为G，H，过作，垂足为， 则在方向上的投影向量为， 则，， 又，所以. 故选：B. 【变式4-1】（2024·海南·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】如图所示，    以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以. 故选：C. 【变式4-2】（2024·浙江·一模）如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】连接，则,则有=,由∽可得,又由,可得，即可求出的最大值. 【解答过程】解：连接，则， ∵， ∴=， 依题意可证∽，则，即， ∵， ∴，即，当且仅当时取等号， ∴， ∴， ∴的最大值为1， 故选：B. 【变式4-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件，把用基底表示，再利用向量数量积公式可得，再根据的范围便可求出的取值范围. 【解答过程】如图可知,，， 因为是的中点，所以， 所以， 即， 所以， 由条件可得，，， 因为P为AC边上的一个动点， 故当P为AC中点时，最小，此时， 当P为A或C时，最大，， 所以， 所以，又因为， 所以. 故选：C. 【题型5 与模有关的最值（范围）问题】 【例5】（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【解题思路】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案. 【解答过程】 ， 所以， 所以，即， 解得. . 故选：D. 【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【解题思路】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值. 【解答过程】如图:令，，则，故. 因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上. 设，连接，因为，所以点在直线上. 因为，所以，即，所以. 结合图形可知，当时，即取得最大值，且. 故选：D. 【变式5-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知中，，，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知可得到的距离为2，为等腰直角三角形，若为的两个四等分点，为中点，在线段上运动，且，数形结合求的取值范围. 【解答过程】由，结合向量加法法则知：到的距离为2， 又，则，所以，故为等腰直角三角形， 由，则，所以共线， 又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，    所以在线段上运动，且，，， 由图：若，则，又，此时， 故上述情况 ，易知， 由图知：与重合时，， 综上，的取值范围为. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】取三角形ABC的重心和DE中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定理得到点在平面的位置，用勾股定理求出线段CH长，从而求得所求向量的最小值. 【解答过程】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B. 【题型6 平面向量中参数的最值（范围）问题】 【例6】（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）如图，点是半径为的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【解题思路】以为轴，过作与垂直的线作为轴建立平面直角坐标系，设，根据平面向量基本定理得到，再利用辅助角公式计算可得. 【解答过程】 如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴， ，， ，， 则，， 设， ， ， ， 其中，又，所以， ，即时，取得最大值，即． 故选：C． 【变式6-1】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由四边形ABCD为平行四边形，得及且，再通过二次函数求最小值；由及点Q在对角线BD上，得，再通过基本不等式求最小值. 【解答过程】因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以且， 则，当时，． 同理，因为点Q在对角线BD上（不包括端点B，D）， 所以且，， 则， 当且仅当，时取得等号，所以． 故选：A． 【变式6-2】（23-24高一下·上海·期中）如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（    ） A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值 【解题思路】设，用表示出，然后利用三角函数的性质求最值. 【解答过程】设， 由余弦定理得 过点作轴，设垂足为， 在中，， 所以 在中， ， 所以 由 即 得， 所以， 当且仅当时取最小值，没有最大值． ， 其中， 因为，所以， 所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值． 故选：B. 【变式6-3】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再逐个分析即可. 【解答过程】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 所以， 则，即 所以，其中， 所以， 所以①③错误； ， 其中， ， ， ， 所以②正确，④错误； 故选：A. 【题型7 极化恒等式】 【例7】（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【解答过程】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【解题思路】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【解答过程】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D.    【变式7-2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 .   【解题思路】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可. 【解答过程】在上取一点，使得，取的中点，连接，， 如图所示： 则，，， ，即. ， 当时，取得最小值，此时， 所以. 当与重合时，，， 则， 当与重合时，，， 则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【解题思路】由向量的数量积公式得出，求出的最大值和最小值即可得出结果. 【解答过程】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 故答案为：. 【题型8 等和(高)线定理】 【例8】（2024·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【解答过程】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，，是两个不共线的向量（为锐角），为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，点在上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据三点共线得，且，再根据平面向量基本定理得，，最后根据二次函数性质求最值. 【解答过程】解：∵点共线，∴存在实数，使，且， 因为，，，. 故 ，. 当时，取得最小值， 故选：A． 【变式8-2】（2024·江西新余·模拟预测）如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，结合共线向量定理的推论可得，再消元借助二次函数求出最小值. 【解答过程】由M、N分别是边、的中点，得，而， 于是，又点R在直线上，因此，即， 则， 所以当时，取得最小值. 故选：C. 【变式8-3】（23-24高三上·河南·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果． 【解答过程】 如图，设，，设P是直线EF上一点， 令，则， ，又，所以 因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值， 设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1， 连接MP，连接并延长使之与EF交于点， 过M作，垂足为N， 因为，设，则， ， 则，由，得， 故的最大值为． 故选：D． 一、单选题 1．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 【解答过程】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 2．（2024·湖北·模拟预测）四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意建立直角坐标系，设，写出坐标，可得点的轨迹方程，进而可求出的最大值. 【解答过程】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设 ， 则， 故， ， 即； 故点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的夹角关系得到且与不共线，即可求解. 【解答过程】由题意得： 且与不共线， 即，解得：且， 所以实数的范围是， 故选：C. 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知向量，且，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得到的夹角为，设，，故，设，由得到，设，设夹角为，表达出，换元后得到，由对勾函数性质得到其值域，从而确定，得到夹角最大值. 【解答过程】因为，所以，解得，故， 设，，则， 设，则， 则，即， 设， 设夹角为，则， 令，则， 则，令，则， 则， 其中在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， 当或3时，取得最大值，最大值为1， 故， 由于在上单调递减，故， 与夹角的最大值为. 故选：A. 5．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，即点四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可. 【解答过程】设， 由，，，则， 所以，又，所以， 即点四点共圆，要使最大，即为圆的直径， 在中，由余弦定理可得， 即，又由正弦定理可得， 即的最大值为， 故选：A. 6．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【解答过程】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 7．（2024·四川成都·模拟预测）在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解. 【解答过程】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A.    8．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】过点作，设，，得到，再由，求得，结合圆的性质，当与半圆相切时，最大，分别求得的长，即可求解. 【解答过程】如图所示，过点作，交直线于点， 设，可得. 设，，则， 因为，所以， 由图可知，当与半圆相切时，最大， 又由，，可得， 所以，即最大为，所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题 9．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 【解题思路】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可. 【解答过程】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD. 10．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ） A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 【解题思路】对于A，利用反例，结合平面向量的基本定理，作平行四边形，可得答案；对于B，根据等边三角形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；对于C、D，利用平面向量的线性运算，整理所求数量积仅仅只有一个变量，根据三角函数的值域，可得答案. 【解答过程】对于A选项，过点作交延长线于， 过点作交于，作图如下： 在平行四边形中，，由，则，故A选项错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C、D选项，取线段中点，连接，，作图如下： ， 在等边三角形中，易知，所以， ，则， 设与的夹角为，易知，则， 所以，故C选项错误，D选项正确. 故选：BD. 11．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（    ） A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的范围是 【解题思路】A选项，过中点作的平行线，根据平行线与的交的个数判断；B选项，建系，利用余弦定理得到各点的坐标，然后分点在上三种情况考虑；C选项，根据数量积的几何意义判断；D选项，将转化为，然后求范围即可. 【解答过程】 如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错； 在三角形中由余弦定理得, 解得，则，， ， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系， ，，，，，，，，， 当点在上时，， 当点在上时，设，， ， 则，，， 所以当时，最大为， 当点在上时，设，， ， 则，，， 当时，最大为， 综上可得，当点在点处时最大为，故B正确； 根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小， 此时，故C正确； 取中点，则， 因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 . 【解题思路】根据条件，利用向量数量积的定义及运算得到，再利用，即可求出结果. 【解答过程】设的夹角为 ， 因为， 又为单位向量，得到， 又，得到，所以， 故答案为：. 13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ． 【解题思路】取和，转化为，得到三点共线，得到的最小值，即为中边上的高，在中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解. 【解答过程】在中，因为， 如图所示，取的中点，可得， 再延长到点，使得，可得 ， 因为， 因为，所以三点共线， 所以的最小值，即为中边上的高， 在中，由余弦定理得 ，所以， 又由， 可得，即，解得， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【解题思路】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【解答过程】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 16．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【解题思路】（1）用表示，结合向量的模公式，即可求得本题答案； （2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到，然后分离变量，利用函数的单调性即可求得本题答案. 【解答过程】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 17．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上. (1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值； (2)若为等边三角形，求面积的范围. 【解题思路】（1）建立坐标系，利用向量坐标运算结合二次函数的性质得到所求最小值； （2）设正三角形的边长为，设，则， 则,，利用向量的投影向量关系在上的投影向量为,在上的投影向量为, 得到、的关系，利用三角函数公式化简，利用三角函数的性质求得正三角形的面积的取值范围. 【解答过程】（1）以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,    由已知可得点的坐标为，设, 则， ∴， 当且仅当时，取得最小值； （2）设正三角形的边长为， 对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：          设，则，则,， 在上的投影向量为,在上的投影向量为, , ∴，∴， 又∵，∴，∴, 面积的取值范围是. 18．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在中，，满足.    (1)若，求的余弦值； (2)点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值. 【解题思路】（1）设，在和中利用正弦定理，建立等量关系求的余弦值； （2）利用C、M、D三点共线，求得，再根据三角形的面积求得，根据向量数量积求，展开后利用基本不等式求最小值. 【解答过程】（1）由题意可设， 在中① 在中② 由①②可得， 解得，则，解得. 故. （2）， 且C、M、D三点共线，所以， ， 故． ， 当且仅当时；所以. 19．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得； （2）建立平面直角坐标系后借助三角函数与基本不等式计算即可得 （3）建立平面直角坐标系后，将最大转化为最大，借助计算即可得. 【解答过程】（1）由，，故，，则， ， 由，故； （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，    设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即， 假设存在点H，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$