安徽省淮南市第二中学2024-2025学年高三上学期12月考试数学试题

2025届高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且倾斜角为的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. －5 B. －4 C. －3 D. －2 8. 过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点，两点（点A在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 13. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为______. 14. 若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. （1）求椭圆的离心率； （2）直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 16. 已知点，在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两个不同的点（异于，），过作轴的垂线分别交直线，于点，，当是中点时，证明：直线过定点． 17. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 18. 已知椭圆的左顶点为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上，且椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为为垂足，求的最大值. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）在中，求证：； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 2025届高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 证明：如图： 由题意知，当轴时，不符合题意，故直线的斜率存在，设直线的生物方程为：， 联立，消去得：. 由，即. 设，，则，. 直线的方程为：，令得； 直线的方程为：，令得. 由为中点，得，即. 所以， 即， 即，得或. 当时，由，符合题意； 当时，此时直线经过点，与题意不符，舍去. 所以直线的方程为：，即，恒过定点. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 设，，因为直线过点且斜率不为， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得， 其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而． （3） 由（1）知，设，则， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为， 所以点在定直线上. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）2 （2）证明：设， 则 ， 当且仅当且时等号成立， 在中，. （3）存在，和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $