第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 2．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 3．（5分）（23-24高二下·河北邢台·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B．448 C． D．196 4．（5分）（23-24高二下·山东临沂·期中）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 5．（5分）（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 6．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 7．（5分）（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 8．（5分）（23-24高二下·北京·期中）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 11．（6分）（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 13．（5分）（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知二项式关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答） 14．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期中）名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算：（用数字作答） (1)； (2)； (3). 16．（15分）（24-25高二下·江苏·课后作业）现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？ 17．（15分）（23-24高二下·云南迪庆·期中）已知二项式的展开式中二项式系数的和为128． (1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式的常数项． 18．（17分）（24-25高二上·江苏·假期作业）已知且满足各项的二项式系数之和为256． (1)求的值； (2)求的值． 19．（17分）（23-24高二下·河南郑州·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ (3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（    ） A．84 B．83 C．70 D．69 【解题思路】根据组合数的性质来求得正确答案. 【解答过程】 . 故选：D. 2．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【解题思路】根据分类加法计数原理进行求解, 【解答过程】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 3．（5分）（23-24高二下·河北邢台·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B．448 C． D．196 【解题思路】运用通项公式计算即可. 【解答过程】展开式的通项公式为， 要得到项，令，即. 则的系数为. 故选：A. 4．（5分）（23-24高二下·山东临沂·期中）用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．180 B．240 C．280 D．300 【解题思路】利用分步乘法计数原理可得答案. 【解答过程】 如图，先涂，有5种不同的涂色方法，再涂，有4种不同的涂色方法， 然后涂，有3种不同的涂色方法，最后涂，有3种不同的涂色方法， 则不同的涂色方法有种. 故选：A. 5．（5分）（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则（    ） A．244 B．242 C．122 D．121 【解题思路】分别令、得两式相加可得答案. 【解答过程】令，得， 令，得， 两式相加得， 则. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【解题思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【解答过程】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 7．（5分）（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【解题思路】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得被10除所得的余数即可. 【解答过程】 ， 因为能被10整除， 所以被10除所得的余数9； 因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0． 故选：C. 8．（5分）（23-24高二下·北京·期中）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【解题思路】根据题意，先安排小明跟小李，然后剩余3人分两组，再分配，即可得到结果. 【解答过程】小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况， 剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有种情况， 然后分配到两个吉祥物的安装又种情况， 则共有种情况. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（    ） A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案 B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案 C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案 D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案 【解题思路】根据已知，结合分步乘法计数原理，求解即可得出答案. 【解答过程】对于A、B项， 按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故A正确、B错误； 对于C项，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故C正确； 对于D项，根据3个智力竞赛项目，分为3步. 第1步，6种选择；第2步，5种选择；第3步，4种选择. 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的报名方案，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，可判断A，当时，可判断B，利用展开式的通项求出，可判断C，当时，可判断D． 【解答过程】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 则，令，可得，故B正确； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故C正确； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确. 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 10 ． 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得. 【解答过程】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为． 故答案为：10. 13．（5分）（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知二项式关于x的展开式中，所有项的系数之和为32，则展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【解题思路】由已知先求得，再根据二项展开式通项求解即可． 【解答过程】由所有项的系数之和为32，令，，所以， 所以展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为， 故答案为：． 14．（5分）（23-24高二下·陕西西安·期中）名男生和名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种． 【解题思路】首先将名男生排成一排，再把名女生插入到名男生中间的空中，按照分步乘法计数原理计算可得. 【解答过程】依题意，首先把名男生排成一排，有种排法， 再把名女生插入到名男生中间的空中，有种排法， 利用乘法原理得不同排法种数有：种． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算：（用数字作答） (1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）（2）（3）根据排列数、组合数公式结合阶乘的定义运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 16．（15分）（24-25高二下·江苏·课后作业）现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？ 【解题思路】根据题意，依次分析C、 D区域的涂色相同和不同两种情况，由分步计数乘法原理计算可得答案． 【解答过程】解：由题，当C、 D区域的涂色相同时，有：种方法； 当C、 D区域的涂色不同时，有：4×3×2×1＝24种方法. 所以共有48种着色方法. 17．（15分）（23-24高二下·云南迪庆·期中）已知二项式的展开式中二项式系数的和为128． (1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式的常数项． 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法计算即得. （2）求出展开式的通项公式，进而求出常数项. 【解答过程】（1）由二项式的展开式中二项式系数的和为128，得，解得， 令，得，所以的展开式中各项的系数和为128． （2）二项式的展开式的通项为：，， 令，解得， 所以二项式的展开式的常数项为． 18．（17分）（24-25高二上·江苏·假期作业）已知且满足各项的二项式系数之和为256． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可； （2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可． 【解答过程】（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以， 二项式展开式的通项为， 所以； （2）令，得， 令，得， 所以． 19．（17分）（23-24高二下·河南郑州·期中）盒子中有3支不同的铅笔和4支不同的水笔. (1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？ (2)一次性取出3支笔，使得取出的三支笔中至少有1支铅笔，共有多少种不同的取法？ (3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同的放法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【解题思路】（1）先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），结合插空法可求得结果； （2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果； （3）先将这支水笔分为组，其中组有支，另一组有支，然后再将这三组水笔放入三个不同的盒子， 最后将支铅笔放入3个盒子，利用分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】（1）将支不同的水笔和支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻， 只需先将支不同的铅笔进行排序，然后将支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端）， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. （2）随机一次性摸出支笔，使得摸出的三支笔中至少有支铅笔， 则铅笔得支数可以是或或， 由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为种. （3）先将支水笔分为组，这三组水笔的支数分别为、、， 再将这三组水笔分配给三个盒子， 所以不同的放法种数为种， 再将3支铅笔放入3个盒子，每个盒子1支，不同的放法种数为种， 由分步乘法计数原理可得，不同的放法种数为种. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$