导数的简单应用学案-2025届高三数学二轮专题复习

06 导数的简单应用（新编） 【复习目标】 1、考点归纳 （1）导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小. （2）应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题． 2、易错易混点归纳 (1)不能忽略函数f(x)的定义域； (2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件； (3)函数的极小值不一定比极大值小； (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 【思维导图】 【重要考点、易错易混点的注释】 1．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x. 3、利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求f(x)的导数f′(x)； (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间； (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 【典例探究】 考点一 导数的几何意义与计算 学法指导：求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 【例1】(1)若曲线在点处的切线方程为，则（  ） A．3 B． C．2 D． 【解析】,依题意得，即，又因为，所以. （2）（2024·福建适应性练习卷）已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线 y＝－ln（－x）的切线，则（　　） A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0 C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1 【解析】）法一　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为（x1，y1），直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln（－x）的切点坐标为（x2，y2），对y＝ln x求导得y'＝，对y＝－ln（－x）求导得y'＝－·（－1）＝－，所以有得得所以k＝＝.故选A. 法二　对于A，对y＝ln x求导得y'＝，令＝k＝，得x＝e，又ln e＝1，所以曲线y＝ln x在点（e，1）处的切线方程为y－1＝（x－e），即y＝x，同理得曲线y＝－ln（－x）在点（－e，－1）处的切线方程为y＝x，故A正确，故选A. (3)（2）已知函数f（x）＝，若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax－y＝0，则x0的值为　 　. 【解析】因为函数f（x）＝，求导得f'（x）＝，依题意得消去a得，＝，而＞0，解得x0＝2. 考点二 利用导数研究函数的单调性 学法指导：函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现.常见的题型及其解法.如由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 【例2】（1）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】∵，且，∴函数为单调递增的奇函数．于是，可以变为，即，∴，而，可知实数，故实数的取值范围为． (2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞) 【解析】令，得到.令，则函数有两个极值点可转化为与的图象在有两个不同的交点. ，令，解得：.当时，，函数单调递增; 当时，，函数单调递减.所以当时函数取得最大值. 当时，，时且,如图为的图象， 当与的图象有两个不同交点时，. 考点三 利用导数研究函数极值与最值的方法 学法指导：（1）若求极值，则先求方程f'（x）＝0的根，再检查f'（x）在方程根的左右函数值的符号； （2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'（x）＝0根的大小或存在情况来求解； （3）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较，从而得到函数的最值. 【例3】（1）（2023河北承德模拟）已知aln a＝beb，b＞0，则 的最大值为（　　） A.e2 B. C. D.－ （2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），则x2－2x1的最大值为 . 【解析】（1）由，可得，令，可得，所以单调递增，因为，可得，即，则，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，可得，所以的最大值为. （2）设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝，x2＝m－2，x2－2x1＝m－2－2.令h（x）＝x－2－2，则h'（x）＝1－，令h'（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递增，令h'（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，h（x）max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4. 【训练检测】 1．（2024·全国甲卷理6题）（导数的几何意义）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点 （0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A.　　　　 B. C.　　　　 D. 【解析】A　f'（x）＝，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝， 2．（2024·山东新高考联合质量测评）过点（3，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为 （x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋x2＝（　　） A.－3 B.－ C. D.3 【解析】因为，所以，设切点坐标为， 所以，所以切线方程为，由切线方程过点，则，即，依题意得：关于的方程有两个不同的解，即关于的一元二次方程有两个不同的解，所以. 3．（2023·新高考Ⅱ卷6题）（函数单调性的应用）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 【解析】C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. 4．（2024·新高考Ⅰ卷10题）（多选）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A.x＝3是f（x）的极小值点 B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 【解析】ACD　对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2－2x）＞0，D正确.故选A、C、D. 5．（2023·鹰潭）已知函数f(x)＝x2－aln x＋1在(1，3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，18) B．[2，18] C．(－∞，2)∪[18，＋∞) D．[2，18) 【解析】由已知可得，定义域为，.若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去；当时，由可知，或（舍去）. 当时，有，所以在上单调递减； 当时，有，所以在上单调递增.由已知函数在上不是单调函数，所以应有，所以. 6、（2024·南京、盐城一模）用min{x，y}表示x，y中的最小数.已知函数f（x）＝，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为（　　） A. B. C. D.ln 2 【解析】∵，∴，根据导数易知在上单调递增，在上单调递减;由题意令，即，解得；作出图象：    则的最大值为两函数图象交点处函数值，为． 7．已知函数f（x）＝x3＋x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，则实数a的取值范围是　 　. 【解析】.，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得. 即的取值范围是 【预习要求】 1.阅读教材P63—P82，要做到识记求导法则和导数的几何意义；会利用导数求函数的极值和最值； 2.（1）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（　　） （2）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A.（0，4） B.（－∞，1），（，4） C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞） 【解析】1.C 2.由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'（x）＝＜0，则函数g（x）＝的单调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D. 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$