精品解析：云南省红河州、文山州2025届高三第一次复习统一检测数学试题

红河州、文山州2025届高中毕业生第一次复习统一检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，且抛物线的焦点与重合.若为双曲线上一点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢（H）、氧（O）、钠（N）、镁（Mg）、铝（Al）、硅（Si）、磷（P）、硫（S）、氯（C1）、钾（K）这10种，现从这10种元素中随机选取3种，若选取的3种元素中至少包含1种金属元素，则不同选取方法种数是（ ） A. 60 B. 85 C. 100 D. 120 6. 函数是（ ） A. 偶函数且在上单调递减 B. 奇函数且在上单调递减 C. 偶函数且上单调递增 D. 奇函数且在上单调递增 7. 已知，使得命题“曲线在点处切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为了了解高三学生参加志愿者活动的次数，随机抽取了该年级30名学生，对他们参加志愿者活动的次数进行了统计，并绘制成了如下统计图.则下列对这30名学生参加志愿者活动的次数的叙述正确的是（ ） A. 极差是7 B. 众数是8 C. 第一四分位数是7 D. 平均数是9 10. 已知为坐标原点，为圆上的动点，点，则下列选项正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 线段中点的轨迹方程为 C. 若圆关于直线对称，则 D. 当最小时， 11. 记中的内角，，所对的边分别为，，，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，的周长为，则一定为等边三角形 C. 若是锐角三角形，且，则面积的取值范围是 D. 若，则内切圆周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则的虚部为______________. 13. 已知函数图象的一个对称中心是，则____________；写出函数图象的一条对称轴的方程_____________. 14. 已知函数，，用表示，中的较大者，记作，若，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面平面，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 16. 设数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，例如：.求集合中元素的个数. 17 已知函数，其中. （1）当时，求函数的极小值； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 18. 为节约水资源，某市对居民用水实行“阶梯水价”制度，其标准如下： 项目 月用水量 基础水价 （元/m3） 污水处理价 （元/ m 3） 到户综合水价 （元/ m 3） 第一阶梯 不超过15 m 3的部分 3.3 1.1 4.4 第二阶梯 超过15 m 3但不超过27 m 3的部分 4.9 1.1 6.0 第三阶梯 超过27 m 3部分 6.4 1.1 7.5 例如：该市某户居民家庭某月用水量为18 m 3，则其该月应缴纳的综合水费（包括基础水费、污水处理费）合计为（元）. （1）若该市某户居民某月用水30 m 3，则该月应缴纳的综合水费为多少元？ （2）为了解该市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了该市100户居民某月的用水量数据（单位：m 3），整理得到如下频数分布表： 月用水量 频数 14 18 28 18 12 5 5 （ⅰ）若该市相关部门采取分层抽样的方法，在这100户居民中，从月用水量在和两组内选10户居民参与节水宣传活动，并决定在这10户居民中按抽签方式选出5户进行深度调研，设，分别为月用水量在和中被选中进行深度调研的居民户数，记随机变量，求的分布列和数学期望. （ⅱ）以上表中100户居民月用水量作为样本估计该市居民月用水量.现从该市随机抽取20户，记取到第一阶梯水量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值. 19. 法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根该圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆方程为，且为上一点. （1）求的方程； （2）过点作倾斜角互补的两直线分别交椭圆于，两点（异于点），求直线的斜率； （3）若为上的动点，，分别为的左、右焦点，过作的切线，判断的角平分线是否与垂直，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 红河州、文山州2025届高中毕业生第一次复习统一检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可. 【详解】由已知得：. 故选：A. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可； 【详解】由题意可知，且，所以，解得. 故选：C. 3. 已知圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式及体积公式化简得出最后计算母线即可. 详解】由，得， 由，得， 因为，解得，所以. 故选：B. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，且抛物线的焦点与重合.若为双曲线上一点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的性质，双曲线的性质，渐近线方程求解即可； 【详解】由题意知抛物线的焦点为，所以， 又渐近线方程为，所以， 又因为，所以，所以. 故选：A. 5. 在自然界广泛存在且较为常见的元素包含氢（H）、氧（O）、钠（N）、镁（Mg）、铝（Al）、硅（Si）、磷（P）、硫（S）、氯（C1）、钾（K）这10种，现从这10种元素中随机选取3种，若选取的3种元素中至少包含1种金属元素，则不同选取方法种数是（ ） A. 60 B. 85 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数的计算先求出总的选取方法，再求出全是非金属元素的选取方法，作差即可； 【详解】总的选取方法有种. 全是非金属元素的选取方法有种. 所以至少包含1种金属元素的选取方法有种. 故选：C. 6. 函数是（ ） A. 偶函数且在上单调递减 B. 奇函数且在上单调递减 C. 偶函数且在上单调递增 D. 奇函数且在上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的性质判断其奇偶性，再由复合函数的单调性结合对数的运算性质可得； 【详解】由题意可知，，所以的定义域为， ， 所以是奇函数. 由，， 由复合函数的单调性易知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：D. 7. 已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出曲线在点处的切线方程，联立得，使方程无解即可求出实数的范围，再根据充分不必要条件的定义即可确定选项. 【详解】因为，所以，则切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 因为切线与曲线没有公共点， 所以方程没有实数解， 当时，方程有唯一解，不满足题意， 当时，，可得. 综上所述，， 由是的真子集，符合题意. 故选：B. 8. 已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数求函数的最值. 【详解】如图： 设正四棱锥的高为，球的体积为，所以球的半径， 设正四棱锥的底面边长为，则，解得， 所以正四棱锥体积， 则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故当时，正四棱锥的体积取得最大值，最大值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据几何体的结构特征求出正四棱锥的底面边长与高的关系. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为了了解高三学生参加志愿者活动的次数，随机抽取了该年级30名学生，对他们参加志愿者活动的次数进行了统计，并绘制成了如下统计图.则下列对这30名学生参加志愿者活动的次数的叙述正确的是（ ） A. 极差是7 B. 众数是8 C. 第一四分位数是7 D. 平均数是9 【答案】BC 【解析】 【分析】根据统计图中数据求出极差、众数、第一四分位数以及平均数，对选项中结论逐一判断即可. 【详解】对于A，极差为，故A错误； 对于B，8出现10次，出现次数最多，众数是8，故B正确； 对于C，因，所以第一四分位数是第8个数7，故C正确； 对于D，平均数，故D错误. 故选：BC. 10. 已知为坐标原点，为圆上的动点，点，则下列选项正确的是（ ） A. 点在圆外 B. 线段中点的轨迹方程为 C. 若圆关于直线对称，则 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可求解A，根据相关点方法即可求解B，根据圆的对称性即可求解C，利用相切时，锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解D. 【详解】对于A，把点代入圆，可得，所以点在圆外，故A正确； 对于B，设点，线段中点为，则，即① 因为点在圆上，所以②，将①代入②式得， ，即， 整理得，故B错误； 对于C，圆的圆心在直线上，所以，，故C正确； 对于D，如图， 当与圆相切时（图中PQ位置），最小， 设，，则， ，因为，圆的半径， 所以， 所以，， ，故D正确. 故选:ACD. 11. 记中的内角，，所对的边分别为，，，已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，的周长为，则一定为等边三角形 C. 若是锐角三角形，且，则面积的取值范围是 D. 若，则内切圆周长的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用正弦定理及诱导公式得出角判断A,应用余弦定理计算边长即可判断B,应用锐角三角形得出角的范围，进而得出面积范围判断C,应用正弦定理结合三角恒等变换应用正弦函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，在中，由及正弦定理，得， 因为，所以， 又因为，所以，则，即，故A正确； 对于B，由及余弦定理，得， 因为的周长为，即，解得，所以为等边三角形，故B正确； 对于C，由正弦定理：，得和， 则， 因为是锐角三角形，所以，故， 则，即，故，即面积的取值范围为，故C错误. 对于D，由，及正弦定理：， 可得，，因为面积，周长， 所以内切圆半径 ， 由，得，所以， 即内切圆半径的取值范围为，则内切圆周长的最大值为，故D正确； 故选:ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则的虚部为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先应用复数乘法得出，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】由题意可得，所以，故的虚部为. 故答案为：. 13. 已知函数图象的一个对称中心是，则____________；写出函数图象的一条对称轴的方程_____________. 【答案】 ①. ②. （写出一个符合条件的即可） 【解析】 【分析】先把点代入函数化简得出再结合角的范围得出，再结合正弦函数的对称轴计算即可. 【详解】根据题意将代入，得： ，所以，因为，所以， 故， 由，解得：. 故所求对称轴方程为. 故答案为：；. 14. 已知函数，，用表示，中的较大者，记作，若，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得不等式恒成立，等价于，令，令，通过导数求函数的单调性并求最值即可. 【详解】由题意得不等式恒成立，等价于， 令，易知在是增函数， 且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面平面，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由三角形中位线定理结合线面平行的判定定理可得结论； （2）以为坐标原点，以的方向分别为轴，轴,轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，点为的中点，点为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 在中，，，，即， 因为，，由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 所以，，两两互相垂直，以为坐标原点，以的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，. 设为平面的一个法向量，则 ，即，令，则，， 所以， 取平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为，所以. 故平面与平面的夹角的大小为. 16. 设数列的前项和为，满足. （1）求数列通项公式； （2）在数学中，常用符号“”表示一系列数的连乘，例如：.求集合中元素的个数. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）利用求解即可； （2）先求出，再求解不等式即可. 【小问1详解】 当时，； 当时，由，得， 两式相减得：， 所以数列是以16为首项，为公比等比数列， 故； 【小问2详解】 由题可知： ， 又，所以集合 ， 故集合中元素的个数为9. 17. 已知函数，其中. （1）当时，求函数的极小值； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调性，求出极值即可； （2）将条件参变分离后转化为有两个不相等的实数根，即与函数的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性、值域即可求解. 【小问1详解】 由题可知：函数的定义域为， 当时，， 所以， 令，解得 则，，的变化情况如下表. 0 单调递减 单调递增 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值为； 【小问2详解】 因为，且关于的方程有两个不相等的实数根， 所以有两个不相等的实数根， 当时，显然不成立； 当时，即有两个不相等的实数根， 令，，则， 令，解得， 当时，；当时，； 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处可以取到最小值， 又由的零点仅有，且当趋近于0时，趋近于0， 所以，解得， 所以的取值范围为. 18. 为节约水资源，某市对居民用水实行“阶梯水价”制度，其标准如下： 项目 月用水量 基础水价 （元/m3） 污水处理价 （元/ m 3） 到户综合水价 （元/ m 3） 第一阶梯 不超过15 m 3的部分 3.3 1.1 4.4 第二阶梯 超过15 m 3但不超过27 m 3的部分 4.9 1.1 6.0 第三阶梯 超过27 m 3的部分 6.4 1.1 7.5 例如：该市某户居民家庭某月用水量为18 m 3，则其该月应缴纳的综合水费（包括基础水费、污水处理费）合计为（元）. （1）若该市某户居民某月用水30 m 3，则该月应缴纳的综合水费为多少元？ （2）为了解该市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了该市100户居民某月的用水量数据（单位：m 3），整理得到如下频数分布表： 月用水量 频数 14 18 28 18 12 5 5 （ⅰ）若该市相关部门采取分层抽样的方法，在这100户居民中，从月用水量在和两组内选10户居民参与节水宣传活动，并决定在这10户居民中按抽签方式选出5户进行深度调研，设，分别为月用水量在和中被选中进行深度调研的居民户数，记随机变量，求的分布列和数学期望. （ⅱ）以上表中的100户居民月用水量作为样本估计该市居民月用水量.现从该市随机抽取20户，记取到第一阶梯水量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】（1）160.5元 （2）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据阶梯收费的制度即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）利用二项分布的概率公式，利用不等式求解最值. 【小问1详解】 由题意可得，该户居民该月用水30立方米分三个阶梯收费， （元） 故该户居民该月应缴纳的综合水费为160.5元. 【小问2详解】 （ⅰ）由表可知：月用水量为和的用户分别为18户和12户， 根据分层抽样，参与节水宣传活动的居民总共抽10户， 所以用水量在的应抽取户，用水量在的应抽取户 根据题意选出5户进行深度调研，可知随机变量Z的可能取值为1，3，5. 故的分布列为 1 3 5 （ⅱ）根据题意，，则，， 令，解得即， 又，故当时，取得最大值. 19. 法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根该圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆方程为，且为上一点. （1）求的方程； （2）过点作倾斜角互补的两直线分别交椭圆于，两点（异于点），求直线的斜率； （3）若为上的动点，，分别为的左、右焦点，过作的切线，判断的角平分线是否与垂直，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由蒙日圆的性质结合点在椭圆上代入，列方程组求解即可； （2）设直线的方程，直曲联立用韦达定理分别表示出两点坐标，再结合斜率关系可得； （3）分的位置讨论，当不为椭圆的顶点时，代入椭圆方程得到切线方程，再由垂直关系得到的方程，然后验证在中，成立，由角平分线定理可得； 【小问1详解】 由题知，，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意知两直线斜率均存在， 设直线的方程为，即， 设，， 由得， , 则， 所以，， 同理可得，， 所以. 【小问3详解】 ①当不为椭圆的顶点时： 设，代入椭圆的方程可得， 则切线的方程为：， 即，所以， 设过与垂直的直线为，则， 所以的方程为：，令，得， 所以与轴交于，，， ， ， 因为在中，，由角平分线定理可知， 的角平分线与垂直； ②当为椭圆的左右顶点时： 垂直于轴，的角平分线与垂直； ③当为椭圆的上下顶点时： 平行于轴，的角平分线与垂直； 综上所述：的角平分线与垂直. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键在于把点代入椭圆，求出切线方程，再由垂直关系求出的方程，然后在中由角平分线定理验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$