预习专题17 复数的四则运算8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题17 复数的四则运算8题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1．（2024高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2024高三下·山东·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 5．（2024高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一·全国·课后作业）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 7．（2024高一·全国·课后作业）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 8．（2024高一下·山东日照·期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 9．（2024高一·全国·课后作业）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,. (1)求对应的复数. (2)求对应的复数. (3)求对应的复数. 10．（2024高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型3：复数代数形式的乘法运算 11．（2024高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，（i为虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D．3 12．（2024高二上·福建莆田·阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于 . 13．（2024高三上·北京顺义·阶段练习）已知复数，则复数z的虚部为 ， ． 题型4：复数的高次运算 14．（2024高三上·湖南永州·阶段练习）设（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足：，则（    ） A．1 B． C． D．5 16．（2024高三上·江苏苏州·阶段练习）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2024高一下·河北邢台·期中）（    ） A． B． C． D． （四） 复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型5：共轭复数 18．（2024·云南·一模）已知复数，则的虚部为 . 19．（2024高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 20．（2024高一下·四川内江·期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 题型6：复数代数形式的除法运算 21．（2024·广东·一模） （    ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024高三下·重庆大足·阶段练习）设为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D． 24．（2024高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2) （五） 在复数范围内解方程 设z1＝a＋bi是一元二次方程的根，则z2＝a－bi亦是该方程的根. 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 题型7：在复数范围内因式分解 25．（2024高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 26．（2024高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 27．（2024高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 28．（2024高一下·上海普陀·阶段练习）在复数范围内分解因式： ． 29．（2024高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3). 题型8：在复数范围内解方程 30．（2024高一·湖南·课后作业）在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 31．（2024高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 32．（2024高三上·河北唐山·阶段练习）已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 33．（2024高一下·山西晋中·期中）方程的一个解可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 34．（2024高二下·陕西西安·期中）已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求. 35．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为 . 36．（2024·全国·模拟预测）在复数范围内方程的根为，，则（    ） A． B． C．2 D．1 37．（2024高一下·山东青岛·期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 . 38．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）若复数是实系数一元二次方程的一个根，则 . 一、单选题 1．（2024高三上·辽宁·阶段练习）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川雅安·一模）复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 4．（2024高三上·全国·阶段练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．2 5．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2024高二下·广西钦州·期末）等于（    ） A． B． C． D． 7．（2024·西藏拉萨·一模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2024·全国·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D． 9．（2024·贵州黔东南·一模）已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2024·河南·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 11．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B．2 C． D．10 12．（2024高三上·辽宁朝阳·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（    ） A．3 B． C．2 D． 14．（2024高一·全国·课后作业）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．（2024高三上·江苏·期末）已知复数（为虚数单位），则复数（　　 ） A． B． C． D． 16．（2024·全国·模拟预测）设复数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024高二上·湖南·阶段练习）若复数，则（    ） A．5 B． C．10 D． 18．（2024高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2024高三上·江苏无锡·阶段练习）已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 20．（2024高三上·福建·期中）若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 C．的虚部为 D． 21．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 22．（2024高一下·山东济宁·期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A． B．是纯虚数 C．若，则 D．若，则的最大值为2 三、填空题 23．（2024高三上·天津·期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 . 24．（2024高三上·天津静海·阶段练习）已知复数是纯虚数，则实数 . 25．（2024高三上·上海宝山·期中）复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ． 26．（2024·河南开封·二模）已知复数满足，写出一个满足条件的复数 ． 27．（2024高一下·河南驻马店·期末）已知复数，则 . 28．（2024高一下·河北衡水·期末）若复数：，则 ． 四、解答题 29．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值； （2）i是虚数单位，，，若，求复数z． 30．（2024高一下·陕西西安·期中）计算下列各题: (1)； (2). 31．（2024高一下·新疆喀什·期末）计算： (1)； (2). 32．（2024高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3). 33．（2024高一下·辽宁·期末）已知复数，，． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求． 34．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）已知复数满足． (1)求； (2)比较与的大小． 35．（2024高一下·湖北武汉·期末）（1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 36．（2024高一下·江苏常州·阶段练习）已知复数均为锐角，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题17 复数的四则运算8题型分类 一、复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 二、复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 三、复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 四、复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i(c＋di≠0). （一） 复数代数形式的加、减运算 解决复数加减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 题型1：复数代数形式的加、减运算 1．（2024高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案； 【详解】（1） （2） （3） （4） 2．（2024高三下·山东·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得. 故选：B 3．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可. 【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为， 位于第二象限. 故选：B 4．（2024高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)0 (4) (5) (6) 【分析】根据复数的加减运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. （5）由题意可得：. （6）由题意可得：. （二） 复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变. 题型2：复数加减法的几何意义 5．（2024高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 6．（2024高一·全国·课后作业）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 7．（2024高一·全国·课后作业）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)5 (2)7 【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得，，则，从而得到其对应的复数； （2），则，利用平行四边形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量， 对应的复数为,所以向量， ， ， ， 点对应的复数为5 . （2）， ， ，， . 故平行四边形面积为7. 8．（2024高一下·山东日照·期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为 . 【答案】16 【分析】由已知可得，，，再求出复数的模，从而可得的周长 【详解】因为，，， 所以，，. 所以的周长为. 故答案为：16 【点睛】此题考查复数的模的运算，属于基础题 9．（2024高一·全国·课后作业）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,. (1)求对应的复数. (2)求对应的复数. (3)求对应的复数. 【答案】(1).(2).(3) 【解析】根据复数的几何意义及复数的加减运算法则计算可得. 【详解】解：(1)因为,所以表示的复数为. (2)因为,所以表示的复数为. (3),所以对应的复数为. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的加减运算，属于基础题. 10．（2024高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【详解】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选： （三） 复数代数形式的乘法运算 (1)两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开. ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 题型3：复数代数形式的乘法运算 11．（2024高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，（i为虚数单位），则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】 根据复数的乘法公式及复数相等即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选:C. 12．（2024高二上·福建莆田·阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于 . 【答案】 【分析】根据的运算性质以及复数的乘法运算法则求解出，然后根据模长公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13．（2024高三上·北京顺义·阶段练习）已知复数，则复数z的虚部为 ， ． 【答案】 1 【分析】直接由复数的乘法运算、复数的虚部概念以及模的计算公式即可求解. 【详解】由题意， 所以复数z的虚部为1，. 故答案为：1，. 题型4：复数的高次运算 14．（2024高三上·湖南永州·阶段练习）设（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为 ，结合复数模的计算同时，即可求解. 【详解】由复数 ，所以. 故选：A. 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足：，则（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据得出的表达式即可求出. 【详解】由，,得 ， 所以． 故选：A． 16．（2024高三上·江苏苏州·阶段练习）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】计算，设，则，，根据得到答案. 【详解】， 设，则，，， ，故复数对应的点在第四象限. 故选：D 17．（2024高一下·河北邢台·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据虚数乘方性质和复数的运算法则即可求解. 【详解】， 故选：B. （四） 复数代数形式的除法运算 (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式. ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数. ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①＝－i； ②＝i； ③＝－i. 题型5：共轭复数 18．（2024·云南·一模）已知复数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】先应用复数乘法得出，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】由题意可得，所以，故的虚部为. 故答案为：. 19．（2024高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 20．（2024高一下·四川内江·期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】由题意可知，复数的共轭复数为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 题型6：复数代数形式的除法运算 21．（2024·广东·一模） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算计算即得. 【详解】. 故选：A 22．（2024·浙江·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数乘法运算和复数相等可求得，再由可得结果. 【详解】设，则， ，， . 故选：D. 23．（2024高三下·重庆大足·阶段练习）设为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 利用复数的除法和乘方运算来计算. 【详解】, 则. 故选：B. 24．（2024高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的四则运算法则化简即可； （2）先化简和，然后分别化简和即可. 【详解】（1） （2）因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以 （五） 在复数范围内解方程 设z1＝a＋bi是一元二次方程的根，则z2＝a－bi亦是该方程的根. 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数. 题型7：在复数范围内因式分解 25．（2024高一下·江苏南京·期中）将在复数范围内因式分解为 . 【答案】 【分析】先求解判别式，再利用求根公式得出两个根，写出因式分解式即可. 【详解】令， ，所以， 即. 故答案为: . 26．（2024高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【详解】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 27．（2024高一下·上海嘉定·期末）在复数范围内分解因式= . 【答案】 【分析】先求得的根，然后进行因式分解. 【详解】由得， 解得， 所以. 故答案为： 28．（2024高一下·上海普陀·阶段练习）在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】解： 故答案为： 29．（2024高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式. 【详解】（1） （2） （3）∵   ∴   ∴   题型8：在复数范围内解方程 30．（2024高一·湖南·课后作业）在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接由求根公式或配方法求解，利用开方即可. 【详解】（1）由求根公式得 （2）由求根公式得 31．（2024高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 32．（2024高三上·河北唐山·阶段练习）已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】由实数系方程中根的性质及根与系数关系有，即可求结果. 【详解】由题意，即. 故选：B 33．（2024高一下·山西晋中·期中）方程的一个解可以是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的概念直接运算即可. 【详解】因为，所以，所以或， 所以方程的一个解可以是. 故选：B 34．（2024高二下·陕西西安·期中）已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的特征即可求解， （2）根据复数根的求解，进而由模长公式即可求解. 【详解】（1）为纯虚数，所以 （2）方程变形为，所以， 所以 35．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为 . 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】因为是关于x的方程的一个根，且， 所以是关于x的方程的另一个根， 而且， 故答案为： 36．（2024·全国·模拟预测）在复数范围内方程的根为，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据复数系方程求，再结合模长公式运算求解. 【详解】由得，解得或， 若，则；若，则； 综上所述：. 故选：B． 37．（2024高一下·山东青岛·期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】把代入方程并化简，利用复数相等的概念得到的值，即得的值． 【详解】把代入方程得， 所以， 所以， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 38．（2024高一下·山东菏泽·阶段练习）若复数是实系数一元二次方程的一个根，则 . 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用方程根的意义，结合复数乘方运算求解作答. 【详解】方程化为：， 依题意，. 故答案为：10 一、单选题 1．（2024高三上·辽宁·阶段练习）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解. 【详解】， 所以，解得， 故选：A. 2．（2024高三上·江苏·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出的代入形式，进而可得其共轭复数. 【详解】， 所以. 故选：B． 3．（2024·四川雅安·一模）复数，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算和复数模的定义即可得到答案. 【详解】，则， 故选：C. 4．（2024高三上·全国·阶段练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算化简，即可利用模长公式求解. 【详解】． 故选：B． 5．（2024高三下·陕西安康·阶段练习）已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解. 【详解】因为 ，所以， 由，得 ，即 ； 故选：B. 6．（2024高二下·广西钦州·期末）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由复数的减法运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 7．（2024·西藏拉萨·一模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】化简后，得到方程与不等式，求出. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 故选：D． 8．（2024·全国·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解. 【详解】因为可化为， 所以点的坐标为，则， 所以， 所以． 故选：A． 9．（2024·贵州黔东南·一模）已知复数，，则的实部与虚部分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案. 【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，. 故选：A 10．（2024·河南·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】先求出复数的代数形式，再求即可. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：B. 11．（2024高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模. 【详解】因为，即，即， 因为，，所以，解得， 所以. 故选：A 12．（2024高三上·辽宁朝阳·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 根据复数的运算可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：， 所以该复数对应的点为，该点在第四象限. 故选：D. 13．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 由复数的几何意义可得，再根据题意计算复数的模即可. 【详解】因为复数对应的向量，所以， 所以. 故选：. 14．（2024高一·全国·课后作业）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由得，或，可知“”是“”充分不必要条件. 【详解】充分性：若，则； 必要性：若则， 则，得，或，故不满足必要性 综上“”是“”充分不必要条件， 故选：A 15．（2024高三上·江苏·期末）已知复数（为虚数单位），则复数（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据复数代数形式的乘法与乘方运算化简即可. 【详解】 因为， 所以. . 故选：A 16．（2024·全国·模拟预测）设复数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等可以求参即可. 【详解】由题意，得， ∴解得或∵，∴． 故选:B． 17．（2024高二上·湖南·阶段练习）若复数，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果 【详解】因为，所以. 故选：B. 18．（2024高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数的模长公式可得出，求出的取值范围，可得出的最小值，进而可得出的值，由此可得出复数的值. 【详解】设，则， 所以，，即， 所以，，可得，解得， 当的虚部取最小值时，即当时，则，解得， 故， 故选：A. 二、多选题 19．（2024高三上·江苏无锡·阶段练习）已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【答案】CD 【分析】根据复数的虚部即可判断A，根据复数的乘法以及模长公式即可判断BC，根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】由题意可得，所以的虚部为，A错误， ，故，B错误， ，C正确， 表示点到的距离不大于1的点构成的图形，故为以为圆心，以1为半径的圆以及内部，故面积为，D正确， 故选：CD 20．（2024高三上·福建·期中）若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 C．的虚部为 D． 【答案】AB 【分析】利用复数的乘方及加减运算求出复数，再逐项判断即得. 【详解】依题意，， ，A正确； 在复平面内对应的点在第四象限，B正确； 复数的虚部为，C错误； ，D错误. 故选：AB 21．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可. 【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确； B：取，，满足，但，故本选项错误； C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确； D：取，，则，，此时且，故D不正确． 故选：AC 22．（2024高一下·山东济宁·期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A． B．是纯虚数 C．若，则 D．若，则的最大值为2 【答案】AD 【分析】利用复数的运算法则判断A的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算法则判断C；利用复数模的几何意义判断D． 【详解】解：因为复数与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以，A正确； 当为实数时，也为实数，则是实数，B错误； 若，则，C错误； 若，设，即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确， 故选：AD． 三、填空题 23．（2024高三上·天津·期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 . 【答案】 【分析】 l利用纯虚数的概念可求的值，再结合复数除法运算可求复数的值. 【详解】因为复数为纯虚数，可得，所以. 故答案为: . 24．（2024高三上·天津静海·阶段练习）已知复数是纯虚数，则实数 . 【答案】1 【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数. 【详解】由题意， 由题意复数是纯虚数，则且，解得. 故答案为：1. 25．（2024高三上·上海宝山·期中）复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则 ． 【答案】 【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可. 【详解】由题设为实数，故， ，故， 所以. 故答案为： 26．（2024·河南开封·二模）已知复数满足，写出一个满足条件的复数 ． 【答案】（答案不唯一，虚部为即可） 【分析】设复数，代入复数的模的公式求解即可. 【详解】设，（，）， 则， ， ∵，∴， ∴，化简得，解得. ∴满足条件的一个复数（答案不唯一，虚部为即可）. 故答案为：（答案不唯一，虚部为即可）. 27．（2024高一下·河南驻马店·期末）已知复数，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，先求得与，将复数化简，然后结合复数的乘法运算即可得到结果. 【详解】由题意可得，， ， 则， 所以. 故答案为：. 28．（2024高一下·河北衡水·期末）若复数：，则 ． 【答案】2 【分析】利用，先得到，然后求出. 【详解】因为，，，，且， 所以 ， 所以． 故答案为：2． 四、解答题 29．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值； （2）i是虚数单位，，，若，求复数z． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用复数的概念，待定系数计算即可； （2）根据复数的四则运算法则计算即可. 【详解】（1）由， 是纯虚数，所以； （2）由. 30．（2024高一下·陕西西安·期中）计算下列各题: (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可； （2）利用复数的四则运算求解即可. 【详解】（1） . ； （2） . . 31．（2024高一下·新疆喀什·期末）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数乘法与加减法运算即可； （2）利用复数乘方、除法加减运算即可 【详解】（1） . （2） . 32．（2024高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)-7 (3). 【分析】根据复数的加减运算法则即可求解 【详解】（1）； （2）； （3）. 33．（2024高一下·辽宁·期末）已知复数，，． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算，然后由其为纯虚数，可得实部为零，虚部不为零，从而可求出的值； （2）由可复数为实数，则虚部为零，实部大于零，求出的值，从而可求出复数，进而可求得. 【详解】（1）由题意得， 因为是纯虚数，所以，得． （2）因为，所以，得． 故． 34．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）已知复数满足． (1)求； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入化简，再根据复数相等的条件列方程组可求出，从而可求出复数； （2）将分别代入计算即可. 【详解】（1）设， 则由，得， 即，所以 解得， 所以． （2）， ， 因为， 所以， 所以． 35．（2024高一下·湖北武汉·期末）（1）设，在复平面内对应的点为，那么求满足条件：的点的集合的图形面积； （2）已知复数， ，且，求的范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用复数的几何意义，结合圆的面积公式即可得解； （2）利用复数相等得到关于的方程组，从而得到关于的表达式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由复数的几何意义知：满足条件的点的集合的图形为圆环， 其中大圆半径为，小圆半径为， 故所求面积为. （2）因为， ，且， 所以，所以且， 故， 因为，， 所以当时，有最小值为， 所以范围为. 36．（2024高一下·江苏常州·阶段练习）已知复数均为锐角，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，利用即可求出的值；（2）利用平方关系求出，，再利用和差角公式即可求得. 【详解】（1）因为复数，所以. 所以 因为，所以，解得：. （2）因为均为锐角，所以， 所以. 因为为锐角，，所以. 所以 . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$