8.1 平方根 第一课时（讲练）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

平方根的概念和开平方 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根。 ∵ ∴9的平方根是 表示方法 正数的正的平方根记为,读作“根号”，叫做被开方数，正数的负的平方根可以用-表示，正数的平方根可以用±表示,读作“正、负根号”其中叫做根号。 9的平方根记为， 即±=± 开平方 求一个数的平方根的运算就做开平方 平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系可以就一个数的平方根 注意： (1)求一个数的平方根,就是求所有平方后等于这个数的数. (2)平方根是数,是开平方的结果;开平方是一种运算，是求平方根的过程 (3)平方与开平方互为逆运算，两种运算可以互相验证运算的结果是否正确. (4) 在“”中，≥0. 【基础练习】 【练习1-1】“的平方根是”的表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 【练习1-2】 的平方根是（    ） A． B． C． D． 平方根的性质 性质 示例 ①正数有两个平方根,它们互为相数 ②0的平方根是0; ③负数没有平方根 16的平方根是±4; 0的平方根是0; -16没有平方根 【基础练习】 【练习2-1】下列各数中，没有平方根的是（　　） A．65 B．（﹣2）2 C．﹣22 D． 【练习2-2】下列说法正确的是（　　） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．﹣1 的平方根是﹣1 D．0.1是0.01的一个平方根 【典例】式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如果，那么a等于（   ） A．4 B． C．16 D．4或 【典例】16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-1】（﹣0.7）2的平方根是（　　） A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49 【变式2-2】0.0081的平方根是 方法技巧： 求一个正数的平方根，就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方 易错警示：不能正确求带分数的平方根 求带分数的平方根时，带分数不能直接开平方，也不能把整数部分和小数部分分别开平方.求带分数的平方根时，应先把带分数化为假分数，然后开平方. 【典例】若与是同类项，则的平方根是 ． 【变式3-1】已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 【变式3-2】已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 规律总结： 一个非负数的平方根的平方等于这个数，即= (≥0). 【典例】已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（　　） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【变式4-1】若一个正数的平方根分别是与，则m为（       ） A． B．3 C．2 D．或 3 【变式4-2】 如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 【典例】一元二次方程x2﹣25＝0的解是（　　） A．x1＝5，x2＝0 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝﹣5 【变式5-1】下列数中能使（x﹣2）2＝0成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】若，则 ． 方法技巧：利用平方根的概念解方程 将方程转化为等号的左边是含的一个式子的平方，右边是一个非负数的形式，如=或= (≥0)，然后利用平方根的定义得到 =±或 =±,进而得到原方程的解. 易错警示：开平方时易漏解 开平方求未知数的值时，易受思维定势的影响，漏掉负的平方根，而导致错误. 【典例】某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长． （2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【变式6-1】列方程解应用题 小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294cm2． （1）请你帮小明求出纸片的周长． （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14） 【变式6-2】（1）某房间的面积为，房间地面恰好由块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？ （2）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的倍还多，则做出第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 1.“的平方根是±”用数学式子可表示为（　　） A．± B． C．±± D． 2.关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 3.已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 4. 9的平方根是（　　） A．3 B． C． D．81 5. 若，，则的平方根约为（    ） A． B． C． D． 6.关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 7.若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 8.写一个平方根是它本身的数 ． 9.若m﹣4没有平方根，则|m﹣5|＝ 　 　． 10.如果有平方根，则的取值范围是 ． 11.已知与的和是单项式，则的平方根是 ． 12.已知正实数x的两个平方根是m和m+b． （1）当b＝8时，m的值是　 　；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝　 　． 13.如图是第十四届国际数学教育大会会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是 ． 14.求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2． 15.已知一个正数m的两个平方根为和． (1)求m，n的值； (2)，的平方根是多少？ 16.已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数． 17.求满足下列各式的未知数x． （1）（x﹣1）2﹣49＝0； （2）8＝0． 18.定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． (1)3与__________是关于1的平衡数：与__________是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． (2)若，，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． (3)若x与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求与关于1的平衡数． 19.定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程． 如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼆次⽅程．根据平⽅根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解． 如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3． 解决问题： （1）解方程（x﹣2）2＝4． 解：∵x﹣2＝±， ∴x﹣2＝2，或x﹣2＝　 　． ∴x1＝4，x2＝　 　． （2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0． 20.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 1.（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ） A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16 2.（2021·江苏徐州·中考真题）49的平方根是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平方根的概念和开平方 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根或二次方根。 ∵ ∴9的平方根是 表示方法 正数的正的平方根记为,读作“根号”，叫做被开方数，正数的负的平方根可以用-表示，正数的平方根可以用±表示,读作“正、负根号”其中叫做根号。 9的平方根记为， 即±=± 开平方 求一个数的平方根的运算就做开平方 平方与开平方互为逆运算，根据这种互逆关系可以就一个数的平方根 注意： (1)求一个数的平方根,就是求所有平方后等于这个数的数. (2)平方根是数,是开平方的结果;开平方是一种运算，是求平方根的过程 (3)平方与开平方互为逆运算，两种运算可以互相验证运算的结果是否正确. (4) 在“”中，≥0. 【基础练习】 【练习1-1】“的平方根是”的表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的概念，根据“一般地，如果一个x的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或者二次方根，记作”，即可得出答案． 【详解】解：“的平方根是”的表达式是， 故选：A． 【练习1-2】 的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根的定义“如果一个数的平方等于给定的数，那么这个数就被称为给定数的平方根”，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据平方根的定义和性质，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴的平方根是； 故选：B． 平方根的性质 性质 示例 ①正数有两个平方根,它们互为相数 ②0的平方根是0; ③负数没有平方根 16的平方根是±4; 0的平方根是0; -16没有平方根 【基础练习】 【练习2-1】下列各数中，没有平方根的是（　　） A．65 B．（﹣2）2 C．﹣22 D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方都是非负数，可得负数没有平方根． 【详解】解：A、B、D都是正数，故都有平方根； C是负数，故C没有平方根； 故选：C． 【练习2-2】下列说法正确的是（　　） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．﹣1 的平方根是﹣1 D．0.1是0.01的一个平方根 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是±1，则B不符合题意； ﹣1没有平方根，则C不符合题意； 0.1是0.01的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 【典例】式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．即一个非负数a的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：表示16的平方根是， 故选：B． 【变式1-1】“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【变式1-2】 如果，那么a等于（   ） A．4 B． C．16 D．4或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即4或． 故选：D． 【典例】16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．根据题意可知16的平方根是，即可得到本题答案． 【详解】解：∵16的平方根是， 故选：D． 【变式2-1】（﹣0.7）2的平方根是（　　） A．﹣0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根． 【详解】解：∵（﹣0.7）2＝0.49， 又∵（±0.7）2＝0.49， ∴0.49的平方根是±0.7． 故选：B． 【变式2-2】0.0081的平方根是 ． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为， 所以0.0081的平方根是； 故答案为：． 方法技巧： 求一个正数的平方根，就是求这个正数是哪两个互为相反数的数的平方 易错警示：不能正确求带分数的平方根 求带分数的平方根时，带分数不能直接开平方，也不能把整数部分和小数部分分别开平方.求带分数的平方根时，应先把带分数化为假分数，然后开平方. 【典例】若与是同类项，则的平方根是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，同类项，二元一次方程等知识，根据同类项的定义可得出，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式3-1】已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 【答案】±2 【解析】 【分析】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根． 【详解】解：∵2x﹣y的平方根为±3， ∴2x﹣y＝9， 又∵﹣4是3x+y的一个平方根， ∴3x+y＝16， ∴x＝5，y＝1， 因此x﹣y＝5﹣1＝4， 所以4的平方根为±2， 答：x﹣y的平方根为±2． 【变式3-2】已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根． 【答案】±2 【解析】 【分析】根据平方根的意义可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，进而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根． 【详解】解：∵2x﹣y的平方根为±3， ∴2x﹣y＝9， 又∵﹣4是3x+y的一个平方根， ∴3x+y＝16， ∴x＝5，y＝1， 因此x﹣y＝5﹣1＝4， 所以4的平方根为±2， 答：x﹣y的平方根为±2． 规律总结： 一个非负数的平方根的平方等于这个数，即= (≥0). 【典例】已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正数a的平方根，则a的值是（　　） A．3 B．64 C．3或 D．64或 【答案】D 【解析】 【分析】3m﹣1与﹣2m﹣2相等或者互为相反数，分别求出m的值，再求出3m﹣1的值，最后求出a的值． 【详解】解：根据题意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0， 解得：m或3， 当m时， 3m﹣1， ∴a； 当m＝3时， 3m﹣1＝8， ∴a＝64； 故选：D． 【变式4-1】若一个正数的平方根分别是与，则m为（       ） A． B．3 C．2 D．或 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，一个正数的两个平方根分别是与， 则有， 解得． 故选：B． 【变式4-2】如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根．首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【详解】解：当两数互为相反数时，， 解得：， ∴，， 则这个正数为1； 当两数相等时，， ∴， ∴， 这个正数是9． 故这个正数为1或9， 故选：A． 【典例】一元二次方程x2﹣25＝0的解是（　　） A．x1＝5，x2＝0 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝﹣5 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：x2﹣25＝0 ∴x2＝25， 解得：x1＝5，x2＝﹣5， 故选：D． 【变式5-1】下列数中能使（x﹣2）2＝0成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】利用开平方法求出方程的解即可判断求解． 【详解】解：由条件可知x﹣2＝0， 解得x＝2． 故选：B． 【变式5-2】若，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】先将，化为，再根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题． 【详解】解∶， 即， 故答穼为． 方法技巧：利用平方根的概念解方程 将方程转化为等号的左边是含的一个式子的平方，右边是一个非负数的形式，如=或= (≥0)，然后利用平方根的定义得到 =±或 =±,进而得到原方程的解. 易错警示：开平方时易漏解 开平方求未知数的值时，易受思维定势的影响，漏掉负的平方根，而导致错误. 【典例】某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来的400m2的正方形场地改建成300m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长． （2）如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可； （2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【详解】解：（1）（m），4×20＝80（m）， 答：原来正方形场地的周长为80m． （2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am． 由题意有：3a×5a＝300， 解得：， ∵3a表示长度， ∴a＞0， ∴， ∴这个长方形场地的周长为 （m）， ∵， ∴这些铁栅栏够用． 答：这些铁栅栏够用． 【变式6-1】列方程解应用题 小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294cm2． （1）请你帮小明求出纸片的周长． （2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．（π取3.14） 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意得出方程3x•2x＝294，求出长方形的长和宽，即可求出周长． （2）计算出圆的半径，再与宽的一半作比较即可解答． 【详解】解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意， 3x•2x＝294， 6x2＝294， x2＝49， x＝±7， ∵x＞0， ∴x＝7， ∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米， （21+14）×2＝70厘米． 答：纸片的周长是70厘米． （2）设圆形纸片的半径为r， S＝πr2＝157， r2＝50， 由于长方形纸片的宽为14厘米，则圆形纸片的半径最大为7， 72＝49＜50， 所以不能出想要的圆形纸片． 【变式6-2】（1）某房间的面积为，房间地面恰好由块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？ （2）已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的倍还多，则做出第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出每块砖的面积，求出正方形地砖的边长； （2）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，可求第二个正方体的棱长，再求出表面积． 【详解】解：（1） 每块地砖的面积为 所以正方形地砖的边长为 答：每块地砖的边长是． （2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮． 1.“的平方根是±”用数学式子可表示为（　　） A．± B． C．±± D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个正数有两个平方根，可得平方根的表示方法． 【详解】解：， 故选：C． 2.关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【解析】 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 3.已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 4. 9的平方根是（　　） A．3 B． C． D．81 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的求解方法是解题关键．根据平方根的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是， 故选：B． 5.若，，则的平方根约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；根据题意30是0.3的100倍，进而可根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根为； 故选D． 6.关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 7.若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】 【详解】∵与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故选：C． 8.写一个平方根是它本身的数 ． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：平方根是它本身的数是：0． 故答案为：0． 9.若m﹣4没有平方根，则|m﹣5|＝ 　 　． 【答案】5﹣m 【解析】 【分析】根据负数没有平方根得出m﹣4＜0，即可求出m的取值范围，再判断m﹣5的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵m﹣4没有平方根， ∴m﹣4＜0， ∴m＜4， ∴m﹣5＜0， ∴|m﹣5|＝5﹣m， 故答案为：5﹣m． 10.如果有平方根，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据只有正数与有平方根，负数没有平方根列式求解即可． 【详解】解：∵有平方根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11.已知与的和是单项式，则的平方根是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的意义，同类项以及单项式的定义，根据单项式的定义求出m，n值，然后代入即可求出答案． 【详解】解：已知与的和是单项式，则它们是同类项， ∴，， ∴, 故的平方根为． 故答案为：. 12.已知正实数x的两个平方根是m和m+b． （1）当b＝8时，m的值是　 　；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝　 　． 【答案】（1）4；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值； （2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值． 【详解】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， ∴2m+8＝0 ∴m＝﹣4； （2）∵正实数x的平方根是m和m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x． 故答案为：（1）4；（2）． 13.如图是第十四届国际数学教育大会会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是 ． 【答案】 3750 9 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算以及利用平方根解方程等知识，根据题意列出关于n的方程是解答本题的关键． 根据十进制换算成八进制的方法即可作答；根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为8的4次方就是4096，3次方是512， 所以2024写成8进制就是4位数，且首位是3，其值为3乘以8的3次方， 然后剩下， 而， ， 十进制数2024换算成八进制数是3750 根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故n的值为9． 故答案为：3750，9． 14.求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2． 【答案】见详解 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可； （3）根据平方根的定义，进行求解即可； （4）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 15.已知一个正数m的两个平方根为和． (1)求m，n的值； (2)，的平方根是多少？ 【答案】(1)，； (2) 【解析】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵正数m的平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴，, ∴； （2）由（1）得：， ∵， ∴，， ， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 16.已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数． 【答案】(1)1 (2)49 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数求出a，即可求出答案； （2）将a的值代入，再平方即可求出结果． 【详解】（1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 则这个正数为． 17.求满足下列各式的未知数x． （1）（x﹣1）2﹣49＝0； （2）8＝0． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义进行求解即可得出答案； （2）先把要求的式子化成（x﹣2）2＝64，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵（x﹣1）2﹣49＝0， ∴（x﹣1）2＝49， ∴x﹣1＝±7， ∴x1＝8，x2＝﹣6． （2）∵8＝0， ∴8， ∴（x﹣2）2＝64， ∴x﹣2＝±8， ∴x1＝10，x2＝﹣6． 18.定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． (1)3与__________是关于1的平衡数：与__________是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． (2)若，，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． (3)若x与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求与关于1的平衡数． 【答案】（1），（2）a与b是关于1的平衡数，理由见详解（3）关于1的平衡数是或10 【解析】 【分析】（1）根据题意可知、两数和为2时，a与b是关于1的平衡数，然后计算即可； （2）根据整式的加减运算法则计算，只需要看是不是等于2即可； （3）根据平衡数的定义，列式求出，的值，然后分情况把x，y的值代入，根据平衡数的定义求解． 【详解】（1）解：若，则称a与b是关于1的平衡数，即、两数和为2， ∵，， ∴3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于1的平衡数； 理由：∵ ， ∴与是关于1的平衡数； （3）由题意得：， ， ∴，， 当，时，，8关于1的平衡数是； 当，时，，关于1的平衡数是； 综上所述，关于1的平衡数是或10． 19.定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⽅程，叫做⼀元⼆次⽅程． 如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼆次⽅程．根据平⽅根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解． 如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3． 解决问题： （1）解方程（x﹣2）2＝4． 解：∵x﹣2＝±， ∴x﹣2＝2，或x﹣2＝　 　． ∴x1＝4，x2＝　 　． （2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据例题运用平方根解一元二次方程的方法解答即可． 【详解】解：（1）∵x﹣2＝±， ∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2． ∴x1＝4，x2＝0． （2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0 ∴（3x﹣1）2＝25， ∴3x﹣1＝±， ∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5． ∴x1＝2，x2． 故答案为：﹣2，0． 20.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【解析】 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 1.（2022·四川宜宾·中考真题）4的平方根是（ ） A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±2 ）2=4， ∴4的平方根是±2， 故选A． 2.（2021·江苏徐州·中考真题）49的平方根是 ． 【答案】±7 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可. 【详解】∵（±7）2=49， ∴49的平方根是±7． 故答案为：±7． 学科网（北京）股份有限公司 $$