6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6．1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　两个计数原理 中国的正兴，世界的教育（新授课） 问题1：从甲地到乙地，可乘汽车或火车两种交通工具，如果一天内有4趟汽车开往乙地，有3列火车开往乙地，那么一天内从甲地到乙地有多少种不同的乘车选择？ 从甲地到乙地有汽车和火车两种交通工具，乘汽车有 4 种选择，乘火车 3 种选择，所以一共有 4+3=7 种不同的乘车选择! 新课导入 中国的正兴，世界的教育（新授课） 问题2 某书架共有三层，第一层放3本不同的数学书，第二层放有2本不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书，从该书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ 从该书架上任取 1 本书，结果可能是数学书，语文书或英语书， 取到数学书时有 3 种、 取到语文书时有 2 种、 取到英语书时有 2 种不同的取法! 所以一共有 3+2+2=7 种不同的取法。 新课导入 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 分类加法计数原理：如果完成一件事情有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法。每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 我们把分类加法计数原理简称为分类计数原理，或加法原理。 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 问题3：从甲地到乙地，需从甲地乘汽车到丙地，再于次日从丙地乘火车到乙地，如果一天内有4趟汽车从甲地开往丙地，有3列火车从丙地开往乙地，那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择？ 新课导入 在这个问题中，必须经历先从甲地乘汽车到丙地，再从丙地乘火车到乙地这两个步骤， 才能够从甲地到乙地。假定从甲地到丙地的4趟汽车分别为a,b,c,d, 从丙地到乙地的三列火车分别为1,2,3,则从甲地到乙地的不同路径为: a1,a2,a3; b1,b2,b3; c1,c2,c3; d1,d2,d3.共有4×3=12（种)不同的乘车选择. 中国的正兴，世界的教育（新授课） 问题4：某书架有三层，第一层放有3本不同的数学书，第二层放有2本不同的语文书，第三层放有2本不同的英语书，从书架的第一、二、三层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 记:3本不同的数学书分别为M1，M2，M3， 2本不同的语文书分别为C1，C2， 2本不同的英语书分别为E1，E2， 新课导入 中国的正兴，世界的教育（新授课） 则从书架的第一、二、三层各取1本书的所有可能结果为： M1C1E1，M1C1E2，M1C2E1，M1C2E2； M2C1E1，M2C1E2，M2CIE1，M2C2E2； M3C1E1，M3C1E2，M3C2E1，M3C2E2. 共有3×2×2=12（种）不同的取法. 新课导入 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法。 我们把分步乘法计数原理简称为分步计数原理，或乘法原理. 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课程讲授 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课堂练习 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课堂练习 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课堂练习 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课堂练习 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课后小结 中国的正兴，世界的教育（新授课） 课后作业 1.试卷 2.整理笔记 3.订正上次错题 中国的正兴，世界的教育（新授课） 类型一 分类加法计数原理 【例1】　某校高三共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 解　(1)从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法； 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法。 根据分类加法计数原理，从三个班中选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法。 (2)从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法； 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法。 根据分类加法计数原理，从高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法。 分类加法计数原理解题的一般思路 【变式训练】　(1)如图，电路中共有3个电阻与1个灯泡，若灯泡不亮，则因电阻断路的情况共有________种。 解析　每个电阻都有断路与通路两种状态，灯泡不亮可以分3种情况讨论：①1个电阻断路，此时只有1种情况；②2个电阻断路，此时有3种情况；③3个电阻断路，此时只有1种情况。根据分类加法计数原理，可知灯泡因电阻断路不亮的情况共有1＋3＋1＝5(种)。 答案　5 (2)设a，b，c∈{1,2,3,4}，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有________个。 解析　设a，b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a＝b＝1时，c<a＋b＝2，则c＝1。第2类，当a＝b＝2时，c<4，则c＝1,2,3。第3类，当a＝b＝3时，c<6，则c＝1,2,3,4。第4类，当a＝b＝4时，c<8，则c＝1,2,3,4。因此，符合条件的三角形的个数为1＋3＋4＋4＝12。 答案　12 类型二 分步乘法计数原理 【例2】　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点。 (1)点P可以表示平面上多少个不同的点？ (2)点P可以表示平面上第二象限内多少个不同的点？ 解　(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成。第1步，确定a的值，有6种不同的结果；第2步，确定b的值，也有6种不同的结果。由分步乘法计数原理，得点P可以表示平面上不同点的个数为6×6＝36。 (2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成。第1步，确定a的值，由于a<0，因此有3种不同的结果；第2步，确定b的值，由于b>0，因此有2种不同的结果。由分步乘法计数原理，得点P可以表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6。 分步乘法计数原理的特点 (1)完成一件事有若干步； (2)每一步中的每一种方法都不能完成这件事，只有完成所有的步骤才能完成这件事； (3)把各步中的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数。 【变式训练】　(1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(　　) A．56 B．65 C．30 D．11 解析　第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次，第六名同学也有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法。故选A。 答案　A (2)现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果选1条长裤与1件上衣配成一套，那么不同的配法种数为________。 解析　要完成配套需分两步：第1步，选上衣，有4种不同选法；第2步，选长裤，有3种不同选法。故不同的配法种数为4×3＝12。 答案　12 3．两个计数原理的区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类方法都能独立完成这件事。它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就能完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏 类型三 两个计数原理的综合应用 【例3】　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画。 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法。根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法。 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法。 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法。 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法。 【变式训练】　(1)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。如22,121,3 443,94 249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个101,111,121，…，191,202，…，999。则5位回文数有________个。 解析　第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个数字，有10种选法，故5位回文数有 9×10×10＝900个。 答案　900 (2)现有高一年级四个班的学生共34人，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外学习小组，若推选两人做小组组长，这两人需来自不同的班级，则有多少种不同的选法？ 解　可分为6类，每类又分为两步。 从(1)班、(2)班学生中各选1人，有7×8种不同的选法； 从(1)班、(3)班学生中各选1人，有7×9种不同的选法； 从(1)班、(4)班学生中各选1人，有7×10种不同的选法； 从(2)班、(3)班学生中各选1人，有8×9种不同的选法； 从(2)班、(4)班学生中各选1人，有8×10种不同的选法； 从(3)班、(4)班学生中各选1人，有9×10种不同的选法。 所以共有不同的选法7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种。 1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 解析　分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法。所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法。故选B。 答案　B 2．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2}，则P⊗Q中元素的个数是(　　) A．4 B．9 C．6 D．3 解析　因为P＝{0,1,2}，Q＝{1,2}，所以a有3种选法，b有2种选法，根据分步乘法计数原理，可得P⊗Q中元素的个数为3×2＝6。故选C。 答案　C 3．用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的两位偶数。 解析　能组成12,32两个没有重复数字的两位偶数。 答案　2 4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法。 解析　共有6×8＝48种不同取法。 答案　48 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理。 $$