第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（5分）（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（5分）（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 4．（5分）（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 6．（5分）（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 7．（5分）（23-24高二下·吉林松原·期末）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．180 B．240 C．320 D．360 8．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 10．（6分）（23-24高二下·福建福州·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“御”、“书”、“数”、“射”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”不排在相邻两周，共有480种排法 B．某学生从中选2门，共有30种选法 C．课程“礼”“书”“数”要排在一起，共有144种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 11．（6分）（23-24高二下·浙江台州·期末）对，设，其中，，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 13．（5分）（23-24高二下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是 . 14．（5分）（24-25高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2024高二下·全国·专题练习）如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．    16．（15分）（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 17．（15分）（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 18．（17分）（23-24高二下·湖北武汉·期中）为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选名球员组建校足球队.（以下问题最终结果用数字作答） (1)若将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练. 若其中一组人，另外两组每组人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 19．（17分）（23-24高二下·河北沧州·期末）已知. (1)当时，求的值； (2)当时，证明：； (3)设，求和：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【解答过程】根据组合数公式可知 ，，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确； 易知，，显然两式不相等，故C错误； ，，显然两式相等，故D正确. 故选：C. 2．（5分）（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【解题思路】合理分步，应用分步乘法原理计算即可. 【解答过程】第一步，从9个球中任意取一个，有 种取法； 第二步，从与第一步所取球颜色不同的6个球中任意取一个，有种取法； 第三步，剩下的球中与第一步颜色相同的球有2个，与第二步颜色相同的球也有2个，从这4个球中任意选一个，有 种取法； 根据分步乘法计数原理，结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有种. 故选：D . 3．（5分）（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【解答过程】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 4．（5分）（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【解答过程】由展开式奇数项的二项式系数和，可得， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 5．（5分）（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【解题思路】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【解答过程】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 6．（5分）（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【解题思路】利用赋值法即可判断ACD，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【解答过程】 ， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 因为， 所以， 所以，故D错误． 故选：B． 7．（5分）（23-24高二下·吉林松原·期末）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（    ） A．180 B．240 C．320 D．360 【解题思路】将6支救援队按1，1，4、1，2，3或2，2，2分成3组，分别求出其不同的安排方法种数，再由分类加法计算原理即可得出答案. 【解答过程】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·=30， 若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是=240， 若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·=90， 故不同的安排方法种数是360. 故选：D. 8．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【解答过程】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（    ） 站数 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后） 【解题思路】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【解答过程】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种， 同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确. 两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种； 小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种， 共有27种，C正确. 小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种； 小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确. 故选：BCD. 10．（6分）（23-24高二下·福建福州·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“御”、“书”、“数”、“射”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”不排在相邻两周，共有480种排法 B．某学生从中选2门，共有30种选法 C．课程“礼”“书”“数”要排在一起，共有144种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【解题思路】A选项利用插空法；B选项直接由计算；C选项利用捆绑法；D选项分课程“御”排在第一周和不排在第一周两种情况考虑. 【解答过程】课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故A正确； 6门中选2门共有种，故B错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，“御”排在第一周有种不同的排法，符合题意， “御”不排在第一周，先除“乐”、“御”外的课程选一门排在第一周，再从剩余的除“御”外的课程中选一门排到最后一周，剩余的课程在第二周到第五周全排列即可， 由分布乘法计数原理知共种，再由分类加法计数原理，共有种排法，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（23-24高二下·浙江台州·期末）对，设，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，令和，可判定A正确，B不正确；令，结合，化简得到，可判定C正确；等号两边同除以，化简得到，令，可判定D正确. 【解答过程】由，其中， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，令，可得，所以，所以B不正确； 对于C中，由 ， 又由，且， 可得， 令，可得 因为，所以，即，所以C正确； 对于D中，因为， 可得， 因为，其中， 所以 ， 所以可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 5 ． 【解题思路】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【解答过程】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 13．（5分）（23-24高二下·河北唐山·阶段练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是 1920 . 【解题思路】根据题意，按照地图涂色问题的方法，分步讨论每个区域的涂色方法，由分步计数原理计算求解即可. 【解答过程】如图， 设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步：选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步：若区域D与区域A.种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择，则区域E可选择的花卉有4种， 故不同的种植方法种数是：. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 5040 ． 【解题思路】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可. 【解答过程】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和， 故人参加“演讲团”的不同参加方法数为； 若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为， 故满足条件的方法数为， 故答案为：5040. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2024高二下·全国·专题练习）如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．    【解题思路】因A，B，C，D 4块图形中，块与块不共边，B块与D块不共边，故可就块与块将其分成A，C同色与不同色两类情况考虑，在每一类中，考虑根据分步乘法计数原理按顺序涂色,最后利用分类加法计数原理即得. 【解答过程】本题的解法可按照顺序涂色，因块与块不共边，故可分成A，C同色与不同色两类情况. 第一类，A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法， 由分步乘法计数原理知，共有种涂法； 第二类，A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D也有3种涂色方法（因B块与D块不共边）， 由分步乘法计数原理知，共有种涂法． 根据分类加法计数原理，共有种不同的涂色方案． 16．（15分）（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 17．（15分）（23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 【解题思路】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【解答过程】（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； （2）由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； （3）设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 18．（17分）（23-24高二下·湖北武汉·期中）为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选名球员组建校足球队.（以下问题最终结果用数字作答） (1)若将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练. 若其中一组人，另外两组每组人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【解题思路】（1）利用隔板法可求得结果； （2）利用平均分组法可求得分组方法种数； （3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，然后将、、、四人进行插空，利用捆绑法与插空法可求得不同的排法种数. 【解答过程】（1）解：将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分为组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为种. （2）解：将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. （3）解：将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种. 19．（17分）（23-24高二下·河北沧州·期末）已知. (1)当时，求的值； (2)当时，证明：； (3)设，求和：. 【解题思路】（1）把代入原式，再赋值，即可求得部分系数和； （2）先根据展开式系数表示出，再根据组合数公式进行化简即可； （3）把（2）中化简中的代入中，求出，进而求得，再代入中，分组求和即可. 【解答过程】（1）当时，已知等式化为， 今，则；令，则. . （2）由题意得 . . （3）由（2）知 ， 则， ， 当时，； 当时， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$