专题八 方程思想 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题八　方程思想 　　 通过题目中包含的数量关系，把未知量建立相等的关系而进行求解的思维方法叫做方程思想，方程思想首先要明白题目中包含的数量关系，其次是解决好题中未知量的表示方法. 类型一　代数中的方程思想 1.在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y. 利用上面的结论解答下列问题： （1）若4x＝26，求x的值； 解：（1）因为4x＝26，所以22x＝26，所以2x＝6，解得x＝3. （2）若5x＋2－5x＋1＝100，求x的值. 解：（2）因为5x＋2－5x＋1＝100，所以5x＋1×5－5x＋1＝100，所以4×5x＋1＝4×52，所以x＋1＝2，解得x＝1. 2.（2024春·龙华区校级月考）尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； 解：（1）因为3×27m÷9m＝316，所以3×33m÷32m＝316，所以31＋m＝316，所以1＋m＝16，所以m＝15. （2）若26＝a2＝4b，求a＋b的值； 解：（2）因为26＝a2＝4b，所以（23）2＝a2，26＝22b，所以a＝±23＝±8，2b＝6，所以b＝3，所以当a＝8时，a＋b＝8＋3＝11；当a＝－8时，a＋b＝－8＋3＝－5. （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2－4（x2）2n的值. 解：（3）因为x2n＝4，所以（3x3n）2－4（x2）2n＝9（x2n）3－4（x2n）2＝9×43－4×42＝512. 3.数学老师让小明同学心里想一个数m，然后按以下步骤进行计算. （1）若小明同学想的数m＝3，求计算结果； 解：（1）当m＝3时，2×3－8＝－2，－2÷2＝－1，－1－3＝－4. 故计算结果是－4. （2）若小明同学心里想的数是m，其计算结果为59，求m的值； 解：（2）由题意，得－3＝59，解这个方程，得m＝66. （3）小明同学再尝试几次，每次只告知计算结果，数学老师都立刻能说出小明同学心里所想的数.请你用相关数学知识来说明老师用了什么方法. 解：（3）数学老师运用了解方程的方法. 设小明的计算结果为x，则－3＝x，整理，得m－7＝x，所以m＝x＋7. 这样只要小明告诉老师计算结果，老师把他的计算结果加上7就是小明心里想的数. 4.我们规定；若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为x＝，则称该方程为“商解方程”.例如：2＋x＝4的解为x＝2且x＝，则方程2＋x＝4是“商解方程”.请回答下列问题： （1）判断4＋x＝是不是“商解方程”，并说明理由； 解：（1）4＋x＝是“商解方程”. 理由如下：因为方程4＋x＝的解为x＝， 且÷4＝，所以4＋x＝是“商解方程”. （2）若关于x的一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”，求m的值. 解：（2）因为6＋x＝m＋3，所以x＝m－3. 因为一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”， 所以m－3＝，解得m＝. 5.（2024春·南海区校级月考）一种圆环（如图所示），它的外圆直径是8厘米，环宽1厘米. （1）如果把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2），长度为　14　厘米； （2）如果用x个这样的圆环相扣并拉紧，长度为y厘米，则y与x之间的关系式是什么？ 解：由题意得，把这样的3个圆环扣在一起并拉紧，长度为3×8－2×2＝20（厘米）， 把这样的4个圆环扣在一起并拉紧，长度为4×8－2×3＝26（厘米）， 把这样的5个圆环扣在一起并拉紧，长度为5×8－2×4＝32（厘米）， …… 把这样的x个圆环扣在一起并拉紧，长度为8x－2×（x－1）＝（6x＋2）（厘米）， 即y与x之间的关系式是y＝6x＋2. （3）你认为多少个这样的圆环相扣并拉紧，总长度为2 024厘米？为什么？ 解：337个这样的圆环相扣并拉紧，总长度为2 024厘米， 解方程6x＋2＝2 024， 得x＝337， 所以337个这样的圆环相扣并拉紧，总长度为2 024厘米. 类型二　几何中的方程思想 6.（2024春·光明区期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，求较大的锐角的度数. 解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为（3x＋10）°. 由题意，得x＋（3x＋10）＝90，解得x＝20，所以3x＋10＝70，所以较大锐角的度数为70°. 7.如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，已知∠DFC＝3∠B＝123°，∠C＝∠D，求∠BED的度数. 解：因为∠DFC＝3∠B＝123°，所以∠B＝41°. 设∠C＝∠D＝x°，则41＋x＋x＝123， 解得x＝41， 所以∠D＝41°， 所以∠BED＝180°－41°－41°＝98°. 8.如图，已知在△ABC中，DE∥CA，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝84°，求∠EDA的度数. 解：因为∠4是△ABD的一个外角，所以∠4＝∠1＋∠2. 设∠1＝∠2＝x，则∠4＝∠3＝2x. 在△ADC中，∠4＋∠3＋∠DAC＝180°， 所以∠DAC＝180°－4x. 因为∠BAC＝∠1＋∠DAC，所以84°＝x＋180°－4x，所以x＝32°， 所以∠DAC＝180°－4x＝180°－4×32°＝52°. 因为DE∥CA，所以∠EDA＝∠DAC＝52°. 9.如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处.若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数. 解：①如图1，当点Q在平行线AB与CD之间时. 设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x. 因为2∠CFQ＝∠CFP，所以∠PFQ＝∠CFQ＝x. 因为AB∥CD，∠PEF＝75°， 所以75°＋3x＝180°，所以x＝35°，所以∠EFP＝35°. ②如图2，当点Q在CD下方时，设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x， 因为2∠CFQ＝∠CFP，所以∠PFC＝x. 因为AB∥CD，∠AEF＝75°，专题八　方程思想 1.解：（1）因为4x＝26， 所以22x＝26， 所以2x＝6， 解得x＝3. （2）因为5x＋2－5x＋1＝100， 所以5x＋1×5－5x＋1＝100， 所以4×5x＋1＝4×52， 所以x＋1＝2， 解得x＝1. 2.解：（1）因为3×27m÷9m＝316， 所以3×33m÷32m＝316， 所以31＋m＝316， 所以1＋m＝16， 所以m＝15. （2）因为26＝a2＝4b， 所以（23）2＝a2，26＝22b， 所以a＝±23＝±8，2b＝6， 所以b＝3， 所以当a＝8时，a＋b＝8＋3＝11； 当a＝－8时，a＋b＝－8＋3＝－5. （3）因为x2n＝4， 所以（3x3n）2－4（x2）2n ＝9（x2n）3－4（x2n）2 ＝9×43－4×42 ＝512. 3.解：（1）当m＝3时，2×3－8＝－2， －2÷2＝－1，－1－3＝－4. 故计算结果是－4. （2）由题意，得－3＝59， 解这个方程，得m＝66. （3）数学老师运用了解方程的方法. 设小明的计算结果为x，则－3＝x， 整理，得m－7＝x，所以m＝x＋7. 这样只要小明告诉老师计算结果，老师把他的计算结果加上7就是小明心里想的数. 4.解：（1）4＋x＝是“商解方程”. 理由如下：因为方程4＋x＝的解为x＝， 且÷4＝，所以4＋x＝是“商解方程”. （2）因为6＋x＝m＋3，所以x＝m－3. 因为一元一次方程6＋x＝m＋3是“商解方程”， 所以m－3＝，解得m＝. 5.解：（1）14 （2）由题意得，把这样的3个圆环扣在一起并拉紧，长度为3×8－2×2＝20（厘米）， 把这样的4个圆环扣在一起并拉紧，长度为4×8－2×3＝26（厘米）， 把这样的5个圆环扣在一起并拉紧，长度为5×8－2×4＝32（厘米）， …… 把这样的x个圆环扣在一起并拉紧，长度为8x－2×（x－1）＝（6x＋2）（厘米）， 即y与x之间的关系式是y＝6x＋2. （3）337个这样的圆环相扣并拉紧，总长度为2 024厘米， 解方程6x＋2＝2 024， 得x＝337， 所以337个这样的圆环相扣并拉紧，总长度为2 024厘米. 6.解：设另一个锐角为x°， 则一个锐角为（3x＋10）°. 由题意，得x＋（3x＋10）＝90， 解得x＝20， 所以3x＋10＝70， 所以较大锐角的度数为70°. 7.解：因为∠DFC＝3∠B＝123°， 所以∠B＝41°. 设∠C＝∠D＝x°， 则41＋x＋x＝123， 解得x＝41， 所以∠D＝41°， 所以∠BED＝180°－41°－41°＝98°. 8.解：因为∠4是△ABD的一个外角， 所以∠4＝∠1＋∠2. 设∠1＝∠2＝x，则∠4＝∠3＝2x. 在△ADC中，∠4＋∠3＋∠DAC＝180°， 所以∠DAC＝180°－4x. 因为∠BAC＝∠1＋∠DAC， 所以84°＝x＋180°－4x，所以x＝32°， 所以∠DAC＝180°－4x＝180°－4×32°＝52°. 因为DE∥CA， 所以∠EDA＝∠DAC＝52°. 9.解：①如图1，当点Q在平行线AB与CD之间时. 设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x. 因为2∠CFQ＝∠CFP，所以∠PFQ＝∠CFQ＝x. 因为AB∥CD，∠PEF＝75°， 所以75°＋3x＝180°，所以x＝35°，所以∠EFP＝35°. 图1　　图2 ②如图2，当点Q在CD下方时， 设∠PFQ＝x，由折叠可知∠EFP＝x， 因为2∠CFQ＝∠CFP，所以∠PFC＝x. 因为AB∥CD，∠AEF＝75°， 所以75°＋x＋x＝180°，解得x＝63°，所以∠EFP＝63°. 学科网（北京）股份有限公司 $$