专题6.7 排列组合中的必考六类问题-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.7 排列组合中的必考六类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 2 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 4 【类型3 相邻、相间问题】 7 【类型4 定序问题】 10 【类型5 分组、分配问题】 13 【类型6 涂色问题】 16 【知识点1 排列数与组合数】 1．排列数与组合数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. 2．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且mn. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且mn. ②阶乘表示：. 规定：. (3)组合数的性质 ①性质1：； ②性质2：. 【知识点2 排列组合必考问题的分类与解题策略】 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【方法技巧与总结】 1．解决排列、组合问题的八种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)正难则反，等价转化. 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【解题思路】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【解答过程】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【解答过程】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【解题思路】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【解答过程】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为 69 . 【解题思路】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可. 【解答过程】因为，所以或，解得或, 因为，所以,可得, 所以. 故答案为：69. 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 【解题思路】（1）根据组合数性质运算求解； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 6．（23-24高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 【解题思路】（1）根据排列数公式计算可得答案； （2）根据组合数公式计算可得答案； （3）根据排列数公式计算可得答案；. 【解答过程】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得； （2）因为， 所以 ； （3）因为，所以. 因为，所以， 即，解得， 所以，又，所以或. 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 7．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 8．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【解题思路】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【解答过程】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B. 9．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 【解题思路】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D中分首位为1、2、依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可. 【解答过程】A选项，有个，故A正确； B选项，分为两类：在末位，则有种； 不在末位，则有种， 所以共有种，故B正确； C选项，分为两类：在末位，则有种； 5在末位，则有种， 所以共有种，故C错误； D选项，首位为的有个；前两位为的有个；前两位为的有个， 所以第个数字是前两位为的最小数，即为，故D正确； 故选：ABD. 10．（23-24高二下·山东临沂·期中）某单位安排甲、乙、丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 种． 【解题思路】利用特殊元素优先及分类讨论的思想计算即可. 【解答过程】①若甲安排在周五，则乙有3种安排方法，余下的四人四天种安排方法，合计有种方法； ②同理，若乙被安排在周五，也有72种方法； ③若甲、乙都不被安排在周五， 则甲、乙可选周一、二、四三天中的两天即有种方法， 丙有余下四天中除周五的三天可选，即3种方法， 余下三人安排余下的三天，有种方法，合计有种方法， 综上不同的安排方法共种. 故答案为：. 11．（23-24高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 【解题思路】（1）根据末尾是否为0进行分类，利用分类计数原理即得； （2）法一、就末尾数字是否为0进行分类计数；法二、就不同数位进行取数，分步计数. 【解答过程】（1）由题意，五位偶数可以分成两类： ①末位是0，只需将其余4个数字在另外四个数位全排，有个， ②末位是2或4，先从2与4中选一个放在末位，再从除0和它之外的3个数字中选1个放在首位， 剩下3个数字全排，有个， 由分类加法计数原理可得， 满足条件的五位偶数共有个. （2）法一、分类完成：① 0是末位数，将1和3在千位和十位全排，剩下的两个在剩余数位上去安排，有个； ② 2或4是末位数时，末位和首位有两种选法且百位必须是0，剩余的1和3在十位和千位全排，有个. 由分类加法计数原理，这样的偶数共有：个. 法二、分步完成：第一步：千位数字和十位数字位从奇数1，3中取，有种方法；            第二步：首位从2，4中取，有种方法； 第三步：余下的排在剩下的两个数位，有种方法， 由分步乘法计数原理，这样的偶数共有：个. 12．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有3名女生4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数， (1)全体排成一行，其中4名男生互不相邻； (2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有1人； (3)全体排成前后两排，前排3人，后排4人，且后排至少2个男生 【解题思路】（1）不相邻问题借助插空法计算即可得； （2）先选出一人放入甲乙中间后使用捆绑法即可得； （3）分别计算后排有2个男生、3个男生、4个男生的情况即可得. 【解答过程】（1）先排3名女生，共种排法，再将4名男生分别插入3名女生形成的四个空中， 有种排法，故共有种排法； （2）先从剩下的5人中选出一人放入甲乙中间，有种排法， 结合甲乙的顺序与剩余4人一起排，则共有种排法； （3）后排2个男生的话共有种，后排3个男生的话共有种， 后排4个男生的话共有种， 故共有种排法. 【类型3 相邻、相间问题】 13．（23-24高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 【解题思路】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可 【解答过程】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有种， 所以共有种排法. 故选：A. 14．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【解题思路】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法， 故选：C. 15．（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（    ） A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 【解题思路】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解. 【解答过程】对于A，甲不排在最中间，则不同的排法有中，故A错误； 对于B，甲乙不相邻，则不同的排法有种，故B正确； 对于C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有种，故C错误； 对于D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有种，故D正确； 故选：BD. 16．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 43200 种（用数字作答）. 【解题思路】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘法原理计算即可. 【解答过程】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他6人排成一圈，共有种排列. 甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他6人排成一圈后形成7个空，但甲与丙丁不能相邻，故丙丁只有6个空位可选，有种选择， 根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为. 故答案为：43200. 17．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）已知有3名男生和2名女生，站在一排照相. (1)男生均相邻且女生均相邻的排法种数是多少； (2)女生互不相邻的种数是多少； (3)甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法. 【解题思路】（1）利用捆绑法，把把男生看成一个整体、女生看成一个整体，结合排列数运算求解； （2）利用插空法，先排男生，男生之间和两端共4个空位，选2个空位插入女生，结合排列数运算求解； （3）利用间接法，先将5人排列，再排除甲站左端或乙站右端的情况，结合排列数运算求解. 【解答过程】（1）把男生看成一个整体、女生看成一个整体排列有，男生内部排列有，女生内部排列有， 根据分步乘法计算原理有种排法. （2）先排男生，男生之间和两端共4个空位，选2个空位插入女生， 所以女生互不相邻有种排法. （3）因为个人全排列有排法， 且甲站左端有种排法，乙站右端有种排法，甲站左端且乙站右端有种排法， 所以甲不站左端，且乙不站右端有种排法. 18．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【解题思路】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得. （2）利用插空法求解不相邻问题. （3）利用捆绑法求解相邻问题. （4）利用排除法列式计算即得. 【解答过程】（1）中间6个位置取1个让甲站，余下7个位置让另7个人站， 所以不同排法种数是. （2）排除甲､乙､丙三位同学的5名同学，再在每一种排法的6个间隙中插入甲､乙､丙， 所以不同排法种数是. （3）分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余4名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列， 所以不同排法种数是. （4）求出8个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的3人相邻的排列， 所以不同排法种数是. 【类型4 定序问题】 19．（23-24高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【解题思路】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【解答过程】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 20．（24-25高二·全国·课后作业）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（    ） A．42 B．56 C．30 D．72 【解题思路】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的不同排法，即可得解. 【解答过程】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有种， 而原有的6个节目对应的不同排法共有种， 所以不同的排法有（种）. 故选：B. 21．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（    ） A．有种不同的节目演出顺序 B．当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【解题思路】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【解答过程】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 22．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 2520 种.（结果用数字作答） 【解题思路】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案. 【解答过程】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 23．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得； （2）不相邻问题用插空法排列即可得， （3）定序问题用倍缩法排列即可得. 【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 24．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 【解题思路】（1）先将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案； （2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步计数原理计算可得答案； （3）7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，计算可得答案； （4）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，相减可得答案. 【解答过程】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法； （2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法； （3）定序排列．7名学生排成一行，分两步： 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N； 第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得， 所以（种）； （4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法， 但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）. 【类型5 分组、分配问题】 25．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【解题思路】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【解答过程】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 26．（23-24高二下·山东济宁·期中）某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的是（    ） A．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式 B．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式 C．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式 D．分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1160种分配方式 【解题思路】AB项，工地不同，工程车不同，按工地选车顺序分步计数即可；CD项，先分组再分配．计算后判断各选项． 【解答过程】对A，先甲地从6辆工程车中分2辆，有种方法，再乙地从剩余的4辆工程车中分2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地， 所以不同的分配方式有（种），故A错误； 对B，6辆工程车先分给甲､乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙､丁两地每地各1辆，有种方法， 所以不同的分配方式有（种），故B正确； 对C，先把6辆工程车分成3组：4辆､1辆､1辆，有种方法，再分配给甲､乙､丙三地， 所以不同的分配方式有（种），故C错误； 对D，先把6辆工程车分成4组：2辆､2辆､1辆､1辆，有种分组方法，再分给甲､乙､丙､丁四地， 所以不同的分配方式有（种），故D错误. 故选：B. 27．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240 C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【解题思路】A项由分步计数原理求解；B项先从5人中选2人作为1组，再与另外3人共4组进行全排列；C项先将5名同学分为3组，然后再分别安排赛道补给、路线引导、物品发放三项工作；D项分从丙、丁、戊3人中选2人兴奋剂检测和选1人兴奋剂检测进行求解． 【解答过程】解：对于选项，给其中的一人安排一项工作，则有4种不同的安排方法，则每人都安排一项工作， 则不同的方法数为，即选项正确； 对于选项B，每项工作至少有1人参加，先从5人中选2人作为1组，再与另外3人共4组， 每组选一项工作，则不同的方法数为，即选项B正确； 对于选项C，先将5名同学分为3组，然后再分别安排赛道补给、路线引导、物品发放三项工作， 则这5名同学全部被安排的不同方法数为，，即选项C错误； 对于选项D，当从丙、丁、戊3人中选2人兴奋剂检测，则不同安排方案的种数是， 当从丙、丁、戊3人中选1人兴奋剂检测，则不同安排方案的种数是， 即不同安排方案的种数是，即选项D正确， 故选：ABD． 28．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 100 . 【解题思路】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算. 【解答过程】当村安排1人时，不同的安排方法种数为； 当村安排2人时，不同的安排方法种数为； 当村安排3人时，不同的安排方法种数为. 综上，共有56+36+8=100种不同的安排方法. 故答案为：100. 29．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛. (1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法? (2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式? 【解题思路】（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有1人参加时选派方法的数量； （2）求出随机选择人数，人随机坐和人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)时安排方式的数量. 【解答过程】（1）由题意， 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人， 若没有队长，则有种选派方法， 若随机选择，则有种选派方法， ∴队长中至少有1人参加，有种方法. （2）由题意， 男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车， ∴选择的人是随机的，有种情况， 若人坐同一个车中，有种情况， 若人随机坐，有种情况， ∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况. 30．（23-24高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有6名同学（简记为A，，，，，）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者. (1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ (2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ 【解题思路】（1）因为6个相同的口罩，利用隔板法结合组合数分析求解； （2）分人数配比为1，1，3和1，2，2两种情况，结合排列数、组合数运算求解. 【解答过程】（1）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种. （2）把A，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法. 【类型6 涂色问题】 31．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【解答过程】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为， 所以不同的涂色方案有（种）. 故选：A. 32．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 【解题思路】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【解答过程】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 33．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（    ） A．共有种不同方案 B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案 C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案 D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案 【解题思路】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解. 【解答过程】对于选项A，每个彩灯颜色都有4种选择，根据分步乘法原理得， 有种不同方案，故A正确； 对于选项B，第一类：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有种结果， ①使用1种剩余的颜色和前3种颜色的1种安装4，5，6号位彩灯时，有种结果； ②使用1种剩余的颜色和前3种颜色的2种安装4，5，6号位彩灯时，有种结果； 根据乘法原理得共有种不同的安装方法； 第二类：先从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有种结果， 再安装4，5，6号位彩色灯，分两类： 第一类，4，5，6号位只用1，2，3号位剩余的2种彩色灯，有2种结果， 第二类，4，5，6号位用1，2，3号位剩余的2种彩色灯和前三个位置使用过的1种彩灯， 有种结果，根据计数原理得共有种不同的安装方法. 由分类加法原理得共有种不同的安装方案，故B错误； 对于选项C，第一步：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有种结果，第二步：分两类：第一类，4，5，6号位用1，2，3号位的3种彩色灯，有2种结果， 第二类，4，5，6号位用1，2，3号位的2种彩色灯，有种结果， 根据计数原理得共有种不同的安装方法.故C正确； 对于选项D，第一步：从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯安装在1，2，3号位，则有种结果，第二步：安装4，5，6号位彩灯有1种，根据分步计数原理，可得有种不同的安装法，故D正确； 故选：ACD. 34．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有 84 种. 【解题思路】根据四个区域涂颜色的种类数进行分类，分别计算出三类涂法的种类数，相加即可得出结果. 【解答过程】由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类： 当涂两种颜色时：A和C相同，B和D相同，共有种涂色方法； 当涂三种颜色时：分A和C相同和A，C不同两种情况，此时共有种涂色方法； 当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，此时共有种涂色方法. 综上，不同的涂色方法有种. 故答案为：84. 35．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 【解题思路】依题意可得Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，利用分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色， 用3种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，有种方法， 用4种颜色涂有种方法， 所以不同的涂色方法种数是. 36．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【解题思路】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【解答过程】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 排列组合中的必考六类问题 【人教A版（2019）】 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 2 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 3 【类型3 相邻、相间问题】 4 【类型4 定序问题】 6 【类型5 分组、分配问题】 7 【类型6 涂色问题】 8 【知识点1 排列数与组合数】 1．排列数与组合数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. 2．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且mn. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且mn. ②阶乘表示：. 规定：. (3)组合数的性质 ①性质1：； ②性质2：. 【知识点2 排列组合必考问题的分类与解题策略】 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【方法技巧与总结】 1．解决排列、组合问题的八种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)正难则反，等价转化. 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 1．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 2．（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为 . 5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 6．（23-24高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 7．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 8．（23-24高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 9．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 10．（23-24高二下·山东临沂·期中）某单位安排甲、乙、丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 种． 11．（23-24高二下·河南郑州·期中）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)组成五位偶数； (2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数． 12．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有3名女生4名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数， (1)全体排成一行，其中4名男生互不相邻； (2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有1人； (3)全体排成前后两排，前排3人，后排4人，且后排至少2个男生 【类型3 相邻、相间问题】 13．（23-24高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（   ）种 A．36 B．40 C．32 D．42 14．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 15．（23-24高二下·河南洛阳·期中）5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（    ） A．甲不排在最中间，则不同的排法有72种 B．甲乙不相邻，则不同的排法有72种 C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种 D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种 16．（23-24高二下·贵州·期中）2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有 种（用数字作答）. 17．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）已知有3名男生和2名女生，站在一排照相. (1)男生均相邻且女生均相邻的排法种数是多少； (2)女生互不相邻的种数是多少； (3)甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法. 18．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【类型4 定序问题】 19．（23-24高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 20．（24-25高二·全国·课后作业）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（    ） A．42 B．56 C．30 D．72 21．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（    ） A．有种不同的节目演出顺序 B．当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 22．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 23．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 24．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起； (2)全体排成一行，3名男生互不相邻； (3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边． 【类型5 分组、分配问题】 25．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 26．（23-24高二下·山东济宁·期中）某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的是（    ） A．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式 B．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式 C．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式 D．分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1160种分配方式 27．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240 C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 28．（23-24高二下·河北邢台·期中）要安排5名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少安排1名志愿者，其中学生甲不分配到村，则不同的安排方法种数为 . 29．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛. (1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法? (2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式? 30．（23-24高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有6名同学（简记为A，，，，，）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者. (1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ (2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ 【类型6 涂色问题】 31．（23-24高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 32．（23-24高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A．120种 B．360种 C．420种 D．540种 33．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（    ） A．共有种不同方案 B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案 C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案 D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案 34．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 35．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 36．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$