福建省莆田市莆田第九中学2024-2025学年高二上学期期中阶段性考试数学试卷

莆田第九中学2024-2025学年第一学期 高二年段数学学科期中阶段性考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 8 C. D. 1 2. 已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 5. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 圆与圆的公切线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为 C. 存在点使 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线被圆截得的弦长为，则_______. 13. 过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． 14. 如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 16. 已知圆C过三点． （1）求圆C的方程； （2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点， （1）证明：直线平面； （2）求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． （3）求点N到平面OCD的距离． 18. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得点为的中点，连接，如图乙. （1）求证：； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若不存在，说明理由；若存在，求出的长度. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点作直线，交轨迹于，两点，，不在y轴上． （i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值； （ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程． 莆田第九中学2024-2025学年第一学期 高二年段数学学科期中阶段性考试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 【17题答案】 【答案】（1） 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由为的中点，为的中点，得， 即， 设平面的法向量为，则，取，得， 则平面，所以直线平面． （2）； （3）． 【18题答案】 【答案】（1） 取线段的中点，连接， 在中，，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ； （2）存在， 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由题可得，设，， 联立，消得，， 则，， 所以直线OP的方程为，直线CQ的方程为， 联立，解得， 则， 所以， 所以点N在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $