1.1.2 正弦与余弦 课件-2024-2025学年北师大版九年级数学 下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.1第2课时 正弦与余弦 北师大版九年级下册数学课件 目录 目录 CONTENTS CONTENTS 1-新知导入 2-探究新知 3-巩固练习 4-课堂小结 新知导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 复习引入 1. 分别求出图中∠A，∠B 的正切值. 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与邻边的比就随之确定.想一想，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ A B C 邻边b 对边a 斜边c 探究新知 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C ＝ ∠C' ＝90°，∠A ＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 合作探究 正弦的定义 在图中，由于∠C ＝∠C' ＝ 90°，∠A ＝∠A' ＝ α，所以 △ABC∽△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． A B C A' B' C' ∠A 的对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦（sine）,记作 sinA， 即 . A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作 a ∠B的对边记作 b ∠C的对边记作 c 概念学习 典例精析 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，sinA= 0.6，求 BC 的长. 解： 在 Rt△ABC 中， 即 ∴ BC = 200×0.6 = 120. A B C 变式：在 Rt△ABC 中,∠C = 90°，BC = 20， 求: △ABC 的周长和面积. 解: 在 Rt△ABC 中, 20 ┐ A B C 合作探究 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C ＝ ∠C' ＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 余弦的定义 在图中，由于∠C ＝∠C' ＝ 90°，∠A ＝∠A' ＝ α， 所以 △ABC∽△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值． A B C A' B' C' ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine），记作 cosA，即 . A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作 a ∠B的对边记作 b ∠C的对边记作 c 概念学习 邻边(相邻的直角边) 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数（trigonometric function）.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 三角函数的定义 定义中应该注意的几个问题: 1. sinA，cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sinA，cosA 是一个完整的符号，分别表示∠A的正弦，余弦 (习惯省去“∠”号). 3. sinA，cosA 是一个比值.注意比的顺序，且在直角三角形中，sinA，cosA 均大于 0，无单位. 4. sinA，cosA 的大小与 ∠A 的大小有关. 5. 角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 例2：如图:在等腰 △ABC中，AB = AC =5，BC = 6. 求: sinB，cosB，tanB. 提示：过点 A 作 AD⊥BC 于 D . 5 5 6 A B C ┌ D 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D，则在 Rt△ABD 中 如图，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ A sinA 的值越大，梯子越 ____ ； cosA 的值越 ____ ，梯子越陡. 陡 小 8 10 6 8 10 6 A 议一议 19 例3：在 Rt △ABC 中,∠C=90°,如图,已知 AC = 3,AB = 6,求 sinA 和 cosB. ┌ B C A 3 6 想一想:我们发现 sinA = cosB，其中有没有什么内在的联系? 正弦、余弦和正切的相互转化 求： AB，sinB. 10 ┐ A B C 变式：如图：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10， 思考:我们再次发现 sinA = cosB， 其中的内在联系你可否掌握? 巩固练习 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 如图：在 Rt △ABC 中，∠C ＝ 90°， 要点归纳 sinA = cosB 课堂小结 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，则 tanB的值为_________. 针对训练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB D 1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sinA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 已知∠A，∠B 为锐角 (1)若∠A =∠B，则 sinA sinB； (2)若 sinA = sinB，则 ∠A ∠B. A B C ┌ C = = 3. 如图， ∠C = 90° 且 CD⊥AB. 4. 在上图中，若BD = 6，CD = 12. 则 cosA =______. ┍ ┌ A C B D 5. 如图：P 是边 OA 上一点，且 P 点的坐 标为 (3，4)，则 cosα =____，tanα=____. x y o 3 4 P α A CDBC ACAB ADAC 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB = 10，BC＝6， 求 sinA、cosA、tanA 的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 变式1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ ，求 sinA、tanA 的值． 解：∵ A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k ∴ ∴ 变式2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝8，tanA＝ ，求 sinA、cosB 的值． A B C 8 解：∵ 7．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM. 解：设正方形ABCD的边长为 4x， ∵M 是 AD 的中点，BE = 3AE， ∴ AM ＝ DM ＝ 2x，AE ＝ x， BE ＝ 3x．由勾股定理可知， A M E D B C 7．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM. A M E D B C 由勾股定理逆定理可知，△EMC 为直角三角形. 8．如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为 (10，0)，点 B 在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝ . (1) 求点 B 的坐标； (2) 求 cos∠BAO 的值． A B H 解：(1)如图所示，作BH⊥OA， 垂足为H．在Rt△OHB中， ∵BO＝5，sin∠BOA＝ ， ∴BH=3，OH＝4， ∴点B的坐标为(4，3)． 8．如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A的坐标为 (10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝ . (2) 求cos∠BAO 的值． A B H (2) ∵OA ＝ 10，OH ＝4，∴ AH＝6． ∵在 Rt△AHB 中，BH = 3， 1. 在 Rt△ABC 中 2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系： sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡. 第一章 直角三角形的边角关系 1.1第2课时 正弦与余弦 北师大版九年级下册数学课件 $$