17.1勾股定理在折叠问题中的应用 课件 2024--2025学年人教版八年级数学下册

勾股定理在折叠问题中的应用 对边平行且相等 例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． A C D B E Ｄ x 6 x 8-x 4 6 一、三角形中的折叠问题 x2+42=(8-x)2 x2+16=64-16x+x2 16x=48 x=3 折叠 找相等关系 10 根据勾股定理列方程 练习：如图，有一个直角三角形纸片，两直角 边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的 角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且 与AE重合，你能求出CD的长吗？ A C D B E x x 6 8 10 6 4 8-x x2+42=(8-x)2 x=3 x2+16=64-16x+x2 折叠 找相等关系 根据勾股定理列方程 例2：折叠长方形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求 EC的长 A B C D E F 8 10 10 6 X 8-X 4 8-X 二、长方形中的折叠问题 x2+42=(8-x)2 x2+16=64-16x+x2 16x=48 x=3 10 折叠 直角三角形 2.如图．在ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么为S△ACF=( ) A. 12 B. 15 C. 6 D. 10 1 2 3 解：由折叠知：∠1=∠2 AB∥CD得 ∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AF=CF 设AF=x,则CF=x,BF=8-x x x 8-x 4 由勾股定理得 （8-x)2+42=x2 64-16x+x2+16=x2 x=5 折叠 等腰三角形 D 如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E,A落在F处，折痕为MN，求折痕CN的长。 训练1:（基础训练23页第8题） A B C D F M N E x 8-x 8-x 4 由勾股定理得x2+42=(8-x)2 x2+16=64-16x+x2 x=3 长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处， 已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。 A B C D F E 8 10 8 10 10 6 x x 8-x 4 ? 训练2: 由勾股定理得x2=42+(8-x)2 x2+16=64-16x+x2 x=5 训练3:如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求折痕EF的长。 A B C D G F E H 9 3 x 9-x 9-x x2+32=(9-x)2 x=4 9-x=5 解： 5 5 4 1 3 如果三角形的三边长a，b，c有满足关系 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形 数 形 勾股数的条件：1.满足a2+b2=c2, 2.正整数 3，4，5是一组勾股数，那3k、4k、5k (k是正整数)也是勾股数吗？ 　　 如果a,b,c 为一组勾股数，则ak,bk,ck也是一组勾股数，其中k为正整数　 ∵(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=(5k)2 且3k、4k、5k为正整数 ∴3k、4k、5k也是勾股数 6、8、10是勾股数，9、12、15是勾股数 A M N P Q 30° 160 80 E 如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°, 点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时, 周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上 以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到 噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续 多长时间? ∵80＜100 ∴学校会受到噪音的影响 A M N P Q B D E 如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间? A M N P Q 30° B D 160 80 E 100 60 60 100 如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所 学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间? 18千米/小时=5米/秒 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 基础链接 文字语言 图形 符号语言 作用 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在Rt△ABC中，如果∠C=90°， 那么a2+b2=c2. 求直角三角形的边. 我们来看看一张矩形纸片折叠后的几何图形有哪些？ 图1 图3 图2 例1 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，点E是BC边上的一点，将矩形纸片沿AE折叠，使点B的对应点B′落在对角线AC上.求BE的长. （1）已知什么？求什么？ （4）如何在该直角三角形中求未知量？ （2）根据折叠有哪些等边和等角？ （3）所求的边或角在哪个直角三角形中？ 图1 例1 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，点E是BC边上的一点，将矩形纸片沿AE折叠，使点B的对应点B′落在对角线AC上.求BE的长. 解：设BE=x,则CE=8-x. 在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理得： ∴∠CB'E=90°， ∴△CB'E是直角三角形， ∵AC=10,AB'=6, ∴B'C=AC-AB'=10-6=4， 在Rt△CB'E中，∠CB'E=90°，根据勾股定理得： B'E2+B'C2=CE2,即x2+62=(8-x)2, 解得x=3.即BE=3. 图1 根据折叠的性质，得：△AB'E≌△ABE ∴AB'=AB=6,B'E=BE=x，∠AB'E=∠B=90°， 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 方法归纳 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 图1 图3 图2 图2 例2 如图2，在矩形纸片ABCD中，已知AB=6，AD=8。现将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B的对应点为B′，CB'与AD相交于点F.求AF的长. 方法点拨： ①明确已知和未知，设未知数x； ②根据折叠找等边和等角； ③找到目标直角三角形； ④把已知和未知转化到目标直角三角形中. 例2 如图2，在矩形纸片ABCD中，已知AB=6，AD=8。现将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B的对应点为B′，CB'与AF相交于点F.求AF的长. 解：设AF=x, 在矩形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD//BC, ∴∠1=∠2, ∴CF=AF=x, 在Rt△AB'F中，∠B'=90°，根据勾股定理得： B'F2+AB'2=AF2, 即(8-x)2+62=x2, 解得x= ∴△AB'F是直角三角， ∵∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3， ∴ AF的长为 图2 1 3 2 根据折叠的性质，得△AB'C≌△ABC, ∴AB'=AB=6,B'C=BC=8,∠B'=∠B=90°，∠1=∠3， 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 图2 例3 如图3，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC= ，点E是边BC上的一点，将△ABE沿AE折叠后得到△AB'E，延长AB'，交CD于点F，连接EF，再将△CEF沿EF折叠,此时C的对应点恰好与B'重合，求B'F的长. 图3 方法点拨： ①明确已知和未知，设未知数x； ②根据折叠找等边和等角； ③找到目标直角三角形； ④把已知和未知转化到目标直角三角形中. 例3 如图3，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC= ，点E是边BC上的一点，将△ABE沿AE折叠后得到△AB'E，延长AB'，交CD于点F，连接EF，再将△CEF沿EF折叠,此时C的对应点恰好与B'重合，求B'F的长. 图3 解： 设B'F=x， 在Rt△ADF中，∠D=90°，根据勾股定理得： 在矩形ABCD中，∠D=90°， ∴△ADF是直角三角形, AD2+DF2=AF2, 解得x=4,∴B'F=4. 根据折叠的性质得:△AB'E≌△ABE,△CEF≌△B'EF, ∴AB'=AB=6,CF=B'F=x， ∴DF=6-x，AF=6+x, 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 方法归纳 感谢您下载平台上提供的PPT作品，为了您和以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！ ibaotu.com 课堂小结 课后练习 1. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，且∠ACB=30°，点E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B的对应点B′ 落在对角线AC上.求BE的长. 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，点E在边BC上，且BE =10，点F在边AD上，将纸片沿EF折叠，使点B的对应点B' 落在边AD上. （1）求AF的长；(2)求折痕EF的长. 图4 图5 感谢大家！再见！ Lavf58.20.100 $$