专题十四 将军饮马型问题 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题十四　将军饮马型问题

　　 “将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值.解决这类问题要用到两个基本知识点“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.

类型一　线段和最小问题

1.（2024春·光明区期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，点E，F分别是AD，AB上的动点.若AB＝6，△ABC的面积为12，则BE＋EF的最小值是　4　.

2.（2024春·南海区月考）如图，在等边三角形ABC中，AD为∠BAC的平分线，在AB，CB上分别取点M，N，且AM＝BN＝4，DN＝2，在AD上有一动点P，则PM＋PN的最小值为　8　.

类型二　将军饮马型与三角形周长

3.点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，点A，B到MN的距离不相等，试求一点P，同时满足下面两个条件：

①点P在MN上；

②｜PA－PB｜最大.

 

答案图

解：如图，点P即为所求.

4.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC.若点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是　4　.

5.如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，求CE＋EF的最小值.

解：如图，作点C关于BD的对称点H，过点H作HF⊥BC交BD于点E，交BC于点F，连接CH交BD于点G，则CH⊥BD，CE＝HE.因为BD平分∠ABC，所以点H在线段AB上，∠HBG＝∠CBG.

所以CE＋EF＝HE＋EF≥HF，所以CE＋EF的最小值是HF的长.

在△HBG和△CBG中，所以△HBG≌△CBG（ASA），所以BH＝BC＝8.因为AC＝BC＝8，∠ACB＝4∠A，所以∠A＝∠ABC.

因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以6∠A＝180°，所以∠A＝30°，所以∠ACB＝120°，∠ABC＝30°.

在Rt△BFH中，HF＝BH＝×8＝4，所以CE＋EF的最小值为4.

类型三　将军饮马中的角度与周长

6.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，点P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是　60°　.

7.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是　13　.

8.如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短.下面四种选址方案符合要求的是（　A　）