广东省惠州市惠东县2024-2025学年上学期九年级数学期末考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 数学美是简洁性、对称性、统一性和奇异性的有机结合．下列曲线中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. x-2x-3=0 B. （x-2）（x+3）=0 C. x=5 D. x-2x+3=0 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到△，若点恰好落在线段上，、交于点D，则等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　） A. 14米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 8. 如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 图象关于原点对称 D. 在每一个象限内，y随x的增大而减小 10. 矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 13. 抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为_____． 14. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是__________度． 15. 如图，中，，，，以A为圆心长为半径作圆A，延长交圆A于点D，则长为 _____． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16. 用适当的方法解方程： 17. 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上． （1）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的OA1B1，并写出点A1的坐标． （2）求点A到点A1经过的路径长． 18. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________； （2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”，要求骑行、乘坐摩托车、电动车需要佩戴头盔，戴头盔对保护乘坐电动车的未成年人的安全尤为重要，某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价（元/个）满足函数关系． （1）设专卖店月销售利润为元，求与之间的函数解析式； （2）求该专卖店月销售利润的最大值． 20. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 21. 【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】40 【15题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 （1）如图所示，即为所求． 其中点的坐标为； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）． 【20题答案】 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【21题答案】 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 【22题答案】 【答案】（1） （2）的最大面积为， （3）存在，或或， 【23题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2） （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2024-2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学答题卡 姓名： 班级： 考号： 座号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核 准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字 考生禁填： 笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 缺考标记 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答 违纪标记 号 案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂■ 错误填涂[●][一][][V][×][0][o] 一、 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）（请用2B铅笔填涂） 1IAHB]ICIID] 5.[AI[B][CIIDI 8A][BI[C]ID] 2.IAI[B]ICI[D] 6.JAJ[B]ICIID] 9[A][BI[C]IDI 3.IAI[B][CI[DI 7IA]IBI[CIID] 10.[A][B]ICI[D] 4IA][BIIC][D] 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）（请在各实试题的答题区内作答） 11. 12. 13. 14. 尔 三、解答题（本大题共3小题，每题7分，共21分.) 16解： 17解：(1)A1（一；—} (2) 请在各题月的答题区域内作答，超出黑色矩形边框跟定区域的答案无效】 第1页共4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.解： (1) (2) 四解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.解：(1) (2) 20.解：(1) (2) 请在各题门的答题区域内作答，超黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第2页共4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.解： (1) (2) 图(4) 五.解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.) 22.解：(1) (2) (3) 请在各题厅的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第3页共4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.解： (1) C 图2 （2) (3) D ⊙ 图3 B 图4 (4) D B 图5 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页共4页