专题十二 辅助线作法 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题十二　辅助线作法 　　 作辅助线是解决几何题目的一种有效方法，快速找对找准不同题目间的辅助线，更是为解题赢得了时间，可起到事半功倍的作用；通过作辅助线解题能培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力. 类型一　添加平行线 1.如图，AB∥CD，∠ABE＝70°，∠DCE＝144°，求∠BEC的度数. 解：过点E作EF∥CD，如图所示. 因为AB∥CD，所以AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行），所以∠BEF＝∠ABE＝70°（两直线平行，内错角相等）.因为EF∥CD，所以∠CEF＋∠DCE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. 因为∠DCE＝144°，所以∠CEF＝180°－144°＝36°，所以∠BEC＝∠BEF－∠CEF＝70°－36°＝34°. 2.如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直. （1）当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA的度数； 解：如图，过点C作CP∥DE，过点B作BH∥FG. 因为DE∥FG，所以PC∥FG，所以PC∥BH，所以∠PCB＝∠CBH，所以∠PCD＝180°－∠D＝60°，所以∠PCB＝∠DCB－∠PCD＝60°，所以∠CBH＝60°.又因为AB⊥FG，BH∥FG，所以∠ABH＝∠FAB＝90°，所以∠CBA＝∠CBH＋∠ABH＝60°＋90°＝150°. （2）连杆BC，CD可以绕着点B，C和D进行旋转，灯头点E始终在点D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，求α，β，γ之间的数量关系. 解：由（1）知，∠EDC＋∠PCD＝180°，∠PCB＝∠CBH，∠ABH＝90°，所以∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝∠EDC＋∠PCD＋∠PCB－（∠CBH＋∠ABH）＝180°－90°＝90°，即α＋β－γ＝90°. 类型二　构造翻折型全等三角形 3.如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC. 证明：如图，在CD上截取CF＝BC，连接EF. 在△FCE和△BCE中，所以△FCE≌△BCE（SAS），所以∠1＝∠2.又因为AD∥BC，所以∠ADC＋∠BCD＝180°，所以∠DCE＋∠CDE＝90°，所以∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠4＝90°，所以∠3＝∠4.在△FDE和△ADE中，所以△FDE≌△ADE（ASA），所以DF＝DA. 因为CD＝CF＋DF，所以CD＝AD＋BC. 4.如图，△ABC的面积为6 cm2，AP与∠ABC的平分线垂直，垂足是点P，求△PBC的面积. 解：延长AP交BC于点D，如图所示. 因为AP与∠ABC的平分线垂直于点P，所以∠ABP＝∠DBP. 在△ABP和△DBP中， 所以△ABP≌△DBP（ASA）， 所以AP＝DP，S△ABP＝S△DBP. 因为△APC与△DPC等底等高，所以S△APC＝S△DPC，所以S△PBC＝S△BPD＋S△DPC＝S△ABC＝×6＝3（cm2）. 类型三　构造旋转型全等三角形 5.【基本模型】 （1）如图1，四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，当点E在BC边上，点F在CD边上时，请你探究BE，DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论； 解：结论：EF＝BE＋DF. 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'， 则∠F'AB＝∠DAF，∠ABF'＝∠D＝90°，AF＝AF'，BF'＝DF，所以∠ABF'＋∠ABC＝180°，即F'，B，E三点共线. 因为∠EAF＝45°，所以∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝45°，所以∠BAF'＋∠BAE＝45°，所以∠EAF'＝∠EAF＝45°. 在△AEF和△AEF'中， 所以△AEF≌△AEF'（SAS），所以EF＝EF'，又EF'＝BE＋BF'，所以EF＝BE＋DF. 【模型运用】 （2）如图2，四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，当点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上时，请你探究BE，DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论. 解：结论：EF＝BE－DF. 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'，则BF'＝DF，AF'＝AF，同法（1）可得：△AEF≌△AEF'（SAS），所以EF＝EF'，又EF'＝BE－BF'＝BE－DF，所以EF＝BE－DF. 6.【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，∠BAD＝120°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中BE，EF，FD之间的数量关系.小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明：△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　BE＋FD＝EF　； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，∠BAD＝120°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由； 解：（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG. 因为∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，所以∠B＝∠ADG. 又因为AB＝AD，所以△ABE≌△ADG（SAS），所以∠BAE＝∠DAG，AE＝AG. 因为∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，所以∠BAE＋∠DAF＝60°，所以∠DAG＋∠DAF＝60°，所以∠GAF＝∠EAF＝60°，又因为AF＝AF，所以△AEF≌△AGF（SAS），所以EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF. 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系.并证明你的结论. 解：∠EAF＝180°－∠DAB. 证明：如图2，延长DC到点G，使DG＝BE，连接AG. 因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，所以∠ADC＝∠ABE. 在△ABE和△ADG中， 所以△ABE≌△ADG（SAS），所以AG＝AE，∠DAG＝∠BAE. 因为EF＝BE＋FD，所以EF＝DG＋FD，所以EF＝GF， 在△AEF和△AGF中，所以△AEF≌△AGF（SSS），所以∠FAE＝∠FAG. 因为∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，所以2∠FAE＋（∠GAB＋∠BAE）＝360°，所以2∠专题十二　辅助线作法 1.解：过点E作EF∥CD，如图所示. 因为AB∥CD， 所以AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）， 所以∠BEF＝∠ABE＝70°（两直线平行，内错角相等）. 因为EF∥CD， 所以∠CEF＋∠DCE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. 因为∠DCE＝144°， 所以∠CEF＝180°－144°＝36°， 所以∠BEC＝∠BEF－∠CEF＝70°－36°＝34°. 2.解：（1）如图，过点C作CP∥DE，过点B作BH∥FG. 因为DE∥FG，所以PC∥FG，所以PC∥BH， 所以∠PCB＝∠CBH， 所以∠PCD＝180°－∠D＝60°， 所以∠PCB＝∠DCB－∠PCD＝60°， 所以∠CBH＝60°. 又因为AB⊥FG，BH∥FG， 所以∠ABH＝∠FAB＝90°， 所以∠CBA＝∠CBH＋∠ABH ＝60°＋90°＝150°. （2）由（1）知，∠EDC＋∠PCD＝180°， ∠PCB＝∠CBH，∠ABH＝90°， 所以∠EDC＋∠DCB－∠CBA ＝∠EDC＋∠PCD＋∠PCB－（∠CBH＋∠ABH） ＝180°－90° ＝90°， 即α＋β－γ＝90°. 3.证明：如图，在CD上截取CF＝BC，连接EF. 在△FCE和△BCE中， 所以△FCE≌△BCE（SAS），所以∠1＝∠2. 又因为AD∥BC， 所以∠ADC＋∠BCD＝180°， 所以∠DCE＋∠CDE＝90°， 所以∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠4＝90°，所以∠3＝∠4. 在△FDE和△ADE中， 所以△FDE≌△ADE（ASA），所以DF＝DA. 因为CD＝CF＋DF，所以CD＝AD＋BC. 4.解：延长AP交BC于点D，如图所示. 因为AP与∠ABC的平分线垂直于点P， 所以∠ABP＝∠DBP. 在△ABP和△DBP中， 所以△ABP≌△DBP（ASA）， 所以AP＝DP，S△ABP＝S△DBP. 因为△APC与△DPC等底等高， 所以S△APC＝S△DPC， 所以S△PBC＝S△BPD＋S△DPC＝S△ABC＝×6＝3（cm2）. 5.解：（1）结论：EF＝BE＋DF. 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'， 则∠F'AB＝∠DAF，∠ABF'＝∠D＝90°，AF＝AF'，BF'＝DF， 所以∠ABF'＋∠ABC＝180°，即F'，B，E三点共线. 因为∠EAF＝45°， 所以∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝45°， 所以∠BAF'＋∠BAE＝45°， 所以∠EAF'＝∠EAF＝45°. 在△AEF和△AEF'中， 所以△AEF≌△AEF'（SAS）， 所以EF＝EF'， 又EF'＝BE＋BF'， 所以EF＝BE＋DF. （2）结论：EF＝BE－DF. 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF'， 则BF'＝DF，AF'＝AF， 同法（1）可得：△AEF≌△AEF'（SAS）， 所以EF＝EF'， 又EF'＝BE－BF'＝BE－DF， 所以EF＝BE－DF. 6.解：（1）BE＋FD＝EF （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG. 因为∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°， 所以∠B＝∠ADG. 又因为AB＝AD， 所以△ABE≌△ADG（SAS）， 所以∠BAE＝∠DAG，AE＝AG. 因为∠BAD＝120°，∠EAF＝60°， 所以∠BAE＋∠DAF＝60°， 所以∠DAG＋∠DAF＝60°， 所以∠GAF＝∠EAF＝60°， 又因为AF＝AF， 所以△AEF≌△AGF（SAS）， 所以EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF. （3）∠EAF＝180°－∠DAB. 证明：如图2，延长DC到点G，使DG＝BE，连接AG. 因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°， 所以∠ADC＝∠ABE. 在△ABE和△ADG中， 所以△ABE≌△ADG（SAS）， 所以AG＝AE，∠DAG＝∠BAE. 因为EF＝BE＋FD， 所以EF＝DG＋FD， 所以EF＝GF， 在△AEF和△AGF中， 所以△AEF≌△AGF（SSS）， 所以∠FAE＝∠FAG. 因为∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°， 所以2∠FAE＋（∠GAB＋∠BAE）＝360°， 所以2∠FAE＋（∠GAB＋∠DAG）＝360°， 即2∠FAE＋∠DAB＝360°， 所以∠EAF＝180°－∠DAB. FAE＋（∠GAB＋∠ 学科网（北京）股份有限公司 $$