6.1 平面向量的概念 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

第六章 平面向量及其应用 第一课时 6.1平面向量的概念 第六章 平面向量及其应用 向量是近代数学中重要和基本概念之一，向量理论具有丰富的 物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象，也是几 何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究 其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算，学 习向量的运算及性质，建立向量的运算体系。在此基础上，用 向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些 问题。 实际背景 向量的概念 向量的运算及其几何意义 向量的加、减运 算及其几何意义 向量的数乘运算 及其几何意义 向量的数量积 及其几何意义 平面向量的基本定理及坐 标表示 平面向量的应用 本章知识结构 目标任务 教学准备 学习重点 水平一：通过本节的学习，知道平面向量的实际背景 水平二：会通过对位移、速度、力、等量的分析，抽象出平面向量 概念 水平三：能理解零向量和单位向量含义，会用几何方法和代数方法 表示平面向量 水平四：能深入理解教平学面目向标量和两个相等向量与共线向量本质特征 平面向量的概念 平面向量的几何表示 相等向量与共线向量 学习难点 建立向量的概念，深刻理解平面向量的概念和基本要素 6 . 1 平面向量的概念 6.1.1向量的实际背景与概念 观察下列各“量”的共同特点 位移：小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地 大小：15 n mile 方向：东南方向 速度：小船航行的速度是10 n mile/h,速度方向是东南方向 大小：10 n mile/h 方向：东南方向 重力：物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1） 物体质量越大，它受到的重力也越大。 大小：G=mg 方向：竖直向下 浮力：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2） 物体寖在液体的体积越大，它受到的浮力也越大。 大小：F=kV 方向：竖直向上 共同特点：“既有大小 ” ，“又有方向” 的量 A B 6.1.1向量的实际背景与概念 我们知道，从一支笔、一棵树、一本书、一个苹果……中，可以抽象 出只有大小的数量“1”。 类似地我们可以对位移、速度、重力、浮力……这些量进行抽象，形 成一种新的“量”——向量 向量的定义：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量 把只有大小没有方向的量称为数量。例如，年龄、身高、长度、面积、 体积、质量等都是数量。 物理学中常称向量为矢量。数量是标量 如何表示一个向量呢？ 向量：也可以用几何表示 例如，小船的位移 起点A 终点B，用连接A,B两点的线段长度表示位移的 大小，在终点B处加上箭头表示位移的方向。 可以用带有箭头的线段来表示向量。 线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小。 箭头的指向表示向量的方向。这个线段叫有向线段 6.1.2向量的几何表示 数量：可以用实 数表示，例如，1, 2， -3.2， 2 …… 几何表示： 实数a 数轴上点A 1-1对应 A B 有向线段的三要素：起点，方向，长度。 6.1.2向量的几何表示 有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B 为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫有向线段。在 有向线段终 点 画一个箭头（代表方向），以A为起点，B为终点的有向 线段记为 AB A B |AB | 线段AB 的长度也叫有向线段  的长度，记为  AB 6.1.2向量的几何表示 向量的几何表示 表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向  向量可以用有向线段 AB 来表示，我们把这个向量记为向量 AB   有向线段的长度 | AB |   的长度（或称模）记为 | AB |   向量可以用小写字母（印刷时用黑体）a, b, c书写时用a 特殊向量 零向量：长度为0的向量叫零向量.记为0 单位向量：长度为1 的向量叫单位向量。 AB 向量的字母表示   向量 AB 的大小称为向量  AB  6.1.2 向量的几何表示 例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B,C两地的 位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B,C两地的 实际距离（精确到1 km）. 解：    AB 表示 A 地至 B 地的位移，且|AB|      AC 表示 A 地至C 地的位移，且| AC|  向量与向量之间有这样的关系呢？ 6.1.3 相等向量与共线向量 相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量（无论起点在哪）。 任意两个相等的非零向量，都可以用同一个有向线段表示。 向量 a 与 b 相等 记为 a = b 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 向量a与b平行，记为 a / / b 规定零向量与任意向量平行 0 / / a 在 l 上取一点 O ，则可在 l 上分别作出 OA  a , OB  b, OC  c 这就是说，任意一组平行向量，都可以平移到同一直线上，因此， 平行向量也叫共线向量。 共线向量：平行向量也叫共线向量。 6.1.3 相等向量与共线向量 如图， a, b, c 是一组平行向量，任意作一条与 a平行的直 线 l 6.1.3相等向量与共线向量 例2 如图6.1-8，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心。 （1）写出图中的共线向量； OA, OB, OC （2）分别写出图中与       相等的向量。 解（1）        OA, CB, DO, FE 是共线向量         OB, DC, EO, AF 是共线向量         OC, AB, ED, FO 是共线向量 OC = AB=ED=FO         OA=CB=DO （2）      OB=DC=EO       课堂练习 下列量中那些是向量？ 悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度． 答案：拉力，摩擦力，加速度． 画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为 18N 的力和一个水 平向左、大小为 28 N 的力．（用 1 cm长表示 10 N） 课堂练习 3.指出图中各向量的长度．（规定小方格的边长为 0.5） 答案： |        AB | 2 ，| CD | 2.5 ，| EF | 3 ，| GH | 2 2 课堂练习 4．将向量用具有同一起点 O 的有向线段表示．      （1）当OM 与ON 是相等向量时，判断终点 M 与 N 的位置关系； OM ON OM    1 时，求向量   的长度， MN     并判断 MN 的方向与ON 的方向的关系． 答案：（1）点 M 与点 N 重合            （2）当OM 与ON 方向相同时，| MN | 0.5 ， MN 与ON 方向相反； 当    与   方向相反时，|   | 1.5 ，   与   方向相同 ； OM ON MN MN ON 课堂练习 5．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√ ”，错误的打“× ”），并 说明理由. 若a 与b 共线， b 与c 共线，则 a 与c 共线（ ） a  b 是| a || b | 的必要不充分条件（ ） 非零向量 a 与非零向量 b 方向相同是 a ∥ b 的充分不必要条件（ 答案：（1）× ；（2）× ；（3）√ 小结 具体实例 抽 象 向量的概念 向量的几何表示 特殊向量 零向量 单位向量 向量关系 共线向量 相等向量 平行向量 有向线段 AB   a B A 作业 人教A版必修第二册 5页习题6.1 1, 2, 3, 4 $$