专题十一 倍长中线 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题十一　倍长中线 　　 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法，是考查学生综合能力的一种形式，意在培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力. 类型一　倍长中线求值或范围问题 1.在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围. 解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE.因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD.在△ADC和△EDB中， 因为AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，DC＝BD， 所以△ADC≌△EDB（SAS）， 所以AC＝BE＝4.在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE， 所以6－4＜2AD＜6＋4，所以1＜AD＜5. 2.如图，在△ABC中，CM是AB边上的中线，AC＝8，BC＝12，求CM的取值范围. 解：如图，延长CM到点N，使CM＝MN，连接BN. 在△ACM和△BNM中， 所以△ACM≌△BNM（SAS）， 所以AC＝BN＝8. 在△BCN中，BC－BN＜CN＜BC＋BN， 所以12－8＜CN＜12＋8，即4＜CN＜20， 所以4＜2CM＜20，即2＜CM＜10. 类型二　倍长中线的几何证明 3.如图，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，且AE＝EF，求证：AC＝BF. 证明：如图，延长AD到点T，使DT＝AD，连接BT. 在△ADC和△TDB中，因为AD＝TD，∠ADC＝∠TDB，DC＝BD，所以△ADC≌△TDB，所以AC＝BT，∠C＝∠TBD，∠T＝∠DAC.因为EA＝EF，所以∠EAF＝∠EFA.因为∠EFA＝∠BFT，所以∠T＝∠BFT，所以BF＝BT，所以AC＝BF. 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为AB的中点，连接CE，ED，CE⊥DE.试猜想线段BC，CD，AD之间的关系，并予以证明. 解：结论：CD＝AD＋BC.理由：如图，延长CE交DA的延长线于点G. 因为AD∥BC，所以∠G＝∠ECB.因为点E是AB的中点，所以AE＝EB. 在△AEG和△BEC中， 所以△AEG≌△BEC（AAS），所以AG＝BC，EC＝EG. 因为DE⊥CG，所以CD＝GD. 因为DG＝AD＋AG＝AD＋BC，所以CD＝AD＋BC. 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE. （1）求证：△ACD≌△EBD； 证明：因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD. 在△ACD和△EBD中，所以△ACD≌△EBD（SAS）. （2）AC与BE的数量关系是　AC＝BE　，位置关系是　AC∥BE　； 解析：因为△ACD≌△EBD，所以AC＝BE，∠C＝∠EBC，所以AC∥BE.故答案为：AC＝BE；AC∥BE. （3）若∠BAC＝90°，猜想AD与BC的数量关系，并加以证明. 解：BC＝2AD.证明：因为△ACD≌△EBD，所以AC＝BE，∠C＝∠EBC，所以AC∥BE. 因为∠BAC＝90°，所以∠BAC＝∠ABE＝90°. 在△BAC和△ABE中，所以△BAC≌△ABE（SAS），所以BC＝AE＝2AD. 类型三　倍长中线的几何综合问题 6.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程. （1）求证：△ABD≌△ECD. 证明：延长AD到点E，使DE＝AD. 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（　SAS　）. （2）由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是　1＜AD＜7　； （3）如图2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长. 解：如图，延长AD交EC的延长线于点F. 因为AB⊥BC，EF⊥BC，所以∠ABD＝∠FCD＝90°. 在△ABD和△FCD中， 所以△ABD≌△FCD，所以CF＝AB＝2，AD＝DF. 又因为∠FDE＝∠ADE＝90°且ED＝ED，所以△ADE≌△FDE，所以AE＝EF， 因为EF＝CE＋CF＝CE＋AB＝4＋2＝6，所以AE＝6. 7.我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°.回答下列问题： （1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形； 证明：因为∠AOB＝∠COD＝90°， 所以∠AOC＋∠BOD＝360°－∠AOB－∠COD＝360°－90°－90°＝180°， 又因为AO＝OB，OC＝OD， 所以△OAC和△OBD是兄弟三角形. （2）取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP.小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题. ①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE＝OD， ②求证：AC＝2OP. 证明：①如图，延长OP至点E，使PE＝OP， 因为点P为BD的中点，所以BP＝PD. 在△BPE和△DPO中， 所以△BPE≌△DPO（SAS）， 所以BE＝OD. ②因为△BPE≌△DPO， 所以∠E＝∠DOP， 所以BE∥OD， 所以∠EBO＋∠BOD＝180°. 又因为∠BOD＋∠AOC＝180°， 所以∠EBO＝∠AOC. 因为BE＝OD，OD＝OC， 所以BE＝OC. 在△EBO和△COA中， 所以△EBO≌△COA（SAS）， 所以OE＝AC. 又因为OE＝2OP，专题十一　倍长中线 1.解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE.因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD.在△ADC和△EDB中， 因为AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，DC＝BD， 所以△ADC≌△EDB（SAS）， 所以AC＝BE＝4.在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，所以6－4＜2AD＜6＋4，所以1＜AD＜5.第1题图　　　　第2题图 2.解：如图，延长CM到点N，使CM＝MN，连接BN. 在△ACM和△BNM中， 所以△ACM≌△BNM（SAS）， 所以AC＝BN＝8. 在△BCN中，BC－BN＜CN＜BC＋BN， 所以12－8＜CN＜12＋8，即4＜CN＜20， 所以4＜2CM＜20，即2＜CM＜10. 3.证明：如图，延长AD到点T，使DT＝AD，连接BT. 在△ADC和△TDB中， 因为AD＝TD，∠ADC＝∠TDB，DC＝BD， 所以△ADC≌△TDB， 所以AC＝BT，∠C＝∠TBD，∠T＝∠DAC. 因为EA＝EF， 所以∠EAF＝∠EFA. 因为∠EFA＝∠BFT， 所以∠T＝∠BFT， 所以BF＝BT， 所以AC＝BF. 4.解：结论：CD＝AD＋BC. 理由：如图，延长CE交DA的延长线于点G. 因为AD∥BC，所以∠G＝∠ECB. 因为点E是AB的中点， 所以AE＝EB. 在△AEG和△BEC中， 所以△AEG≌△BEC（AAS）， 所以AG＝BC，EC＝EG. 因为DE⊥CG，所以CD＝GD. 因为DG＝AD＋AG＝AD＋BC， 所以CD＝AD＋BC. 5.（1）证明：因为AD是BC边上的中线， 所以BD＝CD. 在△ACD和△EBD中， 所以△ACD≌△EBD（SAS）. （2）解：因为△ACD≌△EBD，所以AC＝BE，∠C＝∠EBC， 所以AC∥BE.故答案为：AC＝BE；AC∥BE. （3）解：BC＝2AD. 证明：因为△ACD≌△EBD， 所以AC＝BE，∠C＝∠EBC，所以AC∥BE. 因为∠BAC＝90°，所以∠BAC＝∠ABE＝90°. 在△BAC和△ABE中， 所以△BAC≌△ABE（SAS），所以BC＝AE＝2AD. 6.解：（1）已作　对顶角相等　CD　SAS （2）1＜AD＜7 （3）如图，延长AD交EC的延长线于点F. 因为AB⊥BC，EF⊥BC， 所以∠ABD＝∠FCD＝90°. 在△ABD和△FCD中， 所以△ABD≌△FCD， 所以CF＝AB＝2，AD＝DF. 又因为∠FDE＝∠ADE＝90°且ED＝ED， 所以△ADE≌△FDE， 所以AE＝EF， 因为EF＝CE＋CF＝CE＋AB＝4＋2＝6， 所以AE＝6. 7.（1）证明：因为∠AOB＝∠COD＝90°， 所以∠AOC＋∠BOD＝360°－∠AOB－∠COD＝360°－90°－90°＝180°， 又因为AO＝OB，OC＝OD， 所以△OAC和△OBD是兄弟三角形. （2）证明：①如图，延长OP至点E，使PE＝OP， 因为点P为BD的中点， 所以BP＝PD. 在△BPE和△DPO中， 所以△BPE≌△DPO（SAS）， 所以BE＝OD. ②因为△BPE≌△DPO， 所以∠E＝∠DOP， 所以BE∥OD， 所以∠EBO＋∠BOD＝180°. 又因为∠BOD＋∠AOC＝180°， 所以∠EBO＝∠AOC. 因为BE＝OD，OD＝OC， 所以BE＝OC. 在△EBO和△COA中， 所以△EBO≌△COA（SAS）， 所以OE＝AC. 又因为OE＝2OP， 所以AC＝2OP. 学科网（北京）股份有限公司 $$