利用导数研究不等式学案 -2025届高三数学二轮专题复习

07 利用导数研究不等式（1） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． （2）在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 2、 易错易混点归纳 解决压轴题中方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，否则偏离方向. 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I). ②∃x∈I，使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I). ③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. ④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min. 【典例探究】 考点一 作差（商）法证明不等式 学法指导：待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接通过作差（商）法，转化为与0（作差）或与1（作商）比较大小的问题，进而构造差（商）函数，通过研究其单调性等性质，转化为函数最值问题，从而证明不等式． 【例1】已知函数f（x）＝2sin x－sin 2x.当≤x≤时，求证：f（x）＞ln（x＋1）（注：ln≈0.739）. 【解析】证明：设g（x）＝f（x）－ln（x＋1）＝2sin x－sin 2x－ln（x＋1）， 则g'（x）＝－4cos2x＋2cos x＋2－. 当≤x≤时，1－＞0，所以g'（x）＞－4cos2x＋2cos x＋1， 又－4cos2x＋2cos x＋1＝－4（cos x－）2＋（0≤cos x≤）， 所以－4cos2x＋2cos x＋1＞0，所以g'（x）＞0在区间［，］上恒成立. 所以y＝g（x）在区间［，］上单调递增， 所以g（x）≥g（）＝－ln（＋1）＞－ln≈－0.739＞0， 所以当≤x≤时，f（x）＞ln（x＋1）. 考点二 放缩法证明不等式 学法指导：放缩法的实质就是将待证不等式通过适度放缩，转化为多个不等式的证明问题.某些不等式直接构造函数不易求其最值，可以利用熟知的函数不等式进行放缩，有利于简化后续导数的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，再构造函数进行证明. 【例2】已知x∈（0，1），求证：x2－＜. 证明：要证：x2－＜，只需证ex（x2－）＜ln x， 又易证ex＞x＋1＞0（0＜x＜1）， 所以只需证明ln x＋（x＋1）（－x2）＞0， 即证ln x＋1－x3＋－x2＞0，而当x∈（0，1）时，x3＜x，x2＜x， 所以只需证ln x＋1－2x＋＞0. 令g（x）＝ln x＋1－2x＋，x∈（0，1）， 则g'（x）＝－2－＝－， 而2x2－x＋1＞0恒成立，所以g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）＝0，即ln x＋1－2x＋＞0，所以x2－＜得证. 考点二 变量代换法证明不等式 学法指导：（1）消元法：借助题设条件，建立x1与x2的等量关系，如x2＝g（x1），从而将 f（x1，x2）＞A的双变量不等式化成h（x1）＞A的单变量不等式； （2）换元法：结合题设条件，有时需要先对含有双变量的不等式进行“除法”变形，再对含有双变量的局部代数式进行“换元”处理，将双变量问题等价转化为单变量问题，即构建形如的形式； （3）构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数. 【例3】已知函数f（x）＝－xeax，求证：ln x＋ax－1≥. 证明：ln x＋ax－1≥，即为ln x＋ax－1≥（x＞0）， 即ln（xeax）－1＋≥0， 令t＝xeax，可得t＞0，即证明ln t－1＋≥0（t＞0）. 设g（t）＝ln t－1＋（t＞0），则g'（t）＝－＝， 当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，函数g（t）单调递减； 当t∈（1，＋∞）时，g'（t）＞0，函数g（t）单调递增. 所以g（t）≥g（1）＝ln 1－1＋1＝0，即ln t－1＋≥0（t＞0）. 所以ln x＋ax－1≥. 【训练检测】 1.（2023·新高考Ⅰ卷19题）（作差法、构造法证明不等式）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 【解析】（1）由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. （2）证明：法一　由（1）知，当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（ln）＝a（＋a）－ln＝1＋a2＋ln a. 令g（x）＝1＋x2＋ln x－（2ln x＋），x＞0， 即g（x）＝x2－ln x－，x＞0， 则g'（x）＝2x－＝. 令g'（x）＝0，得x＝. 当x∈（0，）时，g'（x）＜0；当x∈（，＋∞）时，g'（x）＞0. 所以g（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增， 所以g（x）min＝g（）＝（）2－ln －＝－ln＞0， 所以1＋x2＋ln x＞2ln x＋对∀x＞0恒成立， 所以当a＞0时，1＋a2＋ln a＞2ln a＋恒成立. 即当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 法二　当a＞0时，由（1）得，f（x）min＝f（－ln a）＝1＋a2＋ln a， 故欲证f（x）＞2ln a＋成立， 只需证1＋a2＋ln a＞2ln a＋， 即证a2－＞ln a. 构造函数u（a）＝ln a－（a－1）（a＞0）， 则u'（a）＝－1＝，所以当a＞1时，u'（a）＜0；当0＜a＜1时，u'（a）＞0. 所以函数u（a）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 所以u（a）≤u（1）＝0，即ln a≤a－1， 故只需证a2－＞a－1，即证a2－a＋＞0， 因为a2－a＋＝（a－）2＋＞0恒成立， 所以当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 2.（2024·全国甲卷文20题）（放缩法、作差法证明不等式）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x＋1. （1）讨论f（x）的单调性； （2）设a≤2，证明：当x＞1时，f（x）＜ex－1. 【解析】（1）因为f（x）＝a（x－1）－ln x＋1， 所以f'（x）＝a－＝，x＞0， 若a≤0，则f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减； 若a＞0，则当0＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增. 综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增. （2）证明：法一（放缩法）　因为a≤2，所以当x＞1时，ex－1－f（x）＝ex－1－a（x－1）＋ln x－1≥ex－1－2x＋ln x＋1. 令g（x）＝ex－1－2x＋ln x＋1，则只需证当x＞1时g（x）＞0. 易知g'（x）＝ex－1－2＋， 令h（x）＝g'（x），则h'（x）＝ex－1－在（1，＋∞）上单调递增， 则当x＞1时，h'（x）＞h'（1）＝0， 所以h（x）＝g'（x）在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x＞1时，g'（x）＞g'（1）＝0，故g（x）在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x＞1时，g（x）＞g（1）＝0， 即当x＞1时，f（x）＜ex－1. 法二（作差法直接求导证明）　设g（x）＝a（x－1）－ln x＋1－ex－1，只需证当x＞1时g（x）＜0即可. 易知g'（x）＝a－－ex－1， 令h（x）＝g'（x），则h'（x）＝－ex－1， 由基本初等函数的单调性可知h'（x）在（1，＋∞）上单调递减， 则当x＞1时，h'（x）＜h'（1）＝1－1＝0， 所以h（x）＝g'（x）在（1，＋∞）上单调递减， 于是当x＞1时，g'（x）＜g'（1）＝a－2， 又a≤2，所以a－2≤0，则当x＞1时，g'（x）＜0，故g（x）在（1，＋∞）上单调递减， 所以当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0， 即当x＞1时，f（x）＜ex－1. 常用放缩技巧 （1）指数型放缩：ex≥x＋1（当且仅当x＝0时取等号），ex－1≥x，即ex≥ex（当且仅当x＝1时取等号），ex≤（x＜1）（当且仅当x＝0时取等号）； （2）对数型放缩：ln（x＋1）≤x（当且仅当x＝0时取等号），1－≤ln x≤x－1（x＞0）（当且仅当x＝1时取等号）； （3）三角放缩：sin x≤x≤tan x（当且仅当x＝0时取等号），sin x≥x≥tan x（－＜x≤0）（当且仅当x＝0时取等号）. 【预习要求】 1.阅读教材P63—P82，能完成下列问题： （1）利用导数解决恒成立问题和存在性问题的方法有什么？ （2）导数证明不等式f(x)>g(x) 在区间D上恒成立的一般做法是什么？ 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$