精品解析：安徽省淮南市第二中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

2025届高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且倾斜角为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 过点与圆相切两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. －5 B. －4 C. －3 D. －2 8. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积最大值为2 D. 周长的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 13. 画法几何学创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______. 14. 若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. （1）求椭圆的离心率； （2）直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 16. 已知点，在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两个不同的点（异于，），过作轴的垂线分别交直线，于点，，当是中点时，证明：直线过定点． 17. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 18. 已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）在中，求证：； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 2. 过点且倾斜角为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知直线的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】由题意可知：直线的斜率，且过点， 故直线的方程为，即． 故选：B． 3. 已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，利用斜率的坐标公式，结合点在椭圆上求出，进而求出离心率. 【分析】依题意，，， 设点，则，即， 依题意，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：A. 4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知切线的斜率存在，设出切线的方程，根据直线与圆的位置关系可得出，利用韦达定理得到两条切线的斜率、之间的关系，再由结合同角三角函数的基本关系可求得的值． 【详解】将圆化为标准方程为， 所以圆心为，半径为1， 根据题意及图形可知切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 则有，整理可得， 则， 设两切线的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，， 所以， 所以， 由题意可知，所以， 由，解得． 故选：D． 5. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案. 【详解】如图，由得，，所以直角三角形， 又由椭圆是中心对称图形，可知四边形是平行四边形，即， 又，，则，， 又因为，是直角三角形， 所以，即，即， 所以． 故选：B． 6. 若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】求得点关于直线的对称点坐标为，根据对称性可得，再结合圆的性质求最小值. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 即对称点，则， 因为反射光线与圆交于点，则， 当且仅当三点共线且点为靠近的交点时等号成立， 又因为，所以光线从点A到点经过的最短路线长为． 故选：C． 7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. －5 B. －4 C. －3 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义把焦半径进行转化，再把到圆上点的距离最值转化为到圆心，从而即可求两边之和的最小值了. 【详解】 在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1， 由椭圆的定义可得， 所以， 再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径， 所以有， 利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值， 所以有 故的最小值为－4. 故选：B． 【点睛】方法点睛：要利用椭圆的定义和圆的有关平面几何求最值的结论来求解. 8. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率. 【详解】由题意得，，渐近线方程为. 因为，所以直线方程为. 由得，即， 由得，即， 所以， ， 因为，所以，整理得， 所以双曲线的离心率. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，求出的最小值，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则， 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对； 对于C选项，当取最小值时，， 因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为， 联立可得，此时，点，线段的中点为， 因为，且， 所以，四边形为正方形，此时，， 且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对； 对于D选项，设， 因为，则， 因为，则，且为的中点， 所以，，且， 当时，取最小值，此时，， 故，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】直线与抛物线联立方程组，求出点，的坐标，由，求得，进而求得，即可判断ABC，求出原点到直线的距离，代入面积公式求解判断D. 【分析】如图，，直线的斜率为，则设直线的方程为， 联立得，解得：，． 由，得，故A错误； 由于，则，故C错误； 同理，故B正确； 因为直线的方程为，原点到直线的距离为， 所以，故D正确． 故选：BD． 11. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断. 【详解】依题意，，即， 由曲线过原点，得， 对于A，， 当且仅当时取等号，解得，即，A正确； 对于B，，即， 解得， 因此，B正确； 对于C，令，由，得， 则， 当且仅当时，有最大值1，，C正确； 对于D，，当且仅当， 即时取等号，因此在中，， 其周长，D错误． 故选：ABC 【点睛】关键点点睛： 解题关键在于数形结合思想的运用，既要化简曲线方程，又要结合图形， 关注图形经过的定点，区域范围，以及对称性等特点， 常运用基本不等式或函数的最值求解范围、最值问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点时的情况来求解的值. 【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程， 可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距，由，即， 两边平方得，解得，所以. 当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值. 由，即，两边平方得，（无解）.   所以的值为. 故答案为：. 14. 若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式可得，设，转化为与椭圆有公共点，由可求出的取值范围，即为的取值范围，进而可求得的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，等号成立， 令，即，代入椭圆方程得， 由，解得， ， 则，当时等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用绝对值不等式将问题转化为求的最值，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. （1）求椭圆的离心率； （2）直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，由题的周长为，据此可得答案； （2）先讨论两直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形的面积；再讨论两直线，的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得与，从而得到的关于的关系式，由此得解. 【小问1详解】 设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率. 【小问2详解】 由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为. ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积； ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，． 所以，． 所以． 设的方程为，同理可得． 所以四边形的面积 ， 因为，当且仅当时取等号． 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. 16. 已知点，在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两个不同的点（异于，），过作轴的垂线分别交直线，于点，，当是中点时，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所经过的点列方程求出其方程. （2）设出方程，结合韦达定理和是中点的条件，找到直线中两个参数的关系，从而求出定点． 【小问1详解】 由题知，又椭圆经过， 代入可得，解得， 故椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图： 由题意知，当轴时，不符合题意，故直线的斜率存在，设直线的生物方程为：， 联立，消去得：. 由，即. 设，，则，. 直线的方程为：，令得； 直线的方程为：，令得. 由为中点，得，即. 所以， 即， 即，得或. 当时，由，符合题意； 当时，此时直线经过点，与题意不符，舍去. 所以直线的方程为：，即，恒过定点. 17. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，代入的表达式，即可得出为定值； （3）根据（1）中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【小问1详解】 依题可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，，因为直线过点且斜率不为， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而． 【小问3详解】 由（1）知，设，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为， 所以点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点关于直线对称，以及椭圆过点，构造方程解得答案； （2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用直线与的斜率之积为，整理化简证明直线过定点，进而求出的轨迹是圆，把问题转化为圆上的点到椭圆左顶点距离的最大值问题，使问题得到解决. 【小问1详解】 设椭圆的中心关于直线的对称点， 则有 椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上， 又椭圆过点，可得，解得， 所以椭圆的方程. 【小问2详解】 设，由题意得直线斜率不为零，设， 由得，即， 所以 由，得，即， 所以，所以 ， 所以，化简得， 所以或， 若，则直线过椭圆的左顶点，不适合题意，所以， 所以过定点，因为为垂足， 所以在以为直径的圆上，的中点为，又， 所以， 所以的最大值为， 即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题是圆锥曲线过定点问题，属于难题，解决问题的关键点有两个，一是过定点问题不是显性的，比较隐晦，识别出来有困难，第二在由斜率的乘积是常数进行化简整理的过程中，计算直线过定点难度比较大，容易形成畏难心理导致计算失败. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）中，求证：； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）先求得点的轨迹方程，画出图象，从而求得点的轨迹所围成的图形面积. （2）根据绝对值三角不等式以及曼哈顿距离的定义证得不等式成立. （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则 如图，点的轨迹是一个边长为的正方形， 点的轨迹所围成的图形面积为. 【小问2详解】 设， 则 ， 当且仅当且时等号成立， 在中，. 【小问3详解】 点到直线的距离为. 设，则， 当时，，又此时，满足题意； 当时，， 又且恒成立，当且仅当时等号成立. 综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是和 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$