17.1勾股定理第2课时课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

第2课时 勾股定理的实际应用 17.1 勾股定理 问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？ 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题 勾股定理的简单实际应用 一 知识引入 问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？ 探索新知 勾股定理的简单实际应用 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题 例1 一个无盖盒子的尺寸如图所示，长14cm, 宽8cm的手机能否装入盒子?为什么? 典例精析 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， ∴手机能装入盒子中. 分析：盒子AC的长度是斜着能通过的最大长度， 只要AC的长大于手机的宽就能装入. A B C 6cm 6cm 例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得 在Rt△COD中，根据勾股定理得 ∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端 并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m. 典例精析 A O B C D 例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 典例精析 6m 8m A B C 转化为数学问题 解：在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 答：这棵树在折断之前的高度是16米. （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系，转化为数学问题； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 归纳总结 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤 实际问题 数学问题 勾股定理 直角三角形 转化 构建 利用 解决 1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上 的点C测得CA=1300米,CB=1200米,则AB为( ) A.500米 B.1200米 C.1000米 D.1300米 A 练一练 B A C 例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离. 在Rt△ABC中，由勾股定理得 利用勾股定理求两点距离及验证“HL” 探索新知 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x y 6 A B C 解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB. ∴AC=5-2=3，BC=3+1=4， 两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2) 思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ A B C 探索新知 A' B' C' 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′ B′ C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′ B′，AC=A′ C′．求证：△ABC≌△A′B′C′． 探索新知 A B C A' B' C' 根据勾股定理得 ∵AB=A′ B′，AC=A′ C′ ∴BC=B'C' 问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学？ 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 探索新知 利用勾股定理求最短距离 C A B AC+CB >AB（两点之间线段最短） B A B A B A B A 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ 问题：在一个圆柱石块上，已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？ 探索新知 B A B A 已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3. 解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得 探索新知 B A 侧面展开图 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. A B A' B' 例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）? A B ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 典例精析 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5 B A 【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm 变式训练 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得 ∴AB1＜AB2＜AB3 B A 6cm 8cm 10cm B2 B3 B1 ∴小蚂蚁完成任务的最短路程 为AB2，长为 . 变式训练 例5 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 牧童A 小屋B C 在Rt△A′DB中，由勾股定理得 典例精析 北 8km 7km A′ 4km 解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线. 由题意得 A′C=4+4+7=15(km) BC=8km 如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. 练一练 A C 解：由题意得 AC=2，BC=1, 在Rt△ABC中，由勾股定理得 即蚂蚁爬行最短路程为 . B1 B2 B3 B 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么? 2m 1m A B D C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5 因为AC大于木板的宽2.2m, 所以木板能从门框内通过. 典例分析 A B D C O 解：在Rt△ABO中，根据勾股定理得 OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， ∴OB=1. 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m. 例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗? 典例分析 例3：我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 典例分析 解：设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 典例分析 例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 典例分析 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 8 米 6米 A C B 典例分析 转化 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 构建 利用 解决 知识小结 1. 湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( ) A B C A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 130 120 ? A 知识运用 2.如图，学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米，宽为3米，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？ 解：(1)在Rt△ ABC中， 根据勾股定理得 ∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了 (3+4-5)×2=4(步). 别踩我,我怕疼! A B C 知识运用 问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 利用勾股定理求最短距离 二 知识运用 d A' O 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ A' 蚂蚁A→B的路线 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？ 根据两点之间线段最短易知第四个路线最近. 知识运用 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 归纳 知识运用 例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 米，高AB是5 米，π取3）? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如右图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 知识运用 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 知识运用 B A 【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在点A处，并在点B处放了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm 知识运用 B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320， AB32= 62 +（10+8）2 =360， 解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得 ∴AB1＜AB2＜AB3. ∴小蚂蚁吃到火腿肠的最短路程为AB1，长为 cm. 知识运用 例6 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 牧童A 小屋B A′ C 东 北 解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B,则A′B就是最短路程. 由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km. 在Rt△A′CB中，由勾股定理得 知识运用 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路程的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路程. 归纳 知识运用 如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. A B 解：由题意得AC =2，BC=1, 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5 ∴AB= ，即最短路程为 . 2 1 A B C 知识运用 1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆， 则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（　　） A.24m B.12m C. m D. cm D 课堂练习 A B C 2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是( ) A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm D 3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两 点的距离为_______. 10 课堂练习 4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？ A B C 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米) 课堂练习 答：小鸟至少飞行10米. 解：过点A作AC⊥BC于点C. 5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 解：台阶的展开图如图，连接AB. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 课堂练习 B A A B C 6. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，用绿色丝带缠绕圆筒形灯罩，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 能力提升 108cm 36cm 27cm 解：如图，在Rt△ABC中， ∵AC＝36cm 由勾股定理，得 ∴丝带的长为45×4＝180(cm) BC＝108÷4＝27(cm) A B C 1.从电线杆上离地面5m的C 处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A 到电线杆底部B 的距离是（　　） A.24m B.12m C. m D. m D 知识运用 2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm D 知识运用 3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？ A B C 解：如图，过点A作AC⊥BC于点C. 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， 答：小鸟至少飞行10米. 知识运用 4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路的长是多少？ B A A B C 解：台阶的展开图如图，连接AB. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm. 知识运用 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 知识运用 解：如右下图，在Rt△ABC中， 因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， 所以AB＝45cm， 所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)． 知识运用 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 课堂小结 知识拓展 在数轴上表示出 知识拓展 在数轴上表示出 知识拓展 在数轴上表示出 作业布置 完成练习 Lavf57.62.100 $$