7.2 复数的四则运算教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 课题 复数的四则运算 教学目标 1.掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归的数学思想方法，发展数学运算素养。 2.发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方法。 3.了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直观想象素养。 4.了解在复数集中求解一元二次方程的方法。 教学内容 教学重点： 1. 复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律。 2. 复数加、减运算的几何意义。 教学难点： 1. 复数减法的运算法则。 2. 复数除法的运算法则。 教学过程 【复习】请快速化简下列式子： （1） （2） （3） （4） 引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算，那么，复数有哪些运算呢? 【猜想】已知，那么你能将其进行推广吗？ 【学习新知】 1、 复数的加法、减法运算： （1） 复数的加法运算法则： 设是任意两个复数，那么我们规定： ； 【探究学习】复数有它的几何意义，那么复数的加法有什么几何意义呢？ 设复数在复平面上所对应的向量分别为，易知的坐标分别为 以为邻边作平行四边形，则对角线OZ对应的向量是由复数加法法则和向量加法法则可知向量对应的复数即为，这就是复数加法的几何意义。 【类比学习】已知，那么呢？你能将其进行推广吗？ 首先类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi（x，y∈R）叫做复数a+bi（a，b∈R）减去复数c+di（c，d∈R）的差，记作(a+bi)-(c+di)． 　　然后依据复数的加法、复数相等的定义，c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d. 　　所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. （2） 复数的减法运算法则： 设是任意两个复数，那么： 【探究学习】根据复数加法的几何意义，探究复数减法的几何意义。 以为邻边作平行四边形则对角线对应的向量是对应的复数即为，这就是复数加法的几何意义。 【类比猜想】在实数中，加法存在两个运算律，你还记得吗？在复数中，该运算律还成立吗？ （3）复数的加法运算律：（同学们自己动手证明） ； . 例1 计算. 例2  根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离． 【练习】课本练习1、2、4 【巩固提高】已知，则的最小值为__________ 解：由|z﹣5+12i|≤2得|z﹣（5﹣12i）|≤2， 则z的几何意义为以C（5，﹣12）为圆心，半径为2的圆及圆 的内部，则对应的图象为： 则|z|的几何意义为区域内的点到原点的距离， 则由图象知|z|的最小值为|OA|=|OC|﹣2=﹣2=13﹣2=11， 故选：C． 【猜想】已知，那么你能将其推广吗？ 【学习新知】 二、 复数的乘法运算： （1）复数的乘法运算法则： 设是任意两个复数，那么它们的积.（类比多项式的运算即可） （2）复数乘法的运算律：（学生动手证明） 对于，有： ， ， . 例3 计算： （1） （2）； （3）. 【练习】课本练习1、2 【类比探究】类比复数减法运算法则的规定，你怎样来规定复数除法的运算法则？ 三、复数的除法运算： 复数的除法法则： ，且. 在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”. 例4 计算. 【练习】课本练习3 【巩固提高】已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z． 解析：由z1=1﹣2i，z2=3+4i， 得=+= =， 则z=； 例5 在复数范围内解下列方程： （1） ； 【变式】+2x+2=0 （2），其中，且. 解：（1）因为，所以方程的根为. （2）将方程的二次项系数化为1，得. 配方，得， 即. 由，知. 类似（1），可得. 所以原方程的根为. 【推广延伸】你能总结出：在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式吗？ 在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为： （1）当时，； （2）当时，. 【练习】课本练习4 【小结】 （1） 复数的四则运算与多项式的四则运算有哪些异同点？ （2） 复数的加法运、乘法运算律与实数的加法、乘法运算律有哪些异同点？ 学科网（北京）股份有限公司 $$