精品解析：福建省福州市长乐第一中学2024届高三上学期阶段一考试数学试题

2023—2024学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中三年级数学科试卷 审核教师：高三数学集备组 考试日期：10月7日完卷时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为全集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合交并补的运算即可判断每个选项的正误. 【详解】 如图，因为，所以，故A错误； 因为，故B错误； 因为，所以，，故C错误； 因为，所以，，故D正确. 故选：D. 2. 若复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式以及的周期性即可求解. 【详解】， 故选：A 3. 已知数列是正项等比数列，数列满足．若，（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解. 【详解】因为数列是正项等比数列，设公比为， 由得，所以， 所以 . 故选：C 4. 柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值. 【详解】由题意有：， ∴，又， ∴. 故选：A. 6. 四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果. 【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同， 当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时， 当对应等比数列的第一项与第四项时，此时， 当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时， 当对应等比数列的第三项与第二项时，此时， 当对应等比数列的第二项与第三项时，此时， 当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时， 当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时， 当对应等比数列的第四项与第一项时，此时. 故选：C. 7. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可. 【详解】因为函数在内单调递减，是函数的一条对称轴， 所以有， 所以， 因为是奇函数， 所以，由可得：， 而，所以， 当时，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递减，符合题意， 所以； 当时，， 因为，所以， 即， 当时，，显然此时函数单调递增，不符合题意， 故选：D 8. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求出，进而得到，，从而求出，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由正弦定理得， 因为，，， 所以，故， 则， 因为， 所以，， 故， 故. 故选：D 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案. 【详解】A选项，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误. B选项，因为由，得，即， 命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误. C选项，； 所以，所以“”是“”的充分不必要条件， 所以C选项正确. D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件， 所以D选项正确. 故选：CD 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据对数运算、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】依题意，，则，， 所以， 所以，所以A选项正确. ，所以B选项正确. ， 则，所以，所以C选项正确. ， 所以 ，所以D选项错误. 故选：ABC 11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. 数列中的最小项为 C. 数列是等差数列 D. 设，则当或时数列的前项和取最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，进而可得是等差数列，进而求得公差可判断A；求得通项公式可得数列前10项为正，从11项起为负，可判断B；计算可得，可判断C；由B选项可得的前8项为正，第9项为负，第10项为正，第11起全为负，计算可判断D. 【详解】由可得 两式相减可得， 又当时，，又解得， 所以，所以， 所以是等差数列，首项为，公差为， 所以是递减数列，故A正确； 所以数列的通项公式为， 令，解得，所以数列前10项为正，从11项起为负， 所以数列的前项和的最大值为，故B错误； 因为所以是等差数列，首项为，公差为， 所以，所以， 所以，所以数列是等差数列，故C正确； 由B选项可知，数列前10项为正，从11项起为负， 又，所以的前8项为正，第9项为负，第10项为正，第11起全为负， 又，， 所以当或时数列的前项和取最大值，故D正确. 故选：ACD. 12. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 则由，得. 对于A：设，， 则在区间上，，为增函数， 所以由题意可得，所以，故A正确； 对于B：由，得,故B错误； 对于C：由A可知在区间上为增函数， 且，则，即, 则, 由,得, 令,则, 所以在上单调递增, 所以, 所以,故C错误； 对于D：又, 令, 则, 所以在上单调递增,所以， 所以, 又，且, 令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 综上可得，故D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点睛： 本题关键点在于构造函数，利用导数求其单调性，从而可得. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若向量，满足，，且，则与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】由， 由， 因为，所以 故答案为： 14. 若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“使”为假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 若函数是上的增函数，则实数a的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，问题转化为在上恒成立，即，设，求得函数的最值，从而可得实数a的最值. 【详解】的定义域为，若在上单调递增， 则恒成立，即 设，则， 当时，，函数在上单调递减; 时，，函数在上单调递增， 故，所以， 故实数a的最大值为. 故答案为：. 16. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，用表示，以及面积，结合基本不等式即可求得结果 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则， 设，则，,故， 而为直角三角形， ∴， ∴，∴， ∴ . 当且仅当，即时，此时，满足， 即时，的面积取最大值，最大值为. 故答案为：. 四、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列和等比数列满足 （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合､，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】（1），；（2）4081. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出的通项公式； （2）的前50项中含有的前7项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出． 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为 所以，解得，， （2）因为，，， 所以的前50项中含有的前7项且含有的前43项 18. 已知函数 （1）若其图象在点处的切线方程为，求，的值； （2）若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，且，由此即可得解. （2）一方面：由题意，且至少有两个零点（否则单调递增没有极值点）；另一方面：由题意在上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解. 【小问1详解】 点在切线上， ，① ，，② 联立①②解得，. 【小问2详解】 依题意有，，， 且，； 又，， 则时，，即， 令，，求导得，所以单调递增， ； 又，所以的取值范围为. 19. 已知向量，，设，且的图象关于点对称. （1）若，求的值； （2）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可； （2）根据函数的对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 若的图象关于点对称，则， ，. ，. 若，则，同理可得. ； 【小问2详解】 若函数的图象与的图象关于直线对称，则 . 因为，所以， 而在上的值域为， 则，即， 因为，所以， ，故的取值范围为 20. 设的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出，即可求; (2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出，即可求面积. 【小问1详解】 由正弦定理得： ， 即， 即， 即. 因为，所以，所以. 因为， 所以. 【小问2详解】 面积， 代入，和，整理得：①， 由余弦定理：，得： ， 即②， ①②联立可得：，解得：或（舍去）， 所以. 21. 已知数列满足，，其中. （1）设，求证：数列是等差数列. （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和. （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：， ，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列； （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）结合递推关系，证明为常数即可； （2）由错位相减法求和； （3）命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对n分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设， 则①， ②， ①-②得， ∴； 【小问3详解】 存在，理由如下： ，，则， 若对任意的，都有，则等价于恒成立，即恒成立， ，当n为偶数时，，则； 当n为奇数时，时，则. 综上，存在，使得对任意的，都有. 22. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时无极值点；当时有两个极值点； 当时有一个极小值点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数极值的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法构造函数，根据导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，，. 令，方程的判别式为， ①：当即时，，单调递增，无极值点； ②：当即时，函数有两个零点，， （i）当时.，，当时，单调递减， 当时，单调递增，有一个极小值点； （ii）当时，， 当与时，单调递增， 当时，单调递减，有两个极值点. 综上：当时无极值点；当时有两个极值点； 当时有一个极小值点. 【小问2详解】 不等式恒成立，即. ，令，， . 令，，则需， 当时，，单调递增，又， 时，不合题意，. 当时，单调递减，当时单调递增，. 而，， 又由可得， 所以需， 令，，当时单调递增， 当时单调递减， ， . 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据换元法把变形为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中三年级数学科试卷 审核教师：高三数学集备组 考试日期：10月7日完卷时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为全集的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 已知数列是正项等比数列，数列满足．若，（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 40 4. 柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若则下列说法正确的是（ ） A. 是递减数列 B. 数列中的最小项为 C. 数列是等差数列 D. 设，则当或时数列的前项和取最大值 12. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若向量，满足，，且，则与的夹角为___________. 14. 若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________. 15. 若函数是上的增函数，则实数a的最大值为________． 16. 设矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积是__________. 四、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知等差数列和等比数列满足 （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合､，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 18. 已知函数 （1）若其图象在点处的切线方程为，求，的值； （2）若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围. 19. 已知向量，，设，且的图象关于点对称. （1）若，求的值； （2）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 20. 设的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 21. 已知数列满足，，其中. （1）设，求证：数列是等差数列. （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和. （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 22. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $