精品解析：江苏省淮安市涟水县第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

涟水县第一中学2024-2025学年第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 2. 过两点，的直线的倾斜角是，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 4. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 6. 已知直线与.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9 8. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列数列是等比数列的是（ ） A. 1，1，1，1，1 B. 1，2，4，8，16 C. ，，，， D. ，，，0，1 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为8 D. 的周长为10 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______. 13. 已知等差数列的前项和为，且，则__________. 14. 直线与函数和的图象都相切，则________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）： 16. 求适合下列条件的曲线的标准方程： （1），焦点在轴上的椭圆； （2）顶点在原点，准线是的抛物线. （3），经过点，焦点在轴上的双曲线； 17. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 18. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. （1）求拋物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 19. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涟水县第一中学2024-2025学年第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算法则得到答案. 【详解】. 故选：B 2. 过两点，的直线的倾斜角是，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由过两点的斜率公式求解即可. 【详解】解：因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 3. 等差数列中，若，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和通项公式即可求解. 【详解】在等差数列中，有，所以， 公差， 所以， 故选：C. 4. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 5. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 故选：C. 6. 已知直线与.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 此时两直线方程分别为， 不重合，符合题意，所以. 故选：B 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ） A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 11或9 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 8. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题知, 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列数列是等比数列的是（ ） A. 1，1，1，1，1 B. 1，2，4，8，16 C. ，，，， D. ，，，0，1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为8 D. 的周长为10 【答案】AC 【解析】 【分析】利用椭圆方程可以得到椭圆的基本性质，即可判断. 【详解】由椭圆方程可知，焦点在轴，， 所以椭圆长轴长为，离心率为， 焦距为，的周长为，所以AC正确，BD错误. 故选：AC. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和运算法则逐一求解即可. 【详解】对于A，因为为常函数，则，故A正确； 对于B，若，所以，故B错误； 对于C，若，所以，故C正确； 对于D，若，所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线：，则双曲线的离心率是______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率. 【详解】双曲线：的实半轴长，虚半轴长， 则半焦距，所以双曲线的离心率. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，再根据题意列出基本量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，由， 所以，即，解得， 所以. 故答案为： 14. 直线与函数和的图象都相切，则________ 【答案】 【解析】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）： 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据初等函数求导法则求解即可； （2）根据两函数积的求导法则求解即可； （3）根据两函数商的求导法则求解即可； 【小问1详解】 解：因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以； 【小问3详解】 解：因为， 所以. 16. 求适合下列条件的曲线的标准方程： （1），焦点在轴上的椭圆； （2）顶点在原点，准线是的抛物线. （3），经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点的位置设标准方程，根据已知条件，结合，可解，即可得椭圆的标准方程； （2）根据抛物线的准线方程判断焦点位置，进而设出标准方程，利用准线方程可解，即可得抛物线的标准方程； （3）根据双曲线焦点的位置，以及，设出标准方程，将代入方程可解，即可得双曲线的标准方程. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，所以设其方程为， 由，得，则， 因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，抛物线的焦点在轴的负半轴上，则设其方程为， 由准线是，得，则， 因此，抛物线的标准方程为. 【小问3详解】 因为双曲线的焦点在轴上，且，所以设其方程为， 将代入方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 17. 已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解； （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以，， 所以； 因为，所以． 【小问2详解】 结合（1）可得： ． 18. 已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. （1）求拋物线的标准方程； （2）若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【小问1详解】 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 【小问2详解】 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 19. 已知数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）设，证明：. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）证明如下： 由（1）知，，， ， . 【解析】 【分析】（1）对取倒数，整理得，变形得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $