专题二 几何计算 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题二　几何计算 　　 本专题包括直线相交时有关角的计算；两直线平行时拐角的计算；利用三角形中线的性质计算图形的面积和线段的长度；用全等三角形对应边、对应角相等的性质进行角和线段的计算；用轴对称的性质计算线段的长度和角的度数. 类型一　直线相交计算角的问题 1.如图，直线AB和直线CD相交于点O，若∠1＋∠2＝90°，求∠AOD的度数. 解：因为∠1与∠2是对顶角， 所以∠1＝∠2. 因为∠1＋∠2＝90°， 所以∠1＝∠2＝45°， 所以∠AOD＝180°－∠1＝135°. 2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE平分∠AOD，OF⊥AB，∠BOD＝41°. （1）求∠COE的度数； 解：（1）因为∠BOD＝41°， 所以∠AOD＝180°－∠BOD＝139°. 因为OE平分∠AOD， 所以∠DOE＝∠AOE＝∠AOD＝69.5°， 所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－69.5°＝110.5°. （2）求∠EOF的度数. 解：（2）因为OF⊥AB， 所以∠AOF＝90°. 因为∠AOE＝69.5°， 所以∠EOF＝90°－∠AOE＝90°－69.5°＝20.5°. 类型二　直线平行计算角的问题 3.如图，AB∥CD，AB∥EF，AF平分∠BAE，∠DAE＝10°，∠ADC＝120°.求∠AFE的度数. 解：因为AB∥CD，∠ADC＝120°， 所以∠DAB＝180°－∠ADC＝60°. 因为∠DAE＝10°， 所以∠EAB＝∠DAB－∠DAE＝50°. 因为AF平分∠BAE， 所以∠FAB＝∠EAB＝25°. 因为AB∥EF， 所以∠AFE＝∠FAB＝25°， 即∠AFE的度数为25°. 4.如图，AB∥CD，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠ABC＝35°，求∠EDC的度数. 解：如图，过点E作EK∥CD. 因为AB∥CD，所以EK∥AB，所以∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°. 因为∠BAE＝∠BCD，所以∠AEK＝∠ABC＝35°. 因为AE⊥DE，所以∠DEK＝90°－35°＝55°，所以∠CDE＝125°. 5.如图，已知AB∥CD，∠1＝54°，点E在直线CD上，EF平分∠AED，求∠2的度数. 解：因为AB∥CD，∠1＝54°， 所以∠AEC＝∠1＝54°， 所以∠AED＝180°－∠AEC＝180°－54°＝126°. 因为EF平分∠AED， 所以∠GED＝∠AED＝63°. 因为AB∥CD， 所以∠2＝∠GED＝63°. 6.如图，AF分别与BD，CE交于点G，H，∠1＝55°.若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度数. 解：因为∠1＋∠BGF＝180°，∠1＝55°， 所以∠BGF＝180°－∠1＝180°－55°＝125°. 因为∠A＝∠F，所以AC∥DF，所以∠C＝∠CEF. 因为∠C＝∠D，所以∠CEF＝∠D，所以CE∥BD， 所以∠2＝∠BGF＝125°. 类型三　三角形中线计算面积和线段长度的问题 7.如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，AC边上的高为BG，已知AF＝6，BC＝10，BG＝5. （1）求△ABC的面积； 解：（1）△ABC的面积为BC·AF＝×10×6＝30. （2）求AC的长； 解：（2）因为△ABC的面积为AC·BG＝30，BG＝5， 所以AC＝12. （3）△ABD和△ACD的面积有何关系？ 解：（3）因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD. 因为△ABC的边BC上的高为AF，所以S△ABD＝BD·AF＝CD·AF＝S△ACD，即△ABD和△ACD的面积相等. 8.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.求： （1）AD的长； 解：（1）因为∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，所以AB·AC＝BC·AD. 因为AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm， 所以AD＝4.8 cm，即AD的长为4.8 cm. （2）△ABE的面积； 解：（2）因为△ABC是直角三角形，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm， 所以S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24（cm2）. 又因为AE是边BC的中线，所以BE＝CE， 所以S△ABE＝S△ACE，所以S△ABE＝S△ABC＝×24＝12（cm2），即△ABE的面积是12 cm2. （3）△ACE和△ABE的周长的差. 解：（3）因为AE为BC边上的中线，所以BE＝CE， 所以△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－（AB＋BE＋AE）＝AC－AB＝8－6＝2（cm）， 即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm. 类型四　利用三角形全等计算线段长度的问题 9.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，且AB＝6 cm，求△DEB的周长. 解：因为DE⊥AB，所以∠C＝∠AED＝90°. 因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠EAD. 在△ACD和△AED中， 所以△ACD≌△AED（AAS），所以AC＝AE，CD＝DE，所以BD＋DE＝BD＋CD＝BC＝AC＝AE，BD＋DE＋BE＝AE＋BE＝AB＝6 cm，所以△DEB的周长为6 cm. 10.如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，满足CD＝BA，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G. （1）求证：△ABC≌△DCE； 解：证明：因为CE∥AB，所以∠B＝∠ECD. 在△ABC和△DCE中，所以△ABC≌△DCE（SAS）. （2）若BD＝12，AB＝2CE，求BC的长. 解：因为△ABC≌△DCE，所以AB＝CD＝2CE＝2BC， 所以BD＝BC＋CD＝BC＋2BC＝12，所以BC＝4. 类型五　轴对称计算角的度数和线段长度的问题 11.如图，在△ABC中，将∠ACB沿直线MN折叠，使点C与点B重合，连接BM. （1）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠ABM的度数； 解：（1）因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∠A＝80°，∠C＝40°， 所以∠ABC＝60°. 由折叠知，∠MBN＝∠C＝40°， 所以∠ABM＝60°－40°＝20°. （2）若AB＝5，AC＝8，求△ABM的周长. 解：（2）由折叠知，MB＝MC， 所以△ABM的周长是AB＋AM＋BM＝AB＋AC＝13. 12.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°. （1）若点B到直线l的距离为4，则B，E两点间的距离为　8　； 解：（1）如图，连接BE，BE与l交于点G. 因为△ABC与△DEF关于直线l对称，点B到直线l的距离为4， 所以BG＝EG＝4. 所以B，E两点间的距离为4＋4＝8， 故答案为8. （2）求∠E的度数. （2）因为△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°， 所以∠D＝∠A＝78°， 所以∠E＝180°－∠D－∠F＝180°－78°－48°＝54°专题二　几何计算 1.解：因为∠1与∠2是对顶角， 所以∠1＝∠2. 因为∠1＋∠2＝90°， 所以∠1＝∠2＝45°， 所以∠AOD＝180°－∠1＝135°. 2.解：（1）因为∠BOD＝41°， 所以∠AOD＝180°－∠BOD＝139°. 因为OE平分∠AOD， 所以∠DOE＝∠AOE＝∠AOD＝69.5°， 所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－69.5°＝110.5°. （2）因为OF⊥AB， 所以∠AOF＝90°. 因为∠AOE＝69.5°， 所以∠EOF＝90°－∠AOE＝90°－69.5°＝20.5°. 3.解：因为AB∥CD，∠ADC＝120°， 所以∠DAB＝180°－∠ADC＝60°. 因为∠DAE＝10°， 所以∠EAB＝∠DAB－∠DAE＝50°. 因为AF平分∠BAE， 所以∠FAB＝∠EAB＝25°. 因为AB∥EF， 所以∠AFE＝∠FAB＝25°， 即∠AFE的度数为25°. 4.解：如图，过点E作EK∥CD. 因为AB∥CD， 所以EK∥AB， 所以∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°. 因为∠BAE＝∠BCD， 所以∠AEK＝∠ABC＝35°. 因为AE⊥DE， 所以∠DEK＝90°－35°＝55°， 所以∠CDE＝125°. 5.解：因为AB∥CD，∠1＝54°， 所以∠AEC＝∠1＝54°， 所以∠AED＝180°－∠AEC＝180°－54°＝126°. 因为EF平分∠AED， 所以∠GED＝∠AED＝63°. 因为AB∥CD， 所以∠2＝∠GED＝63°. 6.解：因为∠1＋∠BGF＝180°，∠1＝55°， 所以∠BGF＝180°－∠1＝180°－55°＝125°. 因为∠A＝∠F，所以AC∥DF，所以∠C＝∠CEF. 因为∠C＝∠D，所以∠CEF＝∠D，所以CE∥BD， 所以∠2＝∠BGF＝125°. 7.解：（1）△ABC的面积为BC·AF＝×10×6＝30. （2）因为△ABC的面积为AC·BG＝30，BG＝5， 所以AC＝12. （3）因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD. 因为△ABC的边BC上的高为AF，所以S△ABD＝BD·AF＝CD·AF＝S△ACD，即△ABD和△ACD的面积相等. 8.解：（1）因为∠BAC＝90°，AD是BC边上的高， 所以AB·AC＝BC·AD. 因为AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm， 所以AD＝4.8 cm，即AD的长为4.8 cm. （2）因为△ABC是直角三角形，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm， 所以S△ABC＝AB·AC＝×6×8＝24（cm2）. 又因为AE是边BC的中线，所以BE＝CE， 所以S△ABE＝S△ACE，所以S△ABE＝S△ABC＝×24＝12（cm2），即△ABE的面积是12 cm2. （3）因为AE为BC边上的中线，所以BE＝CE， 所以△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－（AB＋BE＋AE）＝AC－AB＝8－6＝2（cm）， 即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm. 9.解：因为DE⊥AB，所以∠C＝∠AED＝90°. 因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠EAD. 在△ACD和△AED中， 所以△ACD≌△AED（AAS），所以AC＝AE，CD＝DE， 所以BD＋DE＝BD＋CD＝BC＝AC＝AE， BD＋DE＋BE＝AE＋BE＝AB＝6 cm， 所以△DEB的周长为6 cm. 10.（1）证明：因为CE∥AB， 所以∠B＝∠ECD. 在△ABC和△DCE中， 所以△ABC≌△DCE（SAS）. （2）解：因为△ABC≌△DCE， 所以AB＝CD＝2CE＝2BC， 所以BD＝BC＋CD＝BC＋2BC＝12， 所以BC＝4. 11.解：（1）因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∠A＝80°，∠C＝40°， 所以∠ABC＝60°. 由折叠知，∠MBN＝∠C＝40°， 所以∠ABM＝60°－40°＝20°. （2）由折叠知，MB＝MC， 所以△ABM的周长是AB＋AM＋BM＝AB＋AC＝13. 12.解：（1）如图，连接BE，BE与l交于点G. 因为△ABC与△DEF关于直线l对称，点B到直线l的距离为4， 所以BG＝EG＝4. 所以B，E两点间的距离为4＋4＝8， 故答案为8. （2）因为△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°， 所以∠D＝∠A＝78°， 所以∠E＝180°－∠D－∠F＝180°－78°－48°＝54°. . 学科网（北京）股份有限公司 $$