1.3乘法公式（第4课时完全平方公式的应用） 同步分层练习-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

＝. 3　乘法公式 第4课时　完全平方公式的应用 A.基础夯实 1.下列对于952变形正确的是 （　C　） A.952＝（90＋5）2＝902＋52 B.952＝95×95＝（100＋5）（100－5） C.952＝（100－5）2＝1002－2×100×5＋52 D.952＝（90＋5）2＝902＋90×5＋52 2.下列乘法公式的运用中，正确的是 （　C　） A.（2x－3）（2x＋3）＝2x2－9 B.（－3x－1）2＝9x2－3x＋1 C.（1－x）（－1＋x）＝－x2＋2x－1 D.（－x－1）（－1＋x）＝x2－1 3.若a＋b＝10，a2＋b2＝84，则ab等于 （　B　） A.7 B.8 C.9 D.10 4.若m，n是长方形的长和宽，且（m＋n）2＝9，（m－n）2＝1，则这个长方形的面积是 （　B　） A.1 B.2 C.3 D.6 5.若关于x的二次三项式x2＋2mx＋36是完全平方式，则m的值为　±6　. 6.若m－＝5，则m2＋的值为　27　. 7.利用乘法公式计算：1022. 解：1022＝（100＋2）2 ＝10 000＋4＋400 ＝10 404. 8.计算：＋. 解：原式＝4x2－6xy＋y2＋9x2＋4xy＋y2 ＝13x2－2xy＋y2. B.能力提升 9.已知（x－y）2＝4，（x＋y）2＝64，求下列代数式的值： 解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①， （x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②. （1）x2＋y2； （1）①＋②得x2＋y2＝34. （2）xy. （2）②－①得4xy＝60，即xy＝15. 10.已知a＋b＝1，ab＝－12，求下列各式的值： （1）a2＋b2； 解：因为a＋b＝1，ab＝－12， 所以原式＝（a＋b）2－2ab＝1＋24＝25. （2）（a－b）2. 解：因为a＋b＝1，ab＝－12， 所以原式＝（a＋b）2－4ab＝1＋48＝49. C.拓展思维 11.（2024·南山区期末）阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.如图1可以得到（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系是　　　　　　　　； 材料二：换元法是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换.对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元），可以化繁为简，从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足（60－x）（x－40）＝30，求（60－x）2＋（x－40）2的值. 解：设（60－x）＝a，（x－40）＝b，则（60－x）（x－40）＝ab＝30，a＋b＝（60－x）＋（x－40）＝　　　　， 所以（60－x）2＋（x－40）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝　　　　. 问题： （1）补全材料一、材料二中横线处； 解：（1）根据正方形的面积可得（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab； a＋b＝（60－x）＋（x－40）＝60－40＝20； 直接代入可得（60－x）2＋（x－40）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝340. 故答案为（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab，20，340. （2）若x满足（2 024－x）2＋（x－2 023）2＝2 025，求（2 024－x）（x－2 023）的值； 解：（2）设（2 024－x）＝a，（x－2 023）＝b， 则（2 024－x）2＋（x－2 023）2＝a2＋b2＝2 025， 又因为a＋b＝（2 024－x）＋（x－2 023）＝1， 所以（2 024－x）（x－2 023）＝ab＝[（a＋b）2－（a2＋b2）]＝＝－1 012. （3）如图2，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝x，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和. 解：（3）由题意可知，AE＝AD－DE＝10－x，AF＝AB－BF＝14－x， S长方形AFGE＝AF·AE＝（14－x）（10－x）＝60. 设14－x＝a，10－x＝b， 1.C　2.C　3.B　4.B　 5.±6　6.27 7.解：1022＝（100＋2）2 ＝10 000＋4＋400 ＝10 404. 8.解：原式＝4x2－6xy＋y2＋9x2＋4xy＋y2 ＝13x2－2xy＋y2. 9.解：（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝4①， （x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝64②. （1）①＋②得x2＋y2＝34. （2）②－①得4xy＝60，即xy＝15. 10.解：（1）因为a＋b＝1，ab＝－12， 所以原式＝（a＋b）2－2ab＝1＋24＝25. （2）因为a＋b＝1，ab＝－12， 所以原式＝（a＋b）2－4ab＝1＋48＝49. 11.解：（1）根据正方形的面积可得（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab； a＋b＝（60－x）＋（x－40）＝60－40＝20； 直接代入可得（60－x）2＋（x－40）2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝340. 故答案为（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab，20，340. （2）设（2 024－x）＝a，（x－2 023）＝b，则（2 024－x）2＋（x－2 023）2＝a2＋b2＝2 025， 又因为a＋b＝（2 024－x）＋（x－2 023）＝1， 所以（2 024－x）（x－2 023）＝ab＝[（a＋b）2－（a2＋b2）]＝＝－1 012. （3）由题意可知，AE＝AD－DE＝10－x，AF＝AB－BF＝14－x， S长方形AFGE＝AF·AE＝（14－x）（10－x）＝60. 设14－x＝a，10－x＝b， 则（14－x）（10－x）＝ab＝60， 又因为a－b＝（14－x）－（10－x）＝4， 所以正方形AEMN和正方形APQF的面积之和为（10－x）2＋（14－x）2＝a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝42＋2×60＝136. 学科网（北京）股份有限公司 $$