专题十 几何证明 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题十　几何证明 　　 几何证明题是考查学生综合能力的一种题型，几何证明能培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力.本专题包括对三角形全等的判定与性质，轴对称的性质进行相关几何证明. 类型一　与三角形全等有关的证明 1.点B，E，C，F在同一条直线上，AC＝DF，AC∥DF，AB∥DE，求证：BE＝CF. 证明：因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠F. 因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF（AAS）. 所以BC＝EF. 所以BC－EC＝EF－EC. 所以BE＝CF. 2.（2024春·顺德区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上. （1）求证：△AEC≌△BED； 解：证明：因为∠1＝∠2， 所以∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED， 所以∠AEC＝∠BED. 在△AEC和△BED中， 所以△AEC≌△BED（ASA）. （2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数. 解：因为△AEC≌△BED，所以ED＝EC，∠ACE＝∠BDE，所以∠ECD＝∠EDC. 因为∠1＝40°，所以∠ECD＝∠EDC＝70°，所以∠BDE＝70°. 3.如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：∠C＝∠D. 证明：因为AE＝BF，所以AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE. 因为AC∥BD， 所以∠CAF＝∠DBE. 在△ACF和△BDE中， 所以△ACF≌△BDE（SAS）， 所以∠C＝∠D. 4.（2024春·揭阳月考）如图，图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架如图2所示，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，求证：∠C＝∠D. 证明：因为∠BAD＝∠EAC， 所以∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC， 所以∠BAC＝∠EAD. 在△BAC和△EAD中， 所以△BAC≌△EAD（SAS）， 所以∠C＝∠D. 5.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC. （1）求证：△ABE≌△ACD； 证明：因为△ABC与△AED均为等腰直角三角形， 所以AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°， 所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 在△ABE与△ACD中， 所以△ABE≌△ACD（SAS）. （2）求证：DC⊥BE. 解：因为△ABE≌△ACD，所以∠ACD＝∠ABE＝45°. 又因为∠ACB＝45°，所以∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， 所以DC⊥BE. 6.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E. （1）求证：△CEB≌△ADC； 证明：因为AD⊥CE，BE⊥CE，所以∠ADC＝∠E＝90°. 所以∠BCE＋∠CBE＝90°.因为∠ACB＝90°， 所以∠ACD＋∠BCE＝90°，所以∠ACD＝∠CBE. 在△ADC和△CEB中， 所以△ADC≌△CEB（AAS）. （2）当AD＝3，BE＝1时，求DE的长. 解：因为△ADC≌△CEB，所以BE＝CD＝1，AD＝EC＝3，所以DE＝CE－CD＝3－1＝2. 7.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE交AD于点F，BF＝AC，DF＝DC. （1）求证：△ADC≌△BDF； 证明：因为AD⊥BC， 所以∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， 所以Rt△ADC≌Rt△BDF（HL）. （2）求证：BE⊥AC. 解：因为Rt△ADC≌Rt△BDF， 所以∠C＝∠BFD. 因为∠DBF＋∠BFD＝90°， 所以∠C＋∠DBF＝90°， 所以∠CEB＝90°， 所以BE⊥AC. 类型二　与轴对称有关的几何证明 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，BD＝CD'. （1）求证：△ABD≌△ACD'； 证明：因为以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，所以AD＝AD'. 在△ABD和△ACD'中， 所以△ABD≌△ACD'（SSS）. （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数. 解：因为△ABD≌△ACD'，所以∠BAD＝∠CAD'， 所以∠BAC＝∠DAD'＝120°. 因为以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E， 所以∠DAE＝∠D'AE＝∠DAD'＝60°. 9.如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC交AC于点F，AE⊥BF交BF的延长线于点E，AE，BC的延长线交于点M. （1）求证：AB＝BM； 证明：由题意得BE⊥AM，所以∠AEB＝∠MEB＝90°. 因为BF平分∠ABC，所以∠ABE＝∠MBE. 在△AEB和△MEB中， 所以△AEB≌△MEB（ASA），所以AB＝BM. （2）求证：BF＝2AE. 解：因为∠FBC＋∠BFC＝90°，∠CAM＋∠AFE＝90°，∠BFC＝∠AFE，所以∠FBC＝∠CAM. 在△BCF和△ACM中， 所以△BCF≌△ACM（ASA），所以BF＝AM. 因为△AEB≌△MEB，所以AE＝ME，所以BF＝AM＝AE＋ME＝2AE. 10.如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点（点D与点B，C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE. （1）求证：CE平分∠ACF； 证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°.因为∠DAE＝60°，所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠ABD＝∠ACE. 因为∠ABD＝∠ACB＝60°，所以∠ACE＝60°，∠ACF＝120°，所以CE平分∠ACF. （2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长. 解：因为△ABD≌△ACE，所以CE＝BD. 因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC＝2，专题十　几何证明 1.证明：因为AC∥DF， 所以∠ACB＝∠F. 因为AB∥DE， 所以∠B＝∠DEF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF（AAS）. 所以BC＝EF. 所以BC－EC＝EF－EC. 所以BE＝CF. 2.（1）证明：因为∠1＝∠2， 所以∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED， 所以∠AEC＝∠BED. 在△AEC和△BED中， 所以△AEC≌△BED（ASA）. （2）解：因为△AEC≌△BED， 所以ED＝EC，∠ACE＝∠BDE， 所以∠ECD＝∠EDC. 因为∠1＝40°， 所以∠ECD＝∠EDC＝70°， 所以∠BDE＝70°. 3.证明：因为AE＝BF， 所以AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE. 因为AC∥BD， 所以∠CAF＝∠DBE. 在△ACF和△BDE中， 所以△ACF≌△BDE（SAS）， 所以∠C＝∠D. 4.证明：因为∠BAD＝∠EAC， 所以∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC， 所以∠BAC＝∠EAD. 在△BAC和△EAD中， 所以△BAC≌△EAD（SAS）， 所以∠C＝∠D. 5.证明：（1）因为△ABC与△AED均为等腰直角三角形， 所以AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°， 所以∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD. 在△ABE与△ACD中， 所以△ABE≌△ACD（SAS）. （2）因为△ABE≌△ACD，所以∠ACD＝∠ABE＝45°. 又因为∠ACB＝45°，所以∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， 所以DC⊥BE. 6.（1）证明：因为AD⊥CE，BE⊥CE，所以∠ADC＝∠E＝90°. 所以∠BCE＋∠CBE＝90°.因为∠ACB＝90°， 所以∠ACD＋∠BCE＝90°，所以∠ACD＝∠CBE. 在△ADC和△CEB中， 所以△ADC≌△CEB（AAS）. （2）解：因为△ADC≌△CEB，所以BE＝CD＝1，AD＝EC＝3， 所以DE＝CE－CD＝3－1＝2. 7.证明：（1）因为AD⊥BC， 所以∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， 所以Rt△ADC≌Rt△BDF（HL）. （2）因为Rt△ADC≌Rt△BDF， 所以∠C＝∠BFD. 因为∠DBF＋∠BFD＝90°， 所以∠C＋∠DBF＝90°， 所以∠CEB＝90°， 所以BE⊥AC. 8.（1）证明：因为以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，所以AD＝AD'. 在△ABD和△ACD'中， 所以△ABD≌△ACD'（SSS）. （2）解：因为△ABD≌△ACD'，所以∠BAD＝∠CAD'， 所以∠BAC＝∠DAD'＝120°. 因为以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E， 所以∠DAE＝∠D'AE＝∠DAD'＝60°. 9.证明：（1）由题意得BE⊥AM，所以∠AEB＝∠MEB＝90°. 因为BF平分∠ABC，所以∠ABE＝∠MBE. 在△AEB和△MEB中， 所以△AEB≌△MEB（ASA），所以AB＝BM. （2）因为∠FBC＋∠BFC＝90°，∠CAM＋∠AFE＝90°， ∠BFC＝∠AFE，所以∠FBC＝∠CAM. 在△BCF和△ACM中， 所以△BCF≌△ACM（ASA），所以BF＝AM. 因为△AEB≌△MEB，所以AE＝ME， 所以BF＝AM＝AE＋ME＝2AE. 10.（1）证明：因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝AC，∠BAC＝60°， 因为∠DAE＝60°， 所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE（SAS）， 所以∠ABD＝∠ACE. 因为∠ABD＝∠ACB＝60°， 所以∠ACE＝60°，∠ACF＝120°， 所以CE平分∠ACF. （2）解：因为△ABD≌△ACE， 所以CE＝BD. 因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC＝2， 所以四边形ADCE的周长＝CE＋DC＋AD＋AE＝BD＋DC＋2AD＝2＋2AD， 根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD的值最小，四边形ADCE的周长取最小值， 因为AB＝AC， 所以BD＝BC＝×2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$