浙江省杭州学军中学(港区)2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

杭州学军中学（港区）2024年12月月考数学试卷 命题人：尉贵生、王瑛 一、单选题（每小题5分） 1. 已知复数z满（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆外，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是红球” C. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D. “至少有一个黑球”与“都是黑球” 5. 函数的部分大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为．点P在C上且位于第一象限，圆（与线段的延长线，线段以及x轴均相切，的内切圆为圆．若圆与圆外切，且圆圆的面积之比为9，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ） A. 直线与直线AF异面 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D. 三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的 10. 已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（ ） A. 动点P的轨迹方程为 B. 直线为成双直线 C. 若直线与点P的轨迹相交于A，B两点，点M为点P的轨迹上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，则 D. 点M为点P的轨迹上的任意一点，，则面积为 11. 已知实数x、y，令，下列说法中正确的是（ ） A. 当且时，的最小值为 B. 当且取最小值时，有序数对的值有4个 C. 当时，满足的点的轨迹关于对称 D. 当时，满足的点到原点距离的最大值为 三、填空题（每小题5分） 12. 若两条直线与平行，则与间的距离是______. 13. 已知抛物线和圆，过焦点F作直线l与上述两曲线自左而右依次交于点A，C，D，B，则与的乘积为_______． 14. 若关于x的方程有实数解，则正数a的最大值为_______． 四、解答题（13+15+15+17+17） 15. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 16. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 17. 如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，. （1）求证：平面； （2）若平面平面，，且四棱锥的体积是，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在锐角中，已知，点M是线段AB的中点，且． （1）求角C； （2）求边c的取值范围． 19. 如图，已知点是抛物线上两点，斜率为的直线l与抛物线相交于两点，记直线的斜率分别为和． （1）求证：； （2）若点A到直线的距离分别为，且，当的面积为时，求m的值. 杭州学军中学（港区）2024年12月月考数学试卷 命题人：尉贵生、王瑛 一、单选题（每小题5分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（每小题6分） 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（每小题5分） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】 四、解答题（13+15+15+17+17） 【15题答案】 【答案】（1），20.32小时 （2）21.73小时 （3） 【16题答案】 【答案】（1）；（2）18. 【17题答案】 【答案】（1） ∵平面，过的平面交平面于， ∴，又∵，∴四边形为菱形 ∴，∵平面，平面，∴平面. 又∵四边形为菱形，∴同理平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 证明：设直线的方程为，即. 联立，消得， 判别式，即， 由，得，设， 由韦达定理得，又 由题意得 ， 将韦达理代入化简得 ， 故得证. （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $