精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

数学练习卷 一、选择题（共8题） 1. 已知是第四象限角，且，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知且恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是(　　) A. 2 B. 1 C. D. 3 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在R上定义运算⊗：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题） 9. 当时，函数和的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设，函数，则（ ） A. 函数的最小值是0 B. 函数的最大值是2 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则函数的最小值为4 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则的最小值为 三、填空题（共3题） 12. 计算：=______． 13. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______ 14. 已知函数，则=____________；不等式的解集为______． 四、解答题（共5题） 15. 已知集合， （1）求集合； （2）若，，求实数m的取值范围． 16. 已知、是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且. （1）求点的坐标； （2）求的值． 17. 某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第一年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如表所示： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 x 1 2 3 4 f（x） 7 12.78 25 49.13 若近似符合以下三种函数模型之一：，，． （1）写出你认为最适合的函数模型（不用说明理由），然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式； （2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量． 18. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 19. 已知函数为奇函数，． （1）求a的值； （2）判断函数的单调性； （3）若恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习卷 一、选择题（共8题） 1. 已知是第四象限角，且，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解得答案. 【详解】由是第四象限角，，得， 所以. 故选：D 2. 已知且恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出定点的坐标，将点的坐标代入直线方程，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数且，，即点， 由题意可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 3. 已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是(　　) A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先通过扇形的周长来确定半径和弧长的关系，再利用面积公式得出当r＝1时S最大，进而得出弧度数． 【详解】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，则面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2，从而α＝＝＝2. 【点睛】本题在做题中，需要能够通过半径和弧长来转换扇形的周长和面积的关系． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和商数关系即可求解. 【详解】解：， 故， 故选：B. 5. 在R上定义运算⊗：，时，不等式有解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化条件得在上有解，利用基本不等式求得在的最大值即可得解. 【详解】依题意，在上有解， 则，即在上有解， 又，当且仅当时取等号， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系可化简所求代数式. 【详解】因为，则，则， 所以， ， 故选：A. 7. 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，进一步判断奇偶性，从而求解. 【详解】由题意得且，解得， 则的定义域为， ∵， ∴是偶函数， 当时，单调递减，根据对勾函数性质知同样单调递减， ∴在上单调递减， 又因为其为偶函数，则其在上单调递增， ∴满足不等式成立可得： ，解得 所以解集为. 故选：C. 8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解， 所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则. 故选：A. 二、多选题（共3题） 9. 当时，函数和的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一次函数的图象确定、的取值范围，再结合指数函数的单调性进行检验即可. 【详解】对于A选项，由一次函数的图象知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，满足题意； 对于B选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾； 对于C选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为增函数，则， 若，则，矛盾； 对于D选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾. 故选：BCD. 10. 设，函数，则（ ） A. 函数的最小值是0 B. 函数的最大值是2 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数的表达式，再分析其性质，逐项判断作答. 【详解】令函数，，显然，在上单调递增， 而，当时，，即， 则有， 当时，在上单调递增，，其值域为， 当时，在上单调递减，，其值域为， 因此函数的值域是，A不正确；B，C，D都正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则函数的最小值为4 C. 函数的最小值为 D. 若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】A：， 当且仅当，即时取得最大值，故A错； B：， 当且仅当，时，，故B正确； C： 当且仅当时，，故C正确； D：， 当且仅当，时，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3题） 12. 计算：=______． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可. 【详解】 . 故答案为：7. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系求出的范围. 【详解】函数的单调递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选： 14. 已知函数，则=____________；不等式的解集为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】直接代入可得答案；先判断出，得到是奇函数和单调递增函数，利用单调性和奇偶性求解即可. 【详解】依题意，，，所以； 函数的定义域为R，， 即，则，令， 于是，是上的奇函数，且， 由，都是上的增函数，得是上的增函数， 由，得，即， 则，因此，解得， 的解集为. 故答案为：2； 四、解答题（共5题） 15. 已知集合， （1）求集合； （2）若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合A，求出对数函数的值域化简集合B，再利用并集定义求解. （2）由（1）求出，再按是否为空集，结合集合的包含关系列式求出m的范围. 【小问1详解】 不等式，解得，即， 当时，，则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 综上，， 所以实数m的取值范围是. 16. 已知、是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且. （1）求点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出的值，结合三角函数的定义可得出点的坐标； （2）求出的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【小问1详解】 由题意可知，角为第二象限角，则， 所以，， 由三角函数的定义可知，点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）可得， 因此，. 17. 某企业常年生产一种出口产品，最近几年以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第一年，且前4年中，第年与年产量（单位：万件）之间的关系如表所示： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 x 1 2 3 4 f（x） 7 12.78 25 49.13 若近似符合以下三种函数模型之一：，，． （1）写出你认为最适合的函数模型（不用说明理由），然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式； （2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2023年的年产量比预计减少30%，根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量． 【答案】（1）选，； （2）135.1万件. 【解析】 【分析】（1）根据表格的变化趋势结合三种函数模型即可选择函数，进而求出函数的解析式； （2）由（1）求出不影响的产量，进而求出影响后的产量. 【小问1详解】 选，代入数据（1，7）和（3，25）可得， 故. 理由如下：从表格可以判断函数为增函数，所以排除；若选，代入数据（1，7）和（3，25）可得：，则，则，这与49.13相差太远. 【小问2详解】 2023年对应x＝6，因此预计2023年产量约为（万件），受影响后实际年产量约为193×（1﹣30%）＝135.1（万件），故2023年的年产量约为135.1（万件）. 18. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次型不等式恒成立列式求出范围. （2）原不等式化为，再按分类讨论求解不等式. 【小问1详解】 不等式，依题意，在上恒成立， 当时，在上不恒成立； 当时，，即，解得， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，若，解得； 若，则无解；若，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知函数为奇函数，． （1）求a的值； （2）判断函数的单调性； （3）若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义，列式求出的值. （2）利用指数函数的单调性，判断函数的单调性. （3）利用奇函数的单调性脱去法则“f”，转化为恒成立的一元二次不等式求解. 【小问1详解】 函数的定义域为，由函数为奇函数，得， 即，整理得，即， 所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，因此函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）及已知，得上的奇函数是增函数， 不等式， 则，即，依题意，不等式恒成立， 因此，解得， 所以实数k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $