第六章 计数原理（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理（思维导图+知识清单） 【人教A版（2019）】 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理】 1．分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理的概念 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2 种种不同的方法，，在第n类方案中有mn种种不同的方法，那么完成这件事共有N=种 不同的方法. (2)分类加法计数原理的特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事 情，我们可以用第一类有m1种方法，第二类有m2种方法，，第n类有mn种方法，来表示分类加法计 数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有种不同方法可 以完成这件事. (3)分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类， 分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种 方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件 事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，， 做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法. (2)分步乘法计数原理的特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利 用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个 步骤才能完成要做的事情，从而共有种不同的方法可以完成这件事. (3)分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才 能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件 事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各 个步骤既不能重复也不能遗漏. 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 (1)联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题. (2)区别 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区 别如下表： 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 (3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 【知识点2 两个计数原理的综合应用】 1．两类计数问题的求解思路： (1)“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原 理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果. (2)“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分 类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果. 2．两个计数原理的综合应用 两个计数原理的综合应用主要包括五个方面：(1)实际问题中的计数问题；(2)代数中的计数问题；(3)几何计数问题；(4)数字排列问题；(5)涂色问题. 6.2 排列与组合 【知识点1 排列与排列数】 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 . 4．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. 【知识点2 组合与组合数】 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 6.3 二项式定理 【知识点1 二项式定理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 【知识点2 二项式系数的性质】 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$