第十六章 二次根式 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第十六章 二次根式 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 10．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）最简二次根式与可以合并，则 ． 12．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则 ． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 16．（24-25八年级上·北京延庆·期末）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知：，．求值： (1)，； (2)． 18．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． (1)三角形三边长分别为9，10，11； (2)三角形三边长分别为，，． 19．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 20．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题． ； ； ； …… (1)填空：______； (2)猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)计算：． 22．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ； (2)化简：； (3)已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：本章全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；     D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）二次根式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算．先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据，得到，再利用化简即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 6．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和二次根式的性质，由数轴可得，即得，，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可求解，由数轴得到，是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故选：． 7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 8．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【详解】解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 10．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是理解可以合并的条件—同类二次根式． 根据被开方数相同，列式计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式，即， 解得：， 故答案为：5． 12．（23-24八年级上·四川成都·期末）当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据有意义，得出，进而化简已知等式得出，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ 故答案为：． 14．（24-25八年级上·重庆·期中）任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级上·北京延庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及立方根； （1）根据二次根式的性质以及立方根进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2） ． 16．（24-25八年级上·北京延庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握混合运算的运算法则． 先对括号里进行通分、合并同类项，然后进行乘除运算化为最简，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知：，．求值： (1)，； (2)． 【答案】(1) (2)38 【分析】本题考查的是二次根式的加法，二次根式的乘法运算及完全平方公式的应用． （1）把，代入，，再进行计算即可； （2）根据整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 18．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积． (1)三角形三边长分别为9，10，11； (2)三角形三边长分别为，，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据海伦公式进行计算即可； （2）根据秦九韶公式进行计算即可． 【详解】（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积． ， ． （2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算． ，，， ． 19．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1)； (2)她站在山巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以她站在山巅能看到大海． 20．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用， 对于（1），根据题意可得，再根据题意求出x的值即可； 对于（2），将原式整理为，再结合已知条件可得，接下来可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知， 即． 当时，， 解得时，的最小值是4； 故答案为：4，； （2）解：∵ ， ∴． ∵， ∴． ∵当，时：， ∴， ∴， 即． 所以y的最小值为． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下面的材料，解决下面的问题． ； ； ； …… (1)填空：______； (2)猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】本题主要考查了二次根式的化简， 对于（1），先通分，得，再计算即可； 对于（2），先通分，得，再计算即可； 对于（3），根据材料可得原式 ，再计算． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：原式； 故答案为：； （3）解：原式 ． 22．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2. 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. ∴， ∴， ∴的最小值为． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ； (2)化简：； (3)已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ∵点是关于x的函数图像上的一点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，一次函数的图像和性质，点的规律变换，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 学科网（北京）股份有限公司 $$