精品解析：河北省石家庄市平山县2024-2025学年七年级上学期期末教学质量检测数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测 七年级数学（R） 一、选择题（共12小题、每题3分、共36分） 1. 下列各组数相等的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与0.3 D. 与a 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘方、化简绝对值，先把每个选项的式子化简，再把式子的结果进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，则与不相等，故该选项不符合题意； B、，则与相等，故该选项符合题意； C、，则与0.3不相等，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 2. 下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ） ① ② ③ ④千米 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式的书写，根据代数式的规范书写格式要求：数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；带分数与字母相乘一定要写成假分数；在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来；据此进行判断即可求解． 【详解】解：①要写成； ②要写成； ③符合要求； ④千米要写成千米； 综上可知，符合要求的只有1个， 故选A． 3. 在算式中的“”，填入运算符号（ ），使得算式的值最大． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，将选项中的符号逐个代入式子中计算，再比较所得的值大小即可得出答案，掌握有理数的运算法则是解本题关键． 【详解】解：假设填入运算符号是，则， 假设填入运算符号是，则， 假设填入运算符号是，则， 假设填入运算符号是，则， ， 当“”填入运算符号时，的值最大， 故选：D． 4. 已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断中，正确的有（　　） ①；②；③；④；⑤的值一定是正数． A. ②③ B. ②③④⑤ C. ①③④ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴得出，进一步判断、、、的符号，从而得出答案． 【详解】解：由数轴得，，故①错误； ∵，，∴，故②正确； ∵，∴，∴，故③正确； ∵，，∴， ∵，∴，故④错误； ∵，∴的值不一定是正数，故⑤错误； ∴正确的有：②③， 故选：A． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘法，有理数的加减法，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 5. 如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，结合图1和图2求出1个单位长度，再求出求出之间在数轴上的距离，即可求解；利用数形结合思想解决问题是本题的关键． 【详解】解：由图1可得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为， ∵， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故选：C． 6. 甲数是乙数的4倍少1，则下列说法：①设乙数为x，甲数为；②设甲数为x，乙数为；③设甲数为x，乙数为；④设甲数为x，乙数为，正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，理清数量关系并用代数式表示出即可． 【详解】解：甲数是乙数的4倍少1， 若设乙数为x，甲数为，故①正确； 若设甲数为x，乙数为，故②④错误，③正确 故选A 【点睛】本题考查列代数式，理清数量关系并用代数式表示出是解题关键． 7. 的值是（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了小数和整数的乘方，关键知道负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．先对指数相同的两个数进行相乘求出结果，再算乘方来进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 8. 嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，☆为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，○为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求作的角． 下列说法不正确的是（　　） A. ☆表示任意长 B. n与☆的长相等 C. ○与☆的长度相等 D. ○与的长度相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作图方法即可得解，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解此题的关键． 【详解】解：由作一个角等于已知角的作图方法可知， ☆表示任意长，与☆的长相等，○与的长度相等， 所以A，B，D选项正确，C选项不正确． 故选：C． 9. 平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 10. 规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 11. 如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（　　） A. 15粒 B. 18粒 C. 20粒 D. 31粒 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出6个礼包盒一共有多少粒糖果；然后根据琳琳送给小芬的糖果数量是小红的2倍，可得琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数；最后分别用6个礼包盒一共有糖果的总量减去每盒糖果的数量，求出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是多少，即可判断出琳琳自己留下的这盒有糖果多少粒，据此解答即可； 此题主要考查了推理与论证问题的应用，要熟练掌握，判断出琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是3的倍数是解答此题的关键所在． 【详解】6个礼包盒一共有糖果：（粒）， （1）（粒），因为，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是19粒； （2）（粒），因为，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是16粒； （3）（粒），因为，所以琳琳送给小芬和小红的糖果的总量是99粒，因为（粒），（粒）所以小芬的糖果数量是66粒，小红的糖果数量是33粒，所以琳琳自己留下的这盒糖果是20粒； （4）（粒），因为，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是18粒； （5）（粒），因为，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是15粒； （6）（粒），因为，所以琳琳自己留下的这盒糖果不是31粒； 综上，可得琳琳自己留下的这盒有糖果20粒． 故选：C． 12. 电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字的规律探究．先写出前几步的线段长度，然后推导出一般性规律是解题的关键． 由题意知，，则；第一步跳蚤从到，；；第二步跳蚤从到，；；第三步跳蚤从到，；；第四步跳蚤从到，；；第五步跳蚤从到，；；第六步跳蚤从到，；；第七步跳蚤从到，；……可知每6步循环一次，由，可知第2023次落点与重合，即与之间的距离为与之间的距离，由与在上，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，则； 第一步跳蚤从到，；； 第二步跳蚤从到，；； 第三步跳蚤从到，；； 第四步跳蚤从到，；； 第五步跳蚤从到，；； 第六步跳蚤从到，；； 第七步跳蚤从到，； …… ∴每6步循环一次， ∵， ∴第次落点与重合，即与之间的距离为与之间的距离， ∵与在上， ∴， 故选：B． 二、填空题（共4小题、每题3分、共12分） 13. 如果的值为12，则的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整理可得，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：的值为12， ， ， 故答案为：7． 14. 若的最小值为3，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据代数式的最小值，得到关于的方程，求出的值即可． 【详解】 表示数轴上到与到 的距离之和， 且其最小值为3， 当介于与之间时， 与的距离为3，即 若，解得； 若，解得 故答案为：-2或． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 15. 如图，两个直角和有公共顶点，下列结论：①；②的平分线与的平分线是同一条射线；③若平分，则平分；④，其中正确的是_____．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系和角平分线的定义，逐一进行计算即可判断求解，利用角的和差关系熟练进行角的计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴的平分线与的平分线是同一条射线，故正确； ∵，平分， ∴， 则 ， ∴平分，故正确； 只有当，分别为和的平分线时，，故错误； ∴正确的有． 故答案为：． 16. 有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查数字类规律，找到规律是解题的关键．分别计算出，找到规律，即可求解． 【详解】解：依题意，，，，……， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题、共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则，根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，小明错将“”看成“”，算得结果， （1）求的表达式； （2）求正确结果的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，能根据题意正确列出式子并代入是解题关键． （1）由得，将代入根据整式的加、减法计算可得； （2）将代入，根据整式的乘法代入计算可得． 【小问1详解】 解：∵， ， 即； 【小问2详解】 解：， ． 19. 7月9日，滴滴公布了新的滴滴快车计价规则，车费由“总里程费总时长费”两部分构成，不同时段收费标准不同，具体收费标准如下表，如果车费不足起步价，则按起步价收费． 时间段 里程费（元/千米） 时长费（元/分钟） 起步价（元） （1）小明早上乘坐滴滴快车上学，行车里程6千米，行车时间10分钟，则应付车费多少元？ （2）小云放学回家，行车里程2千米，行车时间12分钟，则应付车费多少元？ （3）下晚自习后小明乘坐滴滴快车回家，在学校上车，由于堵车，平均速度是a千米/小时，15分钟后走另外一条路回家，平均速度是b千米/小时，5分钟后到家，则他应付车费多少元？（用a，b表示） 【答案】（1）应付车费元 （2）应付车费14元 （3）应付车费为元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，熟练掌握滴滴快车的收费标准． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）先根据收费标准求出结果，然后再与起步价进行比较即可； （3）根据收费标准列出代数式即可． 【小问1详解】 解：（元）， 答：应付车费元； 【小问2详解】 解：（元）， 又∵， 应付车费14元， 答：应付车费14元； 【小问3详解】 解：元， 答：应付车费为元． 20. 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． （1）第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； （2）第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ （3）第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ （4）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】（1）10；4 （2）第个图案中有正三角形个．六边形有个 （3）三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4） 解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【解析】 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【小问1详解】 解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； 【小问2详解】 解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． 【小问3详解】 解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 【小问4详解】 略 21. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” （1）【概念理解】直接写出结果：_______________． （2）关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 （3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． （4）计算：． 【答案】（1） （2）①④ （3）， （4） 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【小问1详解】 解：由题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； 【小问3详解】 解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； 【小问4详解】 解： = = = = = =． 22. 【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【解析】 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 23. 在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． （1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即）． ①______； ②比较，，的大小（用“＜”连接）； （2）数轴上的点M满足，求M； （3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 【答案】（1）①；② （2）或 （3）98 【解析】 【分析】（1）①先求出点 表示的数为，再根据特征值的定义进行求解即可；②分别求出三个特征值即可得到答案； （2）先求出，再分点M在原点左边和右边两种情况求解即可； （3）根据题意可知是整数，即，分点P在点P左边和右边两种情况求出对应特征值下p的值，由此找到规律求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点表示的数是，点与关于原点对称（即）， ∴， ∴点 表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解： ∵点A表示的数为1， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示的数为或； 【小问3详解】 解：∵ 且为整数， ∴是整数， 当时，即点P为的中点， ∴， 当，点P在之间时，则 ∴， 当点P在点A右边时，则， ∴， ∴，p的值为或2； 同理当，p的值为或； 当，p的值为或； … ∴当（n为大于1的整数），p的值为或； ∴所有满足条件的p的倒数之和为： ， 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数字类的规律探索，倒数，有理数加减简便计算等等，正确理解题意是解题的关键． 24. 如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． （1）若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； （2）如果时，，试探索的长度． 【答案】（1）①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）或 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【小问1详解】 ①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 【小问2详解】 当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量检测 七年级数学（R） 一、选择题（共12小题、每题3分、共36分） 1. 下列各组数相等的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与0.3 D. 与a 2. 下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ） ① ② ③ ④千米 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在算式中的“”，填入运算符号（ ），使得算式的值最大． A. B. C. D. 4. 已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断中，正确的有（　　） ①；②；③；④；⑤的值一定是正数． A. ②③ B. ②③④⑤ C. ①③④ D. ②④⑤ 5. 如图1，点A，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点对应刻度，点对应刻度.则数轴上点所对应的数为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 甲数是乙数的4倍少1，则下列说法：①设乙数为x，甲数为；②设甲数为x，乙数为；③设甲数为x，乙数为；④设甲数为x，乙数为，正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ②④ D. ①④ 7. 的值是（ ） A. 3 B. C. D. 1 8. 嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，☆为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，○为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求作的角． 下列说法不正确的是（　　） A. ☆表示任意长 B. n与☆的长相等 C. ○与☆的长度相等 D. ○与的长度相等 9. 平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果（　　） A. 15粒 B. 18粒 C. 20粒 D. 31粒 12. 电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 二、填空题（共4小题、每题3分、共12分） 13. 如果的值为12，则的值为_____． 14. 若的最小值为3，则的值为______． 15. 如图，两个直角和有公共顶点，下列结论：①；②的平分线与的平分线是同一条射线；③若平分，则平分；④，其中正确的是_____．（填序号） 16. 有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为__________． 三、解答题（共8小题、共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，小明错将“”看成“”，算得结果， （1）求的表达式； （2）求正确结果的表达式． 19. 7月9日，滴滴公布了新的滴滴快车计价规则，车费由“总里程费总时长费”两部分构成，不同时段收费标准不同，具体收费标准如下表，如果车费不足起步价，则按起步价收费． 时间段 里程费（元/千米） 时长费（元/分钟） 起步价（元） （1）小明早上乘坐滴滴快车上学，行车里程6千米，行车时间10分钟，则应付车费多少元？ （2）小云放学回家，行车里程2千米，行车时间12分钟，则应付车费多少元？ （3）下晚自习后小明乘坐滴滴快车回家，在学校上车，由于堵车，平均速度是a千米/小时，15分钟后走另外一条路回家，平均速度是b千米/小时，5分钟后到家，则他应付车费多少元？（用a，b表示） 20. 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． （1）第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； （2）第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ （3）第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ （4）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 21. 【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” （1）【概念理解】直接写出结果：_______________． （2）关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 （3）【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． （4）计算：． 22. 【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 23. 在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． （1）如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即）． ①______； ②比较，，的大小（用“＜”连接）； （2）数轴上的点M满足，求M； （3）数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 24. 如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． （1）若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； （2）如果时，，试探索的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $