安徽省宿州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试卷

数学试题 第1页（共4页） 宿州市 2025 届高三教学质量检测试题 数学试题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若 ， ，则 A. B. C. D. 2．若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 A. B. C. D. 3．若 ，则 A. B. C. D. 4. 将直线 绕点 顺时针旋转 得到直线 ，则 的方程是 A. B. C. D. 5. 若圆锥的轴截面是边长为 1 的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为 A. 12 B. 16 3  C. 4 3  D.  6. 已知平面向量 ， ，若 在 方向上的投影向量为 ，则实 数 A. B. C. D. 7. 已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，线段 的中垂线与 椭圆 交于 两点，则 的周长为 A. B. C. D. 8. 若函数 的图象上存在两对关于 轴对称的 点，则正实数 的取值范围为 A. B. C. D. 数学试题 第2页（共4页） 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有 选错的得 0分． 9.函数 ，则 A. B. 是函数 图象的一条对称轴 C. 的最大值为 D. 是偶函数 10. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， （ ）， 则下列结论正确的是 A． 为等比数列 B． 为等差数列 C． 为等比数列 D． 11. 在椭圆(双曲线)中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的 圆心是椭圆(双曲线)的中心，这个圆被称为该椭圆(双曲线)的蒙日圆.已知双 曲线 的蒙日圆方程为 ， 为坐标 原点，点 在双曲线 上， 与双曲线 的蒙日圆交于点 ，则 A. 若点 的坐标为 ，且 的蒙日圆的半径为 ，则 的方程为 B. 若点 的坐标为 ，则 的蒙日圆面积最大值为 C. 的最小值为 D. 若 为 的中点，则 的离心率的最大值为 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 两批同种规格的产品，第一批占 ，次品率为 ；第二批占 ，次 品率为 ，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的 概率为_______． 13. 四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ， ，则平面 与平面 夹角的余弦值为 _____． 14．若不等式 （ 是自然对数的底数）对任意 恒成 立，则当 取最大值时，实数 _________. 数学试题 第3页（共4页） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 15. (本小题满分 13 分) 已知 中， ， . （1） 求角 ； （2） 是 边上一点，且 ， ，求 的长. 16. (本小题满分 15 分) 如图，正三棱柱 中， 2=AB ， ， 为棱 的中点， 分别为棱 上的点，且 ， . （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 夹角的正弦值. 17. (本小题满分 15 分) 已知函数 （ 是自然对数的底数）， 为 的导函数. （1） 求函数 的单调区间； （2） 若函数 ，求 在 上的最小值. 数学试题 第4页（共4页） 18. (本小题满分 17 分) 动圆 与圆 外切，且与直线 相切，记该动圆心 的轨迹为曲线 .过 的直线 与 交于 两点，过点 作 的切线 ，设直线 分别与直线 交于点 . （1） 求曲线 的方程； （2） 证明： 与 的横坐标之积为定值； （3） 记 的面积分别为 ，求 的最大值. 19. (本小题满分 17 分) 甲、乙两人各有 张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片 上分别标有数字 ，乙的卡片上分别标有数字 .两 人进行 轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并 比较所选卡片上数字的大小，数字大的得 1 分，数字小的得 0 分，然后各自弃置 此轮所选卡片（弃置的卡片在之后的轮次中不能使用）.最终得分多的人获胜. （1）当 时，求甲获胜的概率； （2）设 轮比赛后甲的总得分为随机变量 ，记 为 的概率. (i) 求 ； (ii) 比较 与 的大小. 数学试题参考答案 第 1页 共 9页 宿州市 2025 届高三教学质量检测试卷 数学试题参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A D C A C D AD BCD ACD 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1. 【答案】B 【解析】 ， 又因为 ，所以 . 2. 【答案】D 【解析】 . 3. 【答案】A 【解析】 ，故 . 4. 【答案】D 【解析】由题意可知，直线 与 垂直，所以 的斜率为 ，又因为 过点 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 5. 【答案】C 【解析】由题意可知，该圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，设该圆锥外接 球的半径 ,由题意知，该圆锥外接球的球心在高线上，则 ，解得 ，所以该圆锥外接球的表面积为 2 4 4 3 球  S R   . 6. 【答案】A 【解析】由题意，可得 ，解得 . 7. 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知 ， ，所以 ，所 以 为等边三角形，因此 的中垂线过 ，结合椭圆的定义，可得 周 长 . 数学试题参考答案 第 2页 共 9页 8. 【答案】D 【解析】由题意可知，方程 在 时有两解，即 在 时有两解，令 ， ， ，显然 在 上不单调， 所以 ，此时 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，又因为 时， ，所以 ， 解得 . 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9.【答案】AD 【解析】由已知可得 ，故 错误；又 的最小正周 期为 ，故 正确；因为 ，所以 错误；因为 是偶函数，故 正确. 10.【答案】BCD 【解析】由已知得 ，所以 ，因此 ， 故 错误， 和 正确，对于 选项， ， ， 两式作差，解得 ，故 正确. 11.【答案】ACD 【解析】若点 在 上，则有 ，又因为 ，联立解 数学试题参考答案 第 3页 共 9页 得 ， ，故 正确；又 ，检验等号可以取到，所以 的蒙日圆的面积 ，故 错误；又 ， 当且仅当 为双曲线的左、右顶点时取到等号， 正确；若 为线段 的 中 点 ， 此 时 ， 由 选 项 的 结 论 可 得 ， ，解得 ，又 ，所以 ， 故 ， 正确. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12.【答案】 (或 ) 【 解 析 】 由 全 概 率 公 式 ， 可 得 这 件 产 品 为 次 品 的 概 率 为 . 13.【答案】 【解析】取 的中点为 ，连接 ， ，过点 作 ，则平面 平面 ，则易证 ， ，所以 是平面 与平面 的夹角，在直角 中， ；在 中， 2 PE PB ， 3BE . 由余弦定理可得， . 14.【答案】 【解析】由题意可知 ，令 ， 当 时， 时， ，此时 不恒成立，不符合 数学试题参考答案 第 4页 共 9页 题 意 ； 当 时 ， ， 令 ， ，易知 在 上单调递减，在 上单调 递增，所以当 时，方程 有解，设解为 ，则 ，且 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的最小值为 ， 由 题 意 恒 成 立 ， 所 以 ， 所 以 ，当且仅当 时取等号，此时 . 四、解答题（本题共 6 小题，共 77 分） 15.解：（1）由已知， ，----------3分 所以 ，又 ，故 .-----------------5分 （2） 由（1）及 ，可得 ，设 ，------------6分 在 中，由正弦定理得 ， 在 中，由正弦定理得 ，------------8分 所以 ，化简得 ，-------------10分 又 ，所以 ，从而 ，--------------11分 所以 . ---------------13分 （其它解法请酌情赋分） 数学试题参考答案 第 5页 共 9页 16.解：(1)取 的中点 ，连接 ， ， 因为 分别为 的中点，所以 ，--------2分 又因为 ，所以 ， 所以四边形 为平行四边形，---------------------------5分 所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ---------------------------7分 （2）由题意，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知， ， ， ， 所以 ， ， ----------------------------------9分 设平面 的一个法向量为 ， 因为 ， 所以可取平面 的一个法向量为 ，-----------12分 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ------------15分 （其它解法请酌情赋分） 数学试题参考答案 第 6页 共 9页 17.解：（1）由已知 ，所以 ，---2分 令 ，解得 ， 令 ，解得 ，----------------4分 所以 的单调递增区间 ， 的单调递减区间 .------------6分 （2）由题可知， ，--7 分 因为 ，所以 ， 令 ，解得 ， 令 ，解得 ， -----------------10分 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，---------11分 又 ， ，---13分 所以 ，所以 的最小值为 .---------------15分 （其它解法请酌情赋分） 18.解：（1）由题意可知， 动圆圆心 到点 的距离比它到直线 的距离大 ， 所以 到点 的距离等于它到直线 的距离， 所以点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，---2分 设点 的轨迹方程为 ，则 ，所以 ， 所以动圆圆心 的轨迹方程为 .-------------------------4分 数学试题参考答案 第 7页 共 9页 （2）易知 的斜率必存在且不等于 0， 设 的方程为 ， ， ， 联立 ，可得 的横坐标为 ， -------------6分 又因为 过点 和 ，所以 ， ----------------------7分 由 ，有 ， ， 所以 的斜率为 ，因此 的方程为 ， -----8分 令 ，可得 的横坐标为 ， 所以 ，因此 的横坐标与 的横坐标之积为定值.---10分 (3)由题意，有 ， ， ， 所以 ， --------11分 联立 ，消去 ，化简得 ， 所以 ， ， -----------12分 因此 ， 所以 ， ---------14分 由(2)知 ，不妨设 ， ， 则 ，等号成立当且仅当 ， 数学试题参考答案 第 8页 共 9页 因此 ， 所以 的最大值为 . ---------17 分 （其它解法请酌情赋分） 19.解（1）易知甲不可能得 分， 时，不妨设乙出卡片的顺序为 ， 则甲的出牌顺序为 ，其中 ， 总情形共有 种，----------------------------------------3分 只有 时，甲可以得 分获胜， 所以甲获胜的概率为 . ---------------------5分 （2）(i)不妨固定乙出卡片的顺序为 ，、 甲出卡片的顺序共有 种，-----------------------------6分 显然，如果直接考虑甲在 轮比赛中总得分不小于 的情形比较多， 我们考虑甲在 轮比赛中总得分为 或 的情况. -----------------7分 如果甲在 轮比赛中共得 分， 则甲出卡片的顺序一定是 ，只有 种情形； 如果甲改变 中任意两轮比赛的出卡顺序， 可知最后都会得 分，共有 种情形； 如果甲恰好改变 中任意三轮比赛的出卡顺序， 可知只有 种情形——将所选的 个数字进行轮换， 即 轮换为 ——使得甲在 轮比赛中最后得 1分， 共有 种情形；…… ------------------------------9分 因此，甲在 轮比赛中总得分为 1的情形共有 数学试题参考答案 第 9页 共 9页 𝐶𝑛 2 + 𝐶𝑛 3 + 𝐶𝑛 4 +⋯+ 𝐶𝑛 𝑛 = 2𝑛 − 1 − 𝑛种. 所以，𝑛轮比赛后， 甲的总得分不小于 2的概率为1 − 1+2𝑛−1−𝑛 𝑛! = 1 − 2𝑛−𝑛 𝑛! .------------11分 (ii)易知𝑘 ∈ {0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1}， 因为甲、乙两人的总得分之和为𝑛， 则乙在𝑛轮比赛中的总得分𝑌 = 𝑛 − 𝑘的概率也是𝑝𝑘. 如果把甲的标有 1的卡片上的数字变成2𝑛 + 1，其余不变， 则这张卡片的得分由 0变成 1， 于是可知𝑛轮比赛后甲得分为𝑘 + 1的概率为𝑝𝑘，其中𝑘 ∈ {0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1}. 然后再将甲、乙所有卡片上的数字都减去 1（这不会改变之前任何一局的得 分结果）， 故𝑛轮比赛后甲的总得分为𝑘 + 1的概率仍为𝑝𝑘，𝑘 ∈ {0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1}. 但此时甲、乙手上所持的卡片数字情况相当于最初乙、甲手上所持的卡片的 数字情况， 于是可知𝑛轮比赛后甲的总得分为𝑘 + 1（即最初是乙得分为𝑘 + 1）的概率也 可以表示为𝑝𝑛−1−𝑘. 因此有𝑝𝑘 = 𝑝𝑛−1−𝑘，𝑘 ∈ {0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1}. ----------------------13分 当𝑛为偶数时，由𝑝0 = 𝑝𝑛−1，𝑝1 = 𝑝𝑛−2，…，𝑝𝑛 2 −1 = 𝑝𝑛 2 ， 又因为𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛−1 = 1， 所以𝑛轮比赛后甲的总得分不小于 𝑛 2 的概率为 𝑝𝑛 2 + 𝑝𝑛 2 +1 +⋯+ 𝑝𝑛−1 = 1 2 (𝑝0 + 𝑝1 +⋯+ 𝑝𝑛−2 + 𝑝𝑛−1) = 1 2 . 即𝑛为偶数时𝑃 (𝑋 ≥ 𝑛 2 ) = 1 2 ， -----------------------15分 若𝑛为奇数时，易知𝑝0 = 𝑝𝑛−1，𝑝1 = 𝑝𝑛−2，…，𝑝𝑛−3 2 = 𝑝𝑛+1 2 ， 又因为𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 +⋯+ 𝑝𝑛−1 = 1， 所以𝑛轮比赛后甲的总得分不小于 𝑛 2 的概率为 𝑝𝑛+1 2 + 𝑝𝑛+3 2 +⋯+ 𝑝𝑛−1 = 1 2 [(𝑝0 + 𝑝1 +⋯+ 𝑝𝑛−2 + 𝑝𝑛−1) − 𝑝𝑛−1 2 ] = 1 2 − 1 2 𝑝𝑛−1 2 < 1 2 . 即𝑛为奇数时，𝑃 (𝑋 ≥ 𝑛 2 ) < 1 2 综上所述：𝑃 (𝑋 ≥ 𝑛 2 ) ≤ 1 2 . -----------------------------------17分 （其它解法请酌情赋分）