8.1 平方根 第2课时 课件 2024—2025学年人教版数学七年级下册

第2课时 算术平方根 第八章 实数 8.1 平方根 人教版七年级下册 1.理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根； 一 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根； 二 三 3.了解算术平方根的性质，并用其解题. 学习目标 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 变式训练 4 针对训练 6 拓展探究 7 8 小结梳理 10 布置作业 当堂测试 目录 复习引入 平方根 正的平方根 负的平方根 算术平方根 1.求下列各数的平方根 新知讲解 表示的正的平方根 表示的负的平方根 表示的平方根 的算术平方根 的算术平方根的相反数 定义：正数有两个平方根，其中正的平方根 叫作的算术平方根 新知讲解 1.判断下列说法是否正确. (1) －7是49的平方根，7是49的算术平方根 （ ） (2)是的算术平方根 （ ） (3)的算术平方根是4 （ ） (4)5是的算术平方根 （ ） (5)的算术平方根的相反数是 （ ） × √ × × √ 典例讲解 例1 求下列各数的算术平方根： (1) (2) (3) (4) 解(1)∵,∴的算术平方根是 (2)∵,∴的算术平方根是 (3)∵,∴的算术平方根是 (4)∵,∴的算术平方根是 典例讲解 例1 求下列各数的算术平方根： (5) (6) (7) (8)-16 解(5)∵,∴的算术平方根是 (6)∵,∴的算术平方根是 (7)∵,∴的算术平方根是 (8)∵任何数的平方都是非负数， ∴-16没有算术平方根 1.正数的算术平方根是个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根； 2.被开方数越大，其算术平方根也越大 典例讲解 归纳总结 平方根等于本身的数是 ， 算术平方根等于它本身的数是 ，算术平方根和平方根相等的数是 ； 典例讲解 1.平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个. 2.存在条件相同.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.0的平方根和算术平方根均为0 正数的算术平方根有一个 正数的平方根有两个 如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根 符号不同 个数不同 定义不同 联系 区 别 算术平方根 平方根 用表示 用表示 正的平方根叫作的算术平方根(0的算术平方根是0) 针对训练 1.说出下列各式的意义，并求它们的值 (1) (2) (3) (4) (5) 解(1) 的算术平方根， (2)的算术平方根， (3)的平方根， (4)的算术平方根的相反数， (5)-3的平方的算术平方根， 针对训练 解：(1)原式； (2)原式 (3)原式 2.计算下列各式的值 (1) (2) (3) 针对训练 3.填空(1)若的平方根为则的算术平方根为_____ (2)若是的算术平方根,是的负平方根 则的算术平方根为________ (3)如果，那么 =_____ (4)如果的算术平方根等于2，那么 (5)若，= ； 是一种运算符号，有根号时，要先算带根号的. 变式训练 1.已知的平方根是，的算术平方根是，求的算术平方根. 解：由题意可得， 解得： ∴ 变式训练 2.已知的算术平方根是其本身，的算术平方根是，求的算术平方根． 解：由题意得：，解得 ∵算术平方根是其本身的数是和 ∴当时 解得： ∴ ，∴ 变式训练 2.已知的算术平方根是其本身，的算术平方根是，求的算术平方根． 解：当时 解得： ∴ ∴ 综上所述： 的算术平方根是或 新知讲解 算术平方根具有双重非负性 的算术平方根 结果为非负数 被开方数为非负数 典例讲解 例2.已知：,求的值 解：由题意得： 解得： ∴ 几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂(n为正整数)及一个数的算术平方根. 针对训练 1.已知与互为相反数，求的算术平方根 解：由题意可得 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 的算术平方根是 拓展探究 1.已知，求的算术平方根． 解：∵ 和都为非负数 ∴ ∴ ∴ 拓展探究 2.若,求的值 解：由题意可得： ∵为非负数(即减数小于被减数) ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当堂测试 A 1.数的算术平方根是（　　） A． B． C． D. 2．下列说法正确的是（　　） A.表示的算术平方根 B．表示的算术平方根 C．的算术平方根记作 D．是的算术平方根 A 当堂测试 3.计算 (1)256的平方根___________;算术平方根__________ (2)的平方根_________;算术平方根___________ (3)的平方根_________;算术平方根_________ (4)的平方根________;算术平方根_________ 注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解. 当堂测试 解(1)原式. (2)原式 (3)原式 4.计算下列各式的值 (1) (2) (3) 当堂测试 5.已知的平方根为的算术平方根为 (1)求的值 (2)求的算术平方根 解(1)由题意可得: 解得： (2) 当堂测试 6.已知求 的值． 解：∵ ∴ ∴ 即可得 当堂测试 7.若满足关系式求的算术平方根 解：由题意可得： ∵和为非负数 ∴ ∴ ∴ ∴ 当堂测试 解:设每块地板砖的边长为. 由题意得 ∴ ∴ 故每块地板砖的边长是. 8.用大小完全相同的块正方形地板砖，铺一间面积为60的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 知识点1　算术平方根的概念及运算 1. （2023·金昌）9的算术平方根是（　C　） A. ±3 B. ±9 C. 3 D. －3 [变式] 如果a的算术平方根是4，那么a的值是（　D　） A. 2 B. －2 C. 8 D. 16 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 下列等式成立的是（　D　） A. ＝－2 B. ＝±5 C. ＝4 D. ＝1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 下列说法正确的是 　①③　（填序号）. ①2是4的算术平方根； ②81的算术平方根是－9； ③0的算术平方根是0； ④0.01是0.1的算术平方根. ①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. （2023·滨州）一块面积为5 m2的正方形桌布，其边长为 　　　　. m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 求下列各数的算术平方根： （1）0.16； （2） ； 解：（1）∵0.42＝0.16， ∴0.16的算术平方根是0.4，即 ＝0.4. （2）∵ ＝ ，∴ 的算术平方根是 ，即 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （3）2 ； （4）（－9）2. 解：（3）∵2 ＝ ， ＝ ， ∴2 的算术平方根是 ，即 ＝ . （4）∵（－9）2＝81，92＝81， ∴（－9）2的算术平方根是9，即 ＝9. 5. 求下列各数的算术平方根： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 求下列各式的值： （1） ； （2） ； 解：（1）∵0.82＝0.64，∴ ＝0.8. （2）∵172＝289，∴ ＝17. （3）－ ； （4）± ； 解：（3）∵ ＝ ＝1 ， ∴－ ＝－ ＝－ . （4）∵（－3）2＝9＝32，∴± ＝± ＝±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （5） ； （6） . 解：（5）∵ ＝ ，∴ ＝ . （6）∵102－82＝36＝62，∴ ＝6. 6. 求下列各式的值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 知识点2　算术平方根的非负性 7. 下列式子没有意义的是（　B　） A. B. C. D. － B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 若 ＋ ＝0，则x＝ 　8　，y＝ 　2　. 8　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 若 ＋（b－3）2＝0，则 ＝ 　2　. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易错点　求“双重”算术平方根时遗漏运算 10. 的算术平方根是 　2　. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 如果某个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是（　C　） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. －1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 若一个数的算术平方根是x，则比这个数大2的数的算术平方根是 （　D　） A. x2＋2 B. ＋2 C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 已知2m＋1的算术平方根为5，n＋19的算术平方根为4. （1）求m，n的值； 解：（1）∵2m＋1的算术平方根为5， ∴2m＋1＝25，∴m＝12. ∵n＋19的算术平方根为4，∴n＋19＝16，∴n＝－3. （2）求m＋2n的算术平方根. 解：（2）由（1），得m＝12，n＝－3，∴m＋2n＝12－2×3＝6， ∴ ＝ ， ∴m＋2n的算术平方根是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 已知2a－1的平方根是±3，4a＋2b＋1的算术平方根是5，求a＋ 2b的平方根. 解：由题意，得2a－1＝9，4a＋2b＋1＝25， ∴a＝5，b＝2，∴a＋2b＝5＋4＝9， ∴a＋2b的平方根是±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. （2024·营口大石桥月考）有一个长、宽之比为5∶2的长方形过道， 其面积为10 m2. （1）求这个长方形过道的长和宽； 解：（1）设这个长方形过道的长为5x m，宽为2x m，则5x·2x＝10，即 10x2＝10，解得x＝±1. ∵x＞0，∴x＝1， ∴5x＝5，2x＝2. 答：这个长方形过道的长为5 m，宽为2 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种 地板砖的边长. 解：（2）设这种地板砖的边长为a m， 则40a2＝10，即a2＝ ，解得a＝±0.5. ∵a＞0，∴a＝0.5. 答：这种地板砖的边长为0.5 m. 15. （2024·营口大石桥月考）有一个长、宽之比为5∶2的长方形过道， 其面积为10 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. （教材P47习题T10变式）（1）通过计算下列各式的值探究问题： ① ＝ 　4　； ＝ 　16　； ＝ 　0　； ＝ 　 　. 探究：对于任意非负有理数a， ＝ 　a　. ② ＝ 　3　； ＝ 　5　； ＝ 　1　； ＝ 　2　. 探究：对于任意负有理数a， ＝ 　－a　. 综上，对于任意有理数a， ＝ 　｜a｜　. 4　 16　 0　 　 a　 3　 5　 1　 2　 －a　 ｜a｜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）应用（1）中所得的结论解决问题： 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 － － ＋｜a＋b｜. 解：（2）由数轴可知a＜0，b＞0，a－b＜0，a＋b＜0， ∴原式＝｜a｜－｜b｜－｜a－b｜＋｜a＋b｜＝－a－b－（b－ a）＋（－a－b）＝－a－b－b＋a－a－b＝－a－3b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 小结梳理 算术平方根 算术平方根的概念 算术平方根的双重非负性 正的平方根叫作的算术平方根 0的算术平方根是0 结果为非负数 被开方数为非负数 布置作业 作业：P43第1题，P44第2,3题. $$